الجبر الفائق التناظري

في الفيزياء النظرية ، يُعرف الجبر الفائق التناظري بأنه جبر لي متدرج أو جبر فائق يجمع بين الجبر التناظري والتناظر الفائق . في بُعدين، يكون الجبر الفائق التناظري لانهائي الأبعاد. أما في الأبعاد الأعلى، فيكون الجبر الفائق التناظري محدود الأبعاد ويُولد الزمرة الفائقة التناظرية (في بُعدين إقليديين، لا يُولد الجبر الفائق لي أي زمرة فائقة لي ).

المجموعة المطابقة لـ${\displaystyle (p+q)}$فضاء ذو ​​أبعاد${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$يكون${\displaystyle SO(p+1,q+1)}$وجبر لي الخاص به هو${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$الجبر الفائق التناظري هو جبر لي فائق يحتوي على العامل البوزوني${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$والتي تتحول مولداتها الفردية إلى تمثيلات سبينور لـ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$بالنظر إلى تصنيف كاك للجبر الفائق البسيط ذي الأبعاد المحدودة، فإن هذا لا يمكن أن يحدث إلا لقيم صغيرة من${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$قائمة (قد تكون غير مكتملة) هي

• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}^{*}(2N|2,2)}$بتقنية 3+0D بفضل${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,1)}$؛
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(N|4)}$في بُعدين بالإضافة إلى بُعد واحد بفضل${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,2)}$؛
• ${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(2N|4)}$بتقنية 4+0D بفضل${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(4)\simeq {\mathfrak {so}}(5,1)}$؛
• ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2|N)}$بتقنية 3+1D بفضل${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,2)}$؛
• ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4|N)}$في ثنائي الأبعاد + ثنائي الأبعاد بفضل${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,3)}$؛
• الأشكال الحقيقية لـ${\displaystyle F(4)}$في خمسة أبعاد
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(8^{*}|2N)}$في 5+1D، وذلك بفضل حقيقة أن التمثيلات الأساسية والسبينور لـ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(8,\mathbb {C} )}$يتم ربطها ببعضها البعض عن طريق التشاكلات الخارجية.

وفقًا لـ ^{[ 1 ] [ 2 ]،} فإن الجبر الفائق التناظري مع${\displaystyle {\mathcal {N}}}$تُعطى التناظرات الفائقة في 3+1 أبعاد بواسطة المولدات البوزونية.${\displaystyle P_{\mu }}$،${\displaystyle D}$،${\displaystyle M_{\mu \nu }}$،${\displaystyle K_{\mu }}$التناظر U(1) R${\displaystyle A}$، التناظر R لـ SU(N)${\displaystyle T_{j}^{i}}$والمولدات الفرميونية${\displaystyle Q^{\alpha i}}$،${\displaystyle {\overline {Q}}_{i}^{\dot {\alpha }}}$،${\displaystyle S_{i}^{\alpha }}$و${\displaystyle {\overline {S}}^{{\dot {\alpha }}i}}$. هنا،${\displaystyle \mu ,\nu ,\rho ,\dots }$تشير إلى مؤشرات الزمكان؛${\displaystyle \alpha ,\beta ,\dots }$مؤشرات ويل سبينور اليسارية؛${\displaystyle {\dot {\alpha }},{\dot {\beta }},\dots }$مؤشرات سبينور فايل اليمنى؛ و${\displaystyle i,j,\dots }$مؤشرات التناظر الداخلي R.

تُعطى الأقواس الفائقة لـ Lie في الجبر التوافقي البوزوني بواسطة

$= }م _ {\ رو \ نو }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }P_{\mu }-\eta _{\mu \rho }P_{\nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },K_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }K_{\mu }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },D]=0}$

${\displaystyle [D,P_{\rho }]=-P_{\rho }}$

${\displaystyle [D,K_{\rho }]=+K_{\rho }}$

${\displaystyle [P_{\mu },K_{\nu }]=-2M_{\mu \nu }+2\eta _{\mu \nu }D}$

${\displaystyle [K_{n},K_{m}]=0}$

${\displaystyle [P_{n},P_{m}]=0}$

حيث η هي مقياس مينكوفسكي ؛ أما بالنسبة للمولدات الفرميونية فهي:

${\displaystyle \left\{Q_{\alpha i},{\overline {Q}}_{\dot {\beta }}^{j}\right\}=2\delta _{i}^{j}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P_{\mu }}$

${\displaystyle \left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},{\overline {Q}}\right\}=0}$

${\displaystyle \left\{S_{\alpha }^{i},{\overline {S}}_{{\dot {\beta }}j}\right\}=2\delta _{j}^{i}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }K_{\mu }}$

${\displaystyle \left\{S,S\right\}=\left\{{\overline {S}},{\overline {S}}\right\}=0}$

${\displaystyle \left\{Q,S\right\}=}$

${\displaystyle \left\{Q,{\overline {S}}\right\}=\left\{{\overline {Q}},S\right\}=0}$

لا تحمل مولدات التناظر المطابق البوزونية أي شحنات R، لأنها تتبادل مع مولدات التناظر R:

${\displaystyle [A,M]=[A,D]=[A,P]=[A,K]=0}$

${\displaystyle [T,M]=[T,D]=[T,P]=[T,K]=0}$

لكن مولدات الفرميونات تحمل شحنة R:

${\displaystyle [A,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$

${\displaystyle [A,{\overline {Q}}]={\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}$

${\displaystyle [A,S]={\frac {1}{2}}S}$

${\displaystyle [A,{\overline {S}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {S}}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},Q_{k}]=-\delta _{k}^{i}Q_{j}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {Q}}^{k}]=\delta _{j}^{k}{\overline {Q}}^{i}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},S^{k}]=\delta _{j}^{k}S^{i}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {S}}_{k}]=-\delta _{k}^{i}{\overline {S}}_{j}}$

في ظل التحولات المطابقة البوزونية، تتحول مولدات الفرميونات على النحو التالي:

${\displaystyle [D,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$

${\displaystyle [D,{\overline {Q}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}$

${\displaystyle [D,S]={\frac {1}{2}}S}$

${\displaystyle [D,{\overline {S}}]={\frac {1}{2}}{\overline {S}}}$

${\displaystyle [P,Q]=[P,{\overline {Q}}]=0}$

${\displaystyle [K,S]=[K,{\overline {S}}]=0}$

يوجد نوعان من الجبر الممكن ذو التناظر الفائق الأدنى في بعدين؛ جبر نيفو-شفارتز وجبر راموند. ويمكن وجود تناظر فائق إضافي، على سبيل المثال جبر التناظر الفائق N = 2 .

• التناظر المطابق
• جبر سوبر فيراسورو
• جبر التناظر الفائق