عامل التمدد

يقيس عامل التمدد (أي ثابت بيليبسيتز ) للتضمين العامل الذي يشوه به التضمين المسافات . افترض أن مساحة مترية واحدة S مضمنة في مساحة مترية أخرى T بواسطة خريطة مترية ، وهي دالة متصلة واحد لواحد f تحافظ على المسافة بين كل زوج من النقاط أو تقللها. ثم يؤدي التضمين إلى ظهور مفهومين مختلفين للمسافة بين أزواج النقاط في S. أي زوج من النقاط ( x ، y ) في S له مسافة جوهرية ، وهي المسافة من x إلى y في S ، ومسافة خارجية أصغر، وهي المسافة من f ( x ) إلى f ( y ) في T. عامل تمدد الزوج هو النسبة بين هاتين المسافتين، d ( f ( x )، f ( y ))/ d ( x ، y ) . عامل التمدد للتعيين بأكمله هو الأعلى لعوامل التمدد لجميع أزواج النقاط. وقد أطلق على عامل التمدد أيضًا اسم التشويه ^{[ متنازع عليه - ناقش ]} أو تمدد الخريطة.

عامل التمدد مهم في نظرية المفاتيح الهندسية ، الرسوم البيانية المرجحة التي تقرب المسافات الإقليدية بين مجموعة من النقاط في المستوى الإقليدي . في هذه الحالة، المقياس المضمن S هو مساحة مترية محدودة، حيث تكون مسافاتها هي أقصر أطوال المسارات في الرسم البياني، والمقياس T الذي يتم تضمين S فيه هو المستوى الإقليدي. عندما يكون الرسم البياني وتضمينه ثابتين، ولكن يمكن أن تختلف أوزان حافة الرسم البياني، يتم تقليل عامل التمدد عندما تكون الأوزان هي المسافات الإقليدية بالضبط بين نقاط نهاية الحافة. ​​ركز البحث في هذا المجال على إيجاد رسوم بيانية متفرقة لمجموعة نقاط معينة ذات عامل تمدد منخفض. ^[1]

تؤكد مبرهنة جونسون-ليندنستراوس أن أي مجموعة منتهية بها n نقطة في فضاء إقليدي يمكن تضمينها في فضاء إقليدي ذي بعد O (log  n ) مع تشويه 1 + ε ، لأي ثابت ε > 0 ، حيث يعتمد العامل الثابت في تدوين O على اختيار  ε . ^[2] هذه النتيجة والطرق ذات الصلة لبناء تضمينات مترية منخفضة التشويه مهمة في نظرية خوارزميات التقريب . إحدى المشكلات المفتوحة الرئيسية في هذا المجال هي تخمين GNRS ، والذي (إذا كان صحيحًا) سيصف عائلات الرسوم البيانية التي تحتوي على تضمينات امتداد محدودة في المساحات بأنها كلها عائلات رسوم بيانية مغلقة ثانوية. ${\displaystyle \ell _{1}}$

في نظرية العقد ، تشوه العقدة هو ثابت العقدة ، وهو عامل التمدد الأدنى لأي تضمين للعقدة كمنحنى فضائي في الفضاء الإقليدي . فاز الباحث الجامعي جون باردون بجائزة مورجان لعام 2012 عن بحثه الذي أظهر أنه لا يوجد حد أعلى لتشوه عقد الطارة ، وحل مشكلة طرحها في الأصل ميخائيل جروموف . ^{[3] [4]}

في دراسة تدفق تقصير المنحنى ، حيث تتحرك كل نقطة من المنحنى في المستوى الإقليدي بشكل عمودي على المنحنى، بسرعة تتناسب مع الانحناء المحلي، أثبت هويسكن (1998) أن عامل التمدد لأي منحنى سلس بسيط مغلق (مع مسافات جوهرية تقاس بطول القوس) يتغير بشكل رتيب. وبشكل أكثر تحديدًا، عند كل زوج ( x ، y ) يشكل أقصى حد محلي لعامل التمدد، يكون عامل التمدد متناقصًا تمامًا، باستثناء عندما يكون المنحنى دائرة. تم استخدام هذه الخاصية لاحقًا لتبسيط إثبات نظرية جيج-هاميلتون-جرايسون، والتي بموجبها يظل كل منحنى سلس بسيط مغلق بسيطًا وسلسًا حتى ينهار إلى نقطة، ويتقارب في الشكل إلى دائرة قبل القيام بذلك. ^{[5] [6]}