الحركة البراونية الكسرية

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 51 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الاحتمالات ، تُعدّ الحركة البراونية الكسرية ( fBm )، والتي تُسمى أيضًا الحركة البراونية الكسورية ، تعميمًا للحركة البراونية . على عكس الحركة البراونية الكلاسيكية، لا يشترط أن تكون زيادات الحركة البراونية الكسرية مستقلة. الحركة البراونية الكسرية هي عملية غاوسية مستمرة الزمن.بح(ت){\textstyle B_{H}(t)}على[0،تي]{\textstyle [0,T]}، التي تبدأ من الصفر، يكون لها قيمة متوقعة تساوي صفرًا لجميعت{\displaystyle t}في[0،تي]{\textstyle [0,T]}ولها دالة التغاير التالية :

هـ[بح(ت)،بح(s)]=12(|ت|2ح+|s|2ح-|ت-s|2ح)،{\displaystyle E[B_{H}(t),B_{H}(s)]={\tfrac {1}{2}}(|t|^{2H}+|s|^{2H}-|ts|^{2H}),}

حيث H عدد حقيقي في الفترة (0،  1)، يُسمى مؤشر هيرست أو معامل هيرست المرتبط بالحركة البراونية الكسرية. يصف أس هيرست مدى عدم انتظام الحركة الناتجة، حيث تؤدي القيمة الأعلى إلى حركة أكثر سلاسة. وقد قدمه ماندلبروت وفان نيس (1968) .

تحدد قيمة H نوع العملية التي يقوم بها fBm :

تتميز الحركة البراونية الكسرية بزيادات ثابتة X ( t ) = BH ( s + t ) − BH ( s ) (القيمة ثابتة لأي قيمة لـ s ) . تُعرف عملية الزيادة X ( t ) بالضوضاء الغاوسية الكسرية .

يوجد أيضًا تعميم لحركة براون الكسرية: حركة براون الكسرية من الرتبة n ، ويُختصر بـ n-fBm. [ 1 ] تُعدّ n-fBm عملية غاوسية، ذاتية التشابه ، وغير مستقرة، وتكون زياداتها من الرتبة n مستقرة. أما عندما n  =  1، فإن n-fBm هي حركة براون الكسرية الكلاسيكية.

مثل الحركة البراونية التي تعممها، سميت الحركة البراونية الكسرية على اسم عالم الأحياء روبرت براون من القرن التاسع عشر ؛ وسميت الضوضاء الغاوسية الكسرية على اسم عالم الرياضيات كارل فريدريش غاوس .

الخلفية والتعريف

قبل تقديم الحركة البراونية الكسرية، استخدم ليفي (1953) التكامل الكسري لريمان - ليوفيل لتعريف العملية

ب~ح(ت)=1Γ(ح+1/2)∫0ت(ت-s)ح-1/2دب(s){\displaystyle {\tilde {B}}_{H}(t)={\frac {1}{\Gamma (H+1/2)}}\int _{0}^{t}(ts)^{H-1/2}\,dB(s)}

حيث يتم التكامل بالنسبة لمقياس الضوضاء البيضاء dB ( s ). وقد تبين أن هذا التكامل غير مناسب كتعريف للحركة البراونية الكسرية بسبب تركيزه المفرط على نقطة الأصل ( ماندلبروت وفان نيس، 1968 ، ص 424) . فهو لا يحتوي على زيادات ثابتة. 

الفكرة بدلاً من ذلك هي استخدام تكامل كسري مختلف للضوضاء البيضاء لتحديد العملية: تكامل ويل

بح(ت)=بح(0)+1Γ(ح+1/2){∫-∞0[(ت-s)ح-1/2-(-s)ح-1/2]دب(s)+∫0ت(ت-s)ح-1/2دب(s)}{\displaystyle B_{H}(t)=B_{H}(0)+{\frac {1}{\Gamma (H+1/2)}}\left\{\int _{-\infty }^{0}\left[(ts)^{H-1/2}-(-s)^{H-1/2}\right]\,dB(s)+\int _{0}^{t}(ts)^{H-1/2}\,dB(s)\right\}}

بالنسبة لـ t  > 0 (وبالمثل بالنسبة لـ t  < 0). العملية الناتجة لها زيادات ثابتة.

يتمثل الفرق الرئيسي بين الحركة البراونية الكسرية والحركة البراونية العادية في أن الزيادات في الحركة البراونية العادية مستقلة، بينما الزيادات في الحركة البراونية الكسرية غير مستقلة. إذا كانت قيمة H أكبر من 1/2، فهذا يدل على وجود ارتباط ذاتي موجب: فإذا كان هناك نمط تصاعدي في الخطوات السابقة، فمن المرجح أن تكون الخطوة الحالية تصاعدية أيضًا. أما إذا كانت قيمة H أقل من 1/2، فإن الارتباط الذاتي يكون سالبًا.

ملكيات

التشابه الذاتي

العملية متشابهة ذاتيًا ، وذلك من حيث التوزيعات الاحتمالية :

بح(أت)∼|أ|حبح(ت).{\displaystyle B_{H}(at)\sim |a|^{H}B_{H}(t).}

تُعزى هذه الخاصية إلى كون دالة التغاير متجانسة من الرتبة 2H، ويمكن اعتبارها خاصيةً فركتالية . كما يمكن تعريف FBm على أنها عملية غاوسية فريدة ذات متوسط ​​صفري ، معدومة عند نقطة الأصل، ذات زيادات ثابتة ومتشابهة ذاتيًا.

الزيادات الثابتة

له زيادات ثابتة :

بح(ت)-بح(s)∼بح(ت-s).{\displaystyle B_{H}(t)-B_{H}(s)\;\sim \;B_{H}(t-s).}

الاعتماد بعيد المدى

بالنسبة لـ H > 1/2 ، تُظهر العملية اعتمادًا طويل المدى .

∑ن=1∞هـ[بح(1)(بح(ن+1)-بح(ن))]=∞.{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }E[B_{H}(1)(B_{H}(n+1)-B_{H}(n))]=\infty .}

الانتظام

تكاد مسارات العينة تكون غير قابلة للتفاضل في أي مكان . ومع ذلك، فإن جميع المسارات تقريبًا متصلة محليًا وفقًا لدالة هولدر من أي رتبة أقل تمامًا من H : لكل مسار من هذا القبيل، ولكل T  >  0 ولكل ε > 0، يوجد ثابت (عشوائي) c بحيث   

|بح(ت)-بح(s)|≤ج|ت-s|ح-ε{\displaystyle |B_{H}(t)-B_{H}(s)|\leq c|t-s|^{H-\varepsilon }}

لـ 0  < s ، t < T .   

الأبعاد

باحتمالية 1، يكون للرسم البياني لـ B H ( t ) كل من بُعد هاوسدورف [ 2 ] وبُعد الصندوق [ 3 ] 2 − H .

اندماج

أما بالنسبة للحركة البراونية المنتظمة، فيمكن تعريف التكاملات العشوائية بالنسبة للحركة البراونية الكسرية، والتي تُسمى عادةً "التكاملات العشوائية الكسرية". ولكن بشكل عام، وعلى عكس التكاملات بالنسبة للحركة البراونية المنتظمة، فإن التكاملات العشوائية الكسرية ليست شبه مارتينجالات .

تفسير مجال التردد

تمامًا كما يمكن اعتبار الحركة البراونية بمثابة ضوضاء بيضاء مُرشَّحة بواسطةω-2{\displaystyle \omega ^{-2}}(أي متكاملة)، الحركة البراونية الكسرية هي ضوضاء بيضاء مُرشَّحة بواسطةω-ح-1/2{\displaystyle \omega ^{-H-1/2}}(المقابل للتكامل الجزئي ).

مسارات نموذجية

يمكن توليد نماذج حاسوبية عملية لعملية fBm ، [ 4 ] [ 5 ] على الرغم من أنها مجرد تقريب محدود. يمكن اعتبار مسارات العينة المختارة بمثابة نقاط عينة منفصلة على عملية fBm . تُعرض أدناه ثلاثة نماذج، كل منها يحتوي على 1000 نقطة لعملية fBm بمعامل هيرست  0.75.

H = 0.75 التحقيق 1
H = 0.75 التحقيق 2
H = 0.75 التحقيق 3

تُعرض أدناه نماذج لثلاثة أنواع مختلفة من fBm ، كل منها يحتوي على 1000 نقطة، الأول بمعامل هيرست 0.15، والثاني بمعامل هيرست 0.55، والثالث بمعامل هيرست 0.95. كلما زاد معامل هيرست، كان المنحنى أكثر سلاسة.

H = 0.15
H = 0.55
H = 0.95

الطريقة الأولى للمحاكاة

يمكن محاكاة مسارات أخذ العينات لنموذج بايز باستخدام طرق توليد العمليات الغاوسية الثابتة ذات دالة التغاير المعروفة. تعتمد أبسط طريقة على طريقة تحليل تشوليسكي لمصفوفة التغاير (الموضحة أدناه)، والتي تُطبق على شبكة بحجمن{\displaystyle n} يتميز النظام بتعقيدهيا(ن3){\displaystyle O(n^{3})}. هناك طريقة أكثر تعقيدًا ولكنها أسرع حسابيًا وهي طريقة التضمين الدائري لـ Dietrich & Newsam (1997) .

لنفترض أننا نريد محاكاة قيم fBM في أوقاتت1،...،تن{\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}باستخدام طريقة تحليل تشوليسكي .

  • قم بتشكيل المصفوفةΓ=(R(تأنا،تج)،أنا،ج=1،...،ن){\displaystyle \Gamma ={\bigl (}R(t_{i},\,t_{j}),i,j=1,\ldots ,\,n{\bigr )}}أينR(ت،s)=(s2ح+ت2ح-|ت-s|2ح)/2{\displaystyle \,R(t,s)=(s^{2H}+t^{2H}-|t-s|^{2H})/2}.
  • الحوسبةΣ{\displaystyle \,\Sigma }مصفوفة الجذر التربيعي لـΓ{\displaystyle \,\Gamma }، أيΣ2=Γ{\displaystyle \,\Sigma ^{2}=\Gamma }بشكل عام،Σ{\displaystyle \,\Sigma }هي مصفوفة "الانحراف المعياري" المرتبطة بمصفوفة التباين والتباين المشتركΓ{\displaystyle \,\Gamma }.
  • قم بإنشاء متجهv{\displaystyle \,v}من بين n عددًا تم اختيارها بشكل مستقل وفقًا لتوزيع غاوسي قياسي،
  • إذا عرّفناu=Σv{\displaystyle \,u=\Sigma v}ثمu{\displaystyle \,u}ينتج عنه مسار عينة لـ fBm .

من أجل الحسابΣ{\displaystyle \,\Sigma }يمكننا استخدام طريقة تحليل تشوليسكي على سبيل المثال . وهناك طريقة بديلة تستخدم القيم الذاتية لـΓ{\displaystyle \,\Gamma }:

  • منذΓ{\displaystyle \,\Gamma }إذا كانت مصفوفة متناظرة وموجبة التحديد ، فإن جميع القيم الذاتيةλأنا{\displaystyle \,\lambda _{i}}لΓ{\displaystyle \,\Gamma }مُرضٍλأنا>0{\displaystyle \,\lambda _{i}>0}، (أنا=1،...،ن{\displaystyle i=1,\dots ,n}).
  • يتركΛ{\displaystyle \,\Lambda }لتكن المصفوفة القطرية للقيم الذاتية، أيΛأناج=λأنادلتاأناج{\displaystyle \Lambda _{ij}=\lambda _{i}\,\delta _{ij}}أيندلتاأناج{\displaystyle \delta _{ij}}هي دلتا كرونيكر . نحن نحددΛ1/2{\displaystyle \Lambda ^{1/2}}كمصفوفة قطرية ذات عناصرλأنا1/2{\displaystyle \lambda _{i}^{1/2}}، أيΛأناج1/2=λأنا1/2دلتاأناج{\displaystyle \Lambda _{ij}^{1/2}=\lambda _{i}^{1/2}\,\delta _{ij}}.

لاحظ أن النتيجة ذات قيمة حقيقية لأنλأنا>0{\displaystyle \lambda _{i}>0}.

  • يتركvأنا{\displaystyle \,v_{i}}متجه ذاتي مرتبط بالقيمة الذاتيةλأنا{\displaystyle \,\lambda _{i}}. يُعرِّفP{\displaystyle \,P}باعتبارها المصفوفة التيأنا{\displaystyle i}العمود رقم -th هو المتجه الذاتيvأنا{\displaystyle \,v_{i}}.

لاحظ أنه بما أن المتجهات الذاتية مستقلة خطيًا، فإن المصفوفةP{\displaystyle \,P}قابلة للعكس.

  • ويترتب على ذلك أنΣ=PΛ1/2P-1{\displaystyle \Sigma =P\,\Lambda ^{1/2}\,P^{-1}}لأنΓ=PΛP-1{\displaystyle \Gamma =P\,\Lambda \,P^{-1}}.

الطريقة الثانية للمحاكاة

ومن المعروف أيضاً أن [ 6 ]

بح(ت)=∫0تكح(ت،s)دب(s){\displaystyle B_{H}(t)=\int _{0}^{t}K_{H}(t,s)\,dB(s)}

حيث B هي حركة براونية قياسية و

كح(ت،s)=(ت-s)ح-12Γ(ح+12)2F1(ح-12؛12-ح؛ح+12؛1-تs).{\displaystyle K_{H}(t,s)={\frac {(t-s)^{H-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (H+{\frac {1}{2}})}}\;_{2}F_{1}\left(H-{\frac {1}{2}};\,{\frac {1}{2}}-H;\;H+{\frac {1}{2}};\,1-{\frac {t}{s}}\right).}

أين2F1{\displaystyle _{2}F_{1}}هو التكامل الهندسي الفائق لأويلر .

لنفترض أننا نريد محاكاة fBm عند نقاط0=ت0<ت1<⋯<تن=تي{\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T}.

  • قم بإنشاء متجه من n عدداً يتم رسمها وفقاً لتوزيع غاوسي قياسي.
  • اضرب كل عنصر من عناصره في √T / n للحصول على زيادات الحركة البراونية على الفترة [0, T ] . لنرمز إلى هذا المتجه بـ (دلتاب1،...،دلتابن){\displaystyle (\delta B_{1},\ldots ,\delta B_{n})}.
  • لكلتج{\displaystyle t_{j}}، احسب
بح(تج)=نتي∑أنا=0ج-1∫تأناتأنا+1كح(تج،s)دs دلتابأنا.{\displaystyle B_{H}(t_{j})={\frac {n}{T}}\sum _{i=0}^{j-1}\int _{t_{i}}^{t_{i+1}}K_{H}(t_{j},\,s)\,ds\ \delta B_{i}.}

يمكن حساب التكامل بكفاءة باستخدام التربيع الغاوسي .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ بيرين وآخرون، 2001.
  2. ↑ أوري، 1970.
  3. ↑ فالكونر، كينيث (2003). الهندسة الكسورية: الأسس الرياضية والتطبيقات (  الطبعة الثانية). وايلي. ص  268. ISBN 0-470-84861-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 يناير 2024 .
  4. ↑ كروس، ديرك ب .؛ بوتيف، زدرافكو إ. (2015). "محاكاة العمليات المكانية". في: شميدت، ف. (محرر). الهندسة العشوائية، والإحصاء المكاني، والحقول العشوائية . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 2120. برلين: سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات 369-404 . arXiv : 1308.0399 . doi : 10.1007/978-3-319-10064-7_12 . ISBN   978-3-319-10063-0.
  5. ↑ كويرجولي، جان فرانسوا (2000). "محاكاة وتحديد الحركة البراونية الكسرية: دراسة ببليوغرافية ومقارنة" . مجلة البرمجيات الإحصائية . 5 (7). doi : 10.18637/jss.v005.i07 .
  6. ↑ ديكروزيفوند، لوران؛ أوستونيل، علي سليمان (1999). "التحليل العشوائي للحركة البراونية الكسرية". تحليل الجهد . 10 (2): 177-214 . doi : 10.1023/A:1008634027843 .

مراجع

  • بيران، ج. (1994)، إحصاءات عمليات الذاكرة الطويلة ، تشابمان وهول، ISBN 0-412-04901-5.
  • Craigmile PF (2003), "محاكاة فئة من العمليات الغاوسية الثابتة باستخدام خوارزمية Davies-Harte، مع تطبيق على عمليات الذاكرة الطويلة"، مجلة تحليل السلاسل الزمنية ، 24: 505 – 511.
  • ديكر، ت. (2004). محاكاة الحركة البراونية الكسرية (ملف PDF) (رسالة ماجستير) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 ديسمبر 2012 .
  • ديتريش، سي آر؛ نيوسام، جي إن (1997)، "محاكاة سريعة ودقيقة للعمليات الغاوسية الثابتة من خلال تضمين دائري لمصفوفة التغاير."، مجلة SIAM للحوسبة العلمية ، 18 (4): 1088-1107 ، رمز Bibcode : 1997SJSC...18.1088D ، doi : 10.1137/s1064827592240555.
  • فالكونر، كينيث (2003)، الهندسة الكسورية: الأسس الرياضية والتطبيقات (  الطبعة الثانية)، وايلي، الصفحات 267-271 ، رقم ISBN  0-470-84861-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 يناير 2024.
  • ليفي، ب. ( 1953)، الدوال العشوائية: نظرية عامة مع إشارات خاصة إلى دوال لابلاس العشوائية ، منشورات جامعة كاليفورنيا في الإحصاء، المجلد  1، الصفحات 331-390 .
  • ماندلبروت، ب .؛ فان نيس، ج. و. (1968)، "الحركات البراونية الكسرية، والضوضاء الكسرية، والتطبيقات"، مجلة SIAM Review ، 10 (4): 422-437 ، Bibcode : 1968SIAMR..10..422M ، doi : 10.1137/1010093 ، JSTOR 2027184 .
  • أوري ، ستيفن (1970)، “وظائف العينة الغوسية وأبعاد Hausdorff لمعابر المستوى”، Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete ، 15 (3): 249–256 ، دوى : 10.1007 / BF00534922 ، S2CID 121253646 .
  • بيرين، إي.؛ حربا، ر.؛ بيرزين-جوزيف، س.؛ إيريبارين، إي.؛ بونامي، أ. (2001). "الحركة البراونية الكسرية من الرتبة N والضوضاء الغاوسية الكسرية". معاملات IEEE في معالجة الإشارات . 49 (5): 1049-1059 . رمز Bibcode : 2001ITSP...49.1049P . doi : 10.1109/78.917808 .
  • Samorodnitsky G., Taqqu MS (1994), Stable Non-Gaussian Random Processes , Chapter  7: “Self-similar processes” (Chapman & Hall).

للمزيد من القراءة