جبر التناظر الفائق

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

في الفيزياء النظرية ، يُعدّ جبر التناظر الفائق (أو جبر SUSY ) صيغة رياضية لوصف العلاقة بين البوزونات والفيرميونات . لا يقتصر جبر التناظر الفائق على جبر بوانكاريه وجبر فرعي مضغوط للتناظرات الداخلية فحسب، بل يشمل أيضًا بعض الشحنات الفائقة الفيرميونية، التي تتحول كمجموع N تمثيلًا حقيقيًا للسبينور لمجموعة بوانكاريه . تسمح نظرية هاغ-لوبوشانسكي-سونيوس بهذه التناظرات . عندما يكون N > 1، يُقال إن الجبر يتمتع بتناظر فائق ممتد . جبر التناظر الفائق هو مجموع شبه مباشر لامتداد مركزي لجبر بوانكاريه الفائق بواسطة جبر لي مضغوط B للتناظرات الداخلية.

تتبادل الحقول البوزونية بينما تتبادل الحقول الفرميونية . وللحصول على تحويل يربط بين هذين النوعين من الحقول، يلزم إدخال تصنيف Z² تكون فيه العناصر الزوجية بوزونية والعناصر الفردية فرميونية. يُطلق على هذا النوع من الجبر اسم جبر لي الفائق .

كما يمكن تمثيل جبر لي ، يمكن أيضًا تمثيل جبر لي فائق ، يُسمى المضاعفات الفائقة . لكل جبر لي، توجد زمرة لي مرتبطة به، متصلة وبسيطة الاتصال ، فريدة حتى التشاكل ، ويمكن توسيع تمثيلات الجبر لإنشاء تمثيلات زمر . وبالمثل، يمكن أحيانًا توسيع تمثيلات جبر لي الفائق إلى تمثيلات زمرة لي فائقة .

بنية جبر التناظر الفائق

تتمتع جبر التناظر الفائق العام للزمكان ذي البعد d ، مع الجزء الفرميوني المكون من مجموع N من تمثيلات السبينور الحقيقية غير القابلة للاختزال، ببنية على الشكل التالي:

( P × Z ) .Q .( L × B )

أين

  • P عبارة عن جبر فرعي متجهي عادي بوزوني أبيلي ذي بُعد d ، يُعرَّف عادةً بانتقالات الزمكان. وهو تمثيل متجهي لـ L.
  • Z عبارة عن جبر بوزوني قياسي في المركز تسمى عناصره الشحنات المركزية.
  • Q هي جبر جزئي سبينوري فيرميوني أبيلي، وهي مجموع N تمثيل سبينوري حقيقي لـ L. (عندما يكون توقيع الزمكان قابلاً للقسمة على 4، يوجد تمثيلان سبينوريان مختلفان لـ L ، لذا يوجد بعض الغموض حول بنية Q كتمثيل لـ L ). تُسمى عناصر Q ، أو بالأحرى صورها العكسية في جبر التناظر الفائق، بالشحنات الفائقة. يُطلق على الجبر الجزئي ( P × Z ) Q أحيانًا اسم جبر التناظر الفائق ، وهو جبر عديم القوة بطول لا يتجاوز 2، مع وجود قوس لي لشحنتين فائقتين في P × Z.
  • L عبارة عن جبر فرعي بوزوني، متماثل مع جبر لورنتز في d أبعاد، ذي بُعد d ( d –1)/2
  • B عبارة عن جبر فرعي بوزوني قياسي، يُعطى بواسطة جبر لي لمجموعة مضغوطة ما، تُسمى مجموعة التناظرات الداخلية. وهو يتبادل مع P و Z و L ، ولكنه قد يؤثر بشكل غير تافه على الشحنات الفائقة Q.

يشير مصطلحا "بوزوني" و "فيرميوني" إلى الفضاءات الفرعية الزوجية والفردية للجبر الفائق.

تشير المصطلحات "القياسي" و "الدوراني" و "المتجه" إلى سلوك الجبر الفرعي تحت تأثير جبر لورنتز L.

العدد N هو عدد تمثيلات الدوران الحقيقية غير القابلة للاختزال. عندما يكون توقيع الزمكان قابلاً للقسمة على 4، يكون هذا الأمر غامضًا، لأنه في هذه الحالة يوجد تمثيلان مختلفان للدوران الحقيقي غير القابل للاختزال، ويتم استبدال العدد N أحيانًا بزوج من الأعداد الصحيحة ( N1 ، N2 ) .

يُنظر أحيانًا إلى جبر التناظر الفائق على أنه جبر فائق حقيقي، وأحيانًا أخرى على أنه جبر مركب ذو اقتران هيرميتي. هذان الرأيان متكافئان جوهريًا، إذ يمكن بناء الجبر الحقيقي من الجبر المركب بأخذ العناصر شبه الهرميتية، ويمكن بناء الجبر المركب من الجبر الحقيقي بأخذ حاصل الضرب الموتري مع الأعداد المركبة .

الجزء البوزوني من الجبر الفائق متماثل مع حاصل ضرب جبر بوانكاريه P . L مع جبر Z × B للتناظرات الداخلية.

عندما يكون N > 1 يقال أن الجبر يتمتع بتناظر فائق ممتد .

عندما يكون Z تافهًا، فإن الجبر الفرعي P . Q . L هو جبر بوانكاريه الفائق .

انظر أيضاً

مراجع