الجبر الفائق

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 51 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات والفيزياء النظرية ، الجبر الفائق هوZ2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}- الجبر المتدرج . [ 1 ] أي أنه جبر على حلقة أو حقل تبادلي مع تجزئة إلى أجزاء "زوجية" و"فردية" وعامل ضرب يحترم التدرج.

يُستمدّ مصطلح "الجبر الفائق" من نظرية التناظر الفائق في الفيزياء النظرية. تُوفّر الجبر الفائق وتمثيلاتها ، أو الوحدات الفائقة ، إطارًا جبريًا لصياغة التناظر الفائق. ويُطلق على دراسة هذه الكائنات أحيانًا اسم الجبر الخطي الفائق . كما يلعب الجبر الفائق دورًا هامًا في مجال الهندسة الفائقة، حيث يدخل في تعريفات المتشعبات المتدرجة ، والمتشعبات الفائقة، والمخططات الفائقة .

التعريف الرسمي

يتركك{\displaystyle K}ليكن حلقة تبديلية . في معظم التطبيقات،ك{\displaystyle K}هو حقل ذو خاصية صفرية، مثلR{\displaystyle \mathbb {R} }أوج{\displaystyle \mathbb {C} }.

جبر فائق علىك{\displaystyle K}هوك{\displaystyle K}-وحدةأ{\displaystyle A}مع تحليل المجموع المباشر

أ=أ0⊕أ1{\displaystyle A=A_{0}\oplus A_{1}}

بالإضافة إلى الضرب الثنائي الخطيأ×أ→أ{\displaystyle A\times A\to A}بحيث

أأناأج⊆أأنا+ج{\displaystyle A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}

حيث تُقرأ الرموز السفلية بتردد 2، أي أنها تُعتبر عناصر منZ2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}.

حلقة فائقة ، أوZ2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}الحلقة المتدرجة هي جبر فائق فوق حلقة الأعداد الصحيحةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }.

عناصر كل منأأنا{\displaystyle A_{i}}يُقال إنها متجانسة . زوجية العنصر المتجانسx{\displaystyle x}، ويرمز إليه بـ|x|{\displaystyle |x|}، تكون قيمته 0 أو 1 حسب ما إذا كان فيأ0{\displaystyle A_{0}}أوأ1{\displaystyle A_{1}}يُقال إن العناصر ذات التكافؤ 0 زوجية ، والعناصر ذات التكافؤ 1 فردية .x{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}إذا كان كلاهما متجانسًا، فإن المنتج يكون متجانسًا أيضًاxy{\displaystyle xy}و|xy|=|x|+|y|{\displaystyle |xy|=|x|+|y|}.

الجبر الفائق الترابطي هو جبر تكون فيه عملية الضرب ترابطية ، والجبر الفائق الأحادي هو جبر يكون فيه عنصر محايد ضربي . ويكون العنصر المحايد في الجبر الفائق الأحادي زوجيًا بالضرورة. ما لم يُنص على خلاف ذلك، يُفترض أن جميع الجبر الفائق في هذه المقالة ترابطية وأحادية.

الجبر الفائق التبادلي (أو الجبر الفائق التبادلي) هو جبر يحقق نسخة متدرجة من التبادلية . تحديدًا،أ{\displaystyle A}تكون عملية التبديل إذا

yx=(-1)|x||y|xy{\displaystyle yx=(-1)^{|x||y|}xy\,}

لجميع العناصر المتجانسةx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}لأ{\displaystyle A}توجد جبريات فائقة تبادلية بالمعنى العادي، ولكن ليس بالمعنى الخاص بالجبريات الفائقة. ولهذا السبب، تُسمى الجبريات الفائقة التبادلية غالبًا بالجبريات الفائقة التبادلية لتجنب الالتباس. [ 2 ]

اصطلاحات الإشارات

عندماZ2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}يُنشأ التقييم على أنه "تجميع" لـZ{\displaystyle \mathbb {Z} }- أوشمال{\displaystyle \mathbb {N} }- عند تقسيم الجبر المتدرج إلى مكونات زوجية وفردية، يمكن إيجاد اصطلاحين مختلفين (لكنهما متكافئان جوهريًا) للإشارات في المراجع. [ 3 ] يُطلق عليهما "اصطلاح الإشارة الكوهومولوجي" و"اصطلاح الإشارة الفائق". ويكمن الاختلاف بينهما في كيفية عمل عملية التبادل (تبادل عنصرين). في الحالة الأولى، يكون لدينا خريطة تبادل.

xy↦(-1)من+صqyx{\displaystyle xy\mapsto (-1)^{mn+pq}yx}

أينم=درجة⁡x{\displaystyle m=\deg x}هي الدرجة (Z{\displaystyle \mathbb {Z} }- أوشمال{\displaystyle \mathbb {N} }(التقييم) منx{\displaystyle x}وص{\displaystyle p}التكافؤ. وبالمثل،ن=درجة⁡y{\displaystyle n=\deg y}هي درجةy{\displaystyle y}وبنفس القدرq.{\displaystyle q.}يُلاحظ هذا الاصطلاح عادةً في السياقات الرياضية التقليدية، مثل الهندسة التفاضلية والطوبولوجيا التفاضلية. أما الاصطلاح الآخر فهو أخذ

xy↦(-1)صqyx{\displaystyle xy\mapsto (-1)^{pq}yx}

مع تحديد التكافؤات على النحو التاليص=متعديل2{\displaystyle p=m{\bmod {2}}}وq=نتعديل2{\displaystyle q=n{\bmod {2}}}التكافؤ. يُلاحظ هذا المفهوم غالبًا في كتب الفيزياء، ويتطلب استخدام دالة التكافؤ بحكمة لتتبع التشاكلات. وقد قدم بيير ديلين حججًا مفصلة في هذا الشأن . [ 3 ]

أمثلة

  • أي جبر على حلقة تبديليةل{\displaystyle L}يمكن اعتبارها جبرًا فائقًا زوجيًا بحتًا علىك{\displaystyle K}أي عن طريق أخذأ1{\displaystyle A_{1}}أن تكون الجبر التافه (الجبر ذو العنصر الواحد).
  • أيZ{\displaystyle \mathbb {Z} }- أوشمال{\displaystyle \mathbb {N} }يمكن اعتبار الجبر المتدرج بمثابة جبر فائق من خلال قراءة التدرج بتردد 2. ويشمل ذلك أمثلة مثل جبر الموترات وحلقات كثيرات الحدود .ك{\displaystyle K}.
  • على وجه الخصوص، أي جبر خارجي علىك{\displaystyle K}هو جبر فائق. الجبر الخارجي هو المثال القياسي للجبر الفائق التبادلي .
  • تشكل كثيرات الحدود المتناظرة وكثيرات الحدود المتناوبة معًا جبرًا فائقًا، حيث تمثل الأجزاء الزوجية والفردية على التوالي. لاحظ أن هذا لا يتم الحصول عليه عن طريق "الدمج" لـشمال{\displaystyle \mathbb {N} }الجبر المتدرج لكثيرات الحدود، حيث يكون التدرج حسب الدرجات.
  • جبر كليفورد هو جبر فائق. يوفر جبر كليفورد للفضاءات المتعامدة منخفضة الأبعاد مثل الجبر الهندسي الإسقاطي بعض الحدس البصري للجبر الفائق: العناصر الفردية تتوافق مع التماثلات العكسية للاتجاهية للفضاء مثل الانعكاسات الدورانية؛ العناصر الزوجية تتوافق مع التماثلات التي تحافظ على الاتجاهية مثل الدورانات والحركات اللولبية.
  • مجموعة جميع التشكلات الداخلية (المشار إليها بـهـند(V)≡حoم(V،V){\displaystyle \mathbf {End} (V)\equiv \mathbf {Hom} (V,V)}، حيث الخط الغامقحoم{\displaystyle \mathrm {هوم} }يُشار إليه باسم داخليحoم{\displaystyle \mathrm {هوم} }، المكونة من جميع الخرائط الخطية) لفضاء متجه فائق تشكل جبرًا فائقًا تحت التركيب.
  • مجموعة جميع المصفوفات الفائقة المربعة ذات المدخلات فيك{\displaystyle K}يشكل جبرًا فائقًا يُرمز إليه بـمص|q(ك){\displaystyle M_{p|q}(K)}يمكن تعريف هذا الجبر بجبر التشاكلات الداخلية لوحدة فائقة حرة علىك{\displaystyle K}من الرتبةص|q{\displaystyle p|q}وهو Hom الداخلي لما سبق لهذا الفضاء.
  • الجبر الفائق لي هو نظير متدرج لجبر لي . الجبر الفائق لي غير وحدوي وغير ترابطي؛ ومع ذلك، يمكن بناء نظير لجبر شامل شامل لجبر لي الفائق وهو جبر فائق وحدوي وترابطي.

مزيد من التعريفات والتركيبات

الجبر الفرعي الزوجي

يتركأ{\displaystyle A}ليكن جبرًا فائقًا على حلقة تبديليةك{\displaystyle K}الوحدة الفرعيةأ0{\displaystyle A_{0}}، التي تتكون من جميع العناصر الزوجية، مغلقة تحت عملية الضرب وتحتوي على العنصر المحايد لـأ{\displaystyle A}وبالتالي يشكل جبرًا فرعيًا منأ{\displaystyle A}ويُطلق عليه بطبيعة الحال اسم الجبر الفرعي الزوجي . وهو يشكل جبرًا عاديًا علىك{\displaystyle K}.

مجموعة جميع العناصر الفرديةأ1{\displaystyle A_{1}}هوأ0{\displaystyle A_{0}}- وحدة ثنائية يكون ضربها القياسي مجرد ضرب فيأ{\displaystyle A}المنتج فيأ{\displaystyle A}يجهزأ1{\displaystyle A_{1}}بصيغة ثنائية الخطية

μ:أ1⊗أ0أ1→أ0{\displaystyle \mu :A_{1}\otimes _{A_{0}}A_{1}\to A_{0}}

بحيث

μ(x⊗y)⋅z=x⋅μ(y⊗z){\displaystyle \mu (x\otimes y)\cdot z=x\cdot \mu (y\otimes z)}

للجميعx{\displaystyle x}،y{\displaystyle y}، وz{\displaystyle z}فيأ1{\displaystyle A_{1}}وينتج هذا عن خاصية التجميع في الناتج.أ{\displaystyle A}.

تدهور الدرجات

يوجد تماثل انعكاسي معياري على أي جبر فائق يُسمى الانعكاس الدرجي . ويُعطى على العناصر المتجانسة بواسطة

x^=(-1)|x|x{\displaystyle {\hat {x}}=(-1)^{|x|}x}

وعلى عناصر عشوائية بواسطة

x^=x0-x1{\displaystyle {\hat {x}}=x_{0}-x_{1}}

أينxأنا{\displaystyle x_{i}}هي الأجزاء المتجانسة منx{\displaystyle x}. لوأ{\displaystyle A}لا يمتلك التواءً من الدرجة الثانية (خاصةً إذا كان العدد 2 قابلاً للعكس)، فيمكن استخدام الانعكاس المتدرج لتمييز الأجزاء الزوجية والفردية منأ{\displaystyle A}:

أأنا={x∈أ:x^=(-1)أناx}.{\displaystyle A_{i}=\{x\in A:{\hat {x}}=(-1)^{i}x\}.}

خاصية التبديل الفائق

المبدل الفائق علىأ{\displaystyle A}هو العامل الثنائي المعطى بواسطة

[x،y]=xy-(-1)|x||y|yx{\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx}

على العناصر المتجانسة، الممتدة إلى جميعأ{\displaystyle A}بالخطية. العناصرx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}لأ{\displaystyle A}يُقال إنهم يتنقلون بشكل مكثف إذا[x،y]=0{\displaystyle [x,y]=0}.

المركز العملاق لـأ{\displaystyle A}هي مجموعة جميع عناصرأ{\displaystyle A}والتي تتبادل بشكل فائق مع جميع عناصرأ{\displaystyle A}:

Z(أ)={أ∈أ:[أ،x]=0 للجميع x∈أ}.{\displaystyle \mathrm {Z} (A)=\{a\in A:[a,x]=0{\text{ for all }}x\in A\}.}

المركز الفائق لـأ{\displaystyle A}وهو، بشكل عام، يختلف عن مركزأ{\displaystyle A}كجبر غير مُصنَّف. الجبر الفائق التبادلي هو جبر يكون مركزه الفائق هو كلأ{\displaystyle A}.

منتج فائق التوتر

حاصل الضرب الموتري المتدرج لجبريْن فائقينأ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}يمكن اعتبارها جبرًا فائقًاأ⊗ب{\displaystyle A\otimes B}مع قاعدة ضرب محددة بواسطة:

(أ1⊗ب1)(أ2⊗ب2)=(-1)|ب1||أ2|(أ1أ2⊗ب1ب2).{\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=(-1)^{|b_{1}||a_{2}|}(a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}).}

إذا كان أي منهماأ{\displaystyle A}أوب{\displaystyle B}إذا كان العدد زوجيًا تمامًا، فإن هذا يُكافئ حاصل الضرب الموتري العادي غير المُدرَّج (باستثناء أن النتيجة مُدرَّجة). ومع ذلك، بشكل عام، يختلف حاصل الضرب الموتري الفائق عن حاصل الضرب الموتري لـأ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}تعتبر بمثابة جبر عادي غير مصنف.

التعميمات والتعريفات الفئوية

يمكن بسهولة تعميم تعريف الجبر الفائق ليشمل الجبر الفائق فوق حلقة فائقة تبديلية. وبالتالي، يُعد التعريف المذكور أعلاه حالة خاصة بالحالة التي تكون فيها الحلقة الأساسية زوجية بحتة.

يتركR{\displaystyle R}ليكن حلقة فائقة تبديلية. جبر فائق فوقR{\displaystyle R}هوR{\displaystyle R}-وحدة فائقةأ{\displaystyle A}معR{\displaystyle R}الضرب الثنائي الخطيأ×أ→أ{\displaystyle A\times A\to A}وهذا يحترم نظام التقييم. تعني الثنائية الخطية هنا أن

ر⋅(xy)=(ر⋅x)y=(-1)|ر||x|x(ر⋅y){\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=(-1)^{|r||x|}x(r\cdot y)}

لجميع العناصر المتجانسةر∈R{\displaystyle r\in R}وx،y∈أ{\displaystyle x,y\in A}.

بصورة مكافئة، يمكن تعريف جبر فائق علىR{\displaystyle R}كحلقة فائقةأ{\displaystyle A}بالإضافة إلى تشاكل الحلقة الفائقةR→أ{\displaystyle R\to A}صورته تقع في المركز الفائق لـأ{\displaystyle A}.

يمكن أيضًا تعريف الجبر الفائق تعريفًا فئويًا . فئة جميعR{\displaystyle R}تشكل الوحدات الفائقة فئة أحادية تحت حاصل الضرب الموتر الفائق معR{\displaystyle R}يعمل ككائن وحدة. جبر فائق ترابطي ووحدوي علىR{\displaystyle R}ويمكن تعريفها بعد ذلك على أنها أحادية في فئةR{\displaystyle R}-الوحدات الفائقة. أي أن الجبر الفائق هوR{\displaystyle R}-وحدة فائقةأ{\displaystyle A}مع اثنين من التشاكلات الزوجية

μ:أ⊗أ→أη:R→أ{\displaystyle {\begin{aligned}\mu &:A\otimes A\to A\\\eta &:R\to A\end{aligned}}}

والتي تتبادل فيها المخططات المعتادة.

ملحوظات

مراجع

  • ديلين، ب.؛ مورغان، ج. و. (1999). "ملاحظات حول التناظر الفائق (تبعًا لجوزيف بيرنشتاين)". الحقول الكمومية والأوتار: دورة للرياضيين . المجلد  1. الجمعية الرياضية الأمريكية. الصفحات 41-97 . ISBN  0-8218-2012-5.
  • كاك، في جي ؛ مارتينيز، سي؛ زيلمانوف، إي. (2001). جبر جوردان الفائق البسيط المتدرج ذو النمو الواحد . سلسلة مذكرات الجمعية الأمريكية للرياضيات. المجلد  711. مكتبة الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-2645-4.
  • مانين، ي. إ. (1997). نظرية حقل القياس والهندسة المعقدة (  الطبعة الثانية). برلين: سبرينغر. ISBN 3-540-61378-1.
  • فاراداراجان، ف. س. (2004). التناظر الفائق للرياضيين: مقدمة . سلسلة محاضرات كورانت في الرياضيات. المجلد  11. الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-3574-6.