التضمين

في علم الطوبولوجيا العامة ، يُعرَّف التضمين بأنه تماثل شكلي على صورته. ^{[ 3 ]} وبشكل أكثر تحديدًا، هو تطبيق مستمر أحادي.${\displaystyle f:X\to Y}$بين الفضاءات الطوبولوجية${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$يكون تضمينًا طوبولوجيًا إذا${\displaystyle f}$ينتج عنه تماثل تماثلي بين${\displaystyle X}$و${\displaystyle f(X)}$(أين${\displaystyle f(X)}$يحمل بنية الفضاء الفرعي الموروثة من${\displaystyle Y}$). وبالتالي، وبشكل بديهي، فإن التضمين${\displaystyle f:X\to Y}$دعونا نعالج${\displaystyle X}$كفضاء فرعي من${\displaystyle Y}$كل تمثيل مضمن هو تمثيل أحادي ومتصل . كل دالة أحادية ومتصلة، سواء كانت مفتوحة أو مغلقة، هي تمثيل مضمن؛ ومع ذلك، توجد أيضًا تمثيلات مضمنة ليست مفتوحة ولا مغلقة. يحدث هذا الأخير إذا كانت الصورة${\displaystyle f(X)}$ليست مجموعة مفتوحة ولا مجموعة مغلقة في${\displaystyle Y}$.

لمساحة معينة${\displaystyle Y}$، وجود تضمين${\displaystyle X\to Y}$هو ثابت طوبولوجي لـ${\displaystyle X}$وهذا يسمح بالتمييز بين مساحتين إذا كان من الممكن تضمين إحداهما في مساحة بينما لا يمكن تضمين الأخرى.

في الطوبولوجيا التفاضلية : ليكن${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$أن تكون مشعبات ناعمة و${\displaystyle f:M\to N}$كن خريطة سلسة. ثم${\displaystyle f}$يُطلق على العملية اسم "غمر" إذا كانت مشتقتها أحادية في كل مكان. ويُعرَّف التضمين ، أو التضمين الأملس ، بأنه غمر يُمثل تضمينًا بالمعنى الطوبولوجي المذكور أعلاه (أي التشاكل على صورته). ^{[ 4 ]}

بمعنى آخر، يكون نطاق التضمين متماثلًا مع صورته، وعلى وجه الخصوص، يجب أن تكون صورة التضمين فضاءً جزئيًا . إن الغمر هو تحديدًا تضمين محلي ، أي لأي نقطة${\displaystyle x\in M}$يوجد حي${\displaystyle x\in U\subset M}$بحيث${\displaystyle f:U\to N}$هو تضمين.

عندما يكون المجال متعدد الشعب مضغوطًا، فإن مفهوم التضمين السلس يعادل مفهوم الغمر الحقني.

إحدى القضايا المهمة هي${\displaystyle N=\mathbb {R} ^{n}}$يكمن الاهتمام هنا في حجم${\displaystyle n}$يجب أن يكون ذلك للتضمين، من حيث الأبعاد${\displaystyle m}$ل${\displaystyle M}$تنص نظرية تضمين ويتني ^{[ 5 ]} على ما يلي :${\displaystyle n=2m}$يكفي هذا، وهو أفضل حد خطي ممكن. على سبيل المثال، الفضاء الإسقاطي الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{m}}$من الأبعاد${\displaystyle m}$، أين${\displaystyle m}$هو قوة للعدد اثنين، ويتطلب${\displaystyle n=2m}$للتضمين. ومع ذلك، لا ينطبق هذا على عمليات الغمر؛ على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}}$يمكن الانغماس في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$كما يتضح جلياً من سطح بوي - الذي يحتوي على تقاطعات ذاتية. أما السطح الروماني فلا يُعد غمراً لأنه يحتوي على أغطية متقاطعة .

يكون التضمين مناسبًا إذا كان يتصرف بشكل جيد فيما يتعلق بالحدود : يتطلب الأمر الخريطة${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$أن تكون على هذا النحو

• ${\displaystyle f(\partial X)=f(X)\cap \partial Y}$، و
• ${\displaystyle f(X)}$مستعرض لـ​${\displaystyle \partial Y}$في أي نقطة من${\displaystyle f(\partial X)}$.

الشرط الأول يعادل امتلاك${\displaystyle f(\partial X)\subseteq \partial Y}$و${\displaystyle f(X\setminus \partial X)\subseteq Y\setminus \partial Y}$أما الشرط الثاني، وبصورة تقريبية، فينص على ما يلي:${\displaystyle f(X)}$لا يلامس حدود${\displaystyle Y}$.

في الهندسة الريمانية والهندسة الريمانية الزائفة: ليكن${\displaystyle (M,g)}$و${\displaystyle (N,h)}$قد تكون مشعبات ريمانية أو بشكل أعم مشعبات شبه ريمانية . التضمين المتساوي القياس هو تضمين أملس.${\displaystyle f:M\rightarrow N}$وهذا يحافظ على المقياس (الزائف) بالمعنى الذي${\displaystyle g}$يساوي ارتداد​${\displaystyle h}$بواسطة${\displaystyle f}$، أي${\displaystyle g=f^{*}h}$. بشكل صريح، لأي متجهين مماسين${\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}$لدينا

${\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w)).}$

وبالمثل، فإن الغمر المتساوي القياس هو غمر بين مشعبات (شبه) ريمان التي تحافظ على المقاييس (شبه) ريمان.

وبالمثل، في الهندسة الريمانية، فإن التضمين المتساوي القياس (الغمر) هو تضمين (غمر) أملس يحافظ على طول المنحنيات (انظر نظرية تضمين ناش ). ^{[ 6 ]}

في نظرية الحقول ، تضمين الحقل${\displaystyle E}$في حقل${\displaystyle F}$هو تشاكل حلقي${\displaystyle \sigma :E\rightarrow F}$.

نواة​​${\displaystyle \sigma }$هو مثال لـ${\displaystyle E}$، وهو ما لا يمكن أن يكون المجال بأكمله${\displaystyle E}$بسبب الحالة${\displaystyle 1=\sigma (1)=1}$علاوة على ذلك، لا يحتوي أي حقل على مثاليات إلا المثالي الصفري والحقل بأكمله (لأنه إذا وُجد أي عنصر حقل غير صفري في مثالي، فإنه قابل للعكس، مما يدل على أن المثالي هو الحقل بأكمله). لذلك، فإن النواة هي${\displaystyle 0}$لذا فإن أي تضمين للحقول هو أحادي الشكل . ومن ثم،${\displaystyle E}$متماثل مع الحقل الفرعي${\displaystyle \sigma (E)}$ل${\displaystyle F}$وهذا يبرر تسمية التضمين بالتشاكل العشوائي للحقول.

لو${\displaystyle \sigma }$هو توقيع و${\displaystyle A,B}$نكون${\displaystyle \sigma }$- الهياكل (وتسمى أيضًا${\displaystyle \sigma }$الجبر في الجبر الشامل أو النماذج في نظرية النماذج )، ثم خريطة${\displaystyle h:A\to B}$هو${\displaystyle \sigma }$-التضمين بالضبط إذا تحققت جميع الشروط التالية:

• ${\displaystyle h}$هو حقني،
• لكل${\displaystyle n}$رمز الدالة -ary${\displaystyle f\in \sigma }$و${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$لدينا${\displaystyle h(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n}))}$،
• لكل${\displaystyle n}$رمز العلاقة -ary${\displaystyle R\in \sigma }$و${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$لدينا${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$إذا${\displaystyle B\models R(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n})).}$

هنا${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$هو نموذج تدوين نظري مكافئ لـ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in R^{A}}$. في نظرية النماذج يوجد أيضًا مفهوم أقوى للتضمين الأولي .

تُعد حالة الفضاءات المعيارية حالة خاصة مهمة ؛ في هذه الحالة من الطبيعي النظر في التضمينات الخطية.

أحد الأسئلة الأساسية التي يمكن طرحها حول فضاء معياري محدود الأبعاد${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$أي ما هو البُعد الأقصى؟${\displaystyle k}$بحيث يكون فضاء هيلبرت${\displaystyle \ell _{2}^{k}}$يمكن تضمينها خطيًا${\displaystyle X}$مع تشويه مستمر؟

والإجابة تُعطى بواسطة نظرية دفوريتسكي .