متجه مماس

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرف متجه المماس بأنه متجه يمس منحنى أو سطحًا عند نقطة معينة. تُوصف متجهات المماس في الهندسة التفاضلية للمنحنيات في سياق المنحنيات في الفضاء الإقليدي ذي البعد n . وبشكل أعم، تُعد متجهات المماس عناصر في فضاء مماس لمتشعب قابل للتفاضل . كما يمكن وصف متجهات المماس بدلالة الجراثيم . رسميًا، متجه المماس عند النقطةx{\displaystyle x}هو اشتقاق خطي للجبر المعرف بمجموعة الجراثيم عندx{\displaystyle x}.

تحفيز

قبل الانتقال إلى تعريف عام لمتجه المماس، نناقش استخدامه في حساب التفاضل والتكامل وخصائصه الموترية .

حساب التفاضل والتكامل

يتركر(ت){\displaystyle \mathbf {r} (t)}لتكن منحنىً أملسًا وسيطيًا . يُعطى متجه المماس بالعلاقة التالية:ر′(ت){\displaystyle \mathbf {r} '(t)}شريطة أن يكون موجوداً وشريطة أن يكون موجوداًر′(ت)≠0{\displaystyle \mathbf {r} '(t)\neq \mathbf {0} }حيث استخدمنا علامة الفتحة (') بدلاً من النقطة المعتادة للدلالة على التفاضل بالنسبة للمعامل t . [ 1 ] يُعطى متجه المماس الواحدي بالعلاقة التالية: تي(ت)=ر′(ت)|ر′(ت)|.{\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{|\mathbf {r} '(t)|}}\,.}

مثال

بالنظر إلى المنحنى ر(ت)={(1+ت2،هـ2ت،كوس⁡ت)|ت∈R}{\displaystyle \mathbf {r} (t)=\left\{\left(1+t^{2},e^{2t},\cos {t}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}} فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}، متجه الوحدة المماسي عندت=0{\displaystyle t=0}يُعطى بواسطة تي(0)=ر′(0)‖ر′(0)‖=(2ت،2هـ2ت،-الخطيئة⁡ت)4ت2+4هـ4ت+الخطيئة2⁡ت|ت=0=(0،1،0).{\displaystyle \mathbf {T} (0)={\frac {\mathbf {r} '(0)}{\|\mathbf {r} '(0)\|}}=\left.{\frac {(2t,2e^{2t},-\sin {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\sin ^{2}{t}}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.} حيث يتم إيجاد مركبات متجه المماس عن طريق اشتقاق كل مركبة مقابلة للمنحنى بالنسبة إلىت{\displaystyle t}.

التباين العكسي

لور(ت){\displaystyle \mathbf {r} (t)}يُعطى بشكل وسيطي في نظام الإحداثيات ذي الأبعاد n، xᵢ ( هنا استخدمنا الرموز العلوية كدليل بدلاً من الرموز السفلية المعتادة) بواسطةر(ت)=(x1(ت)،x2(ت)،...،xن(ت)){\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\ldots ,x^{n}(t))}أو ر=xأنا=xأنا(ت)،أ≤ت≤ب،{\displaystyle \mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),\quad a\leq t\leq b\,,} ثم حقل متجه المماستي=تيأنا{\displaystyle \mathbf {T} =T^{i}}يُعطى بواسطة تيأنا=دxأنادت.{\displaystyle T^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\,.} في ظل تغيير الإحداثيات uأنا=uأنا(x1،x2،...،xن)،1≤أنا≤ن{\displaystyle u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n}),\quad 1\leq i\leq n} متجه المماستي¯=تي¯أنا{\displaystyle {\bar {\mathbf {T} }}={\bar {T}}^{i}}في نظام الإحداثيات u i، يُعطى بواسطة تي¯أنا=دuأنادت=∂uأنا∂xsدxsدت=تيs∂uأنا∂xs{\displaystyle {\bar {T}}^{i}={\frac {du^{i}}{dt}}={\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}=T^{s}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}} حيث استخدمنا اصطلاح جمع أينشتاين . لذلك، سيتحول متجه المماس لمنحنى أملس كموتر متغاير من الرتبة الأولى عند تغيير الإحداثيات. [ 2 ]

تعريف

يتركو:Rن→R{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }لتكن دالة قابلة للتفاضل ولتكنv{\displaystyle \mathbf {v} }كن متجهًا فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}نُعرّف المشتقة الاتجاهية فيv{\displaystyle \mathbf {v} }الاتجاه عند نقطةx∈Rن{\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}بواسطة ∇vو(x)=ددتو(x+تv)|ت=0=∑أنا=1نvأنا∂و∂xأنا(x).{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )\,.} متجه المماس عند النقطةx{\displaystyle \mathbf {x} }ويمكن تعريفها [ 3 ] على النحو التالي v(و(x))≡(∇v(و))(x).{\displaystyle \mathbf {v} (f(\mathbf {x} ))\equiv (\nabla _{\mathbf {v} }(f))(\mathbf {x} )\,.}

ملكيات

يتركو،ز:Rن→R{\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }لتكن دوال قابلة للتفاضل، ولتكنv،w{\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }لتكن متجهات مماسية فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}فيx∈Rن{\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}ودعأ،ب∈R{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }. ثم

  1. (أv+بw)(و)=أv(و)+بw(و){\displaystyle (a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )(f)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {w} (f)}
  2. v(أو+بز)=أv(و)+بv(ز){\displaystyle \mathbf {v} (af+bg)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {v} (g)}
  3. v(وز)=و(x)v(ز)+ز(x)v(و).{\displaystyle \mathbf {v} (fg)=f(\mathbf {x} )\mathbf {v} (g)+g(\mathbf {x} )\mathbf {v} (f)\,.}

متجه المماس على المشعبات

يتركم{\displaystyle M}ليكن متعدد الشعب قابلاً للتفاضل وليكنأ(م){\displaystyle A(M)}ليكن جبر الدوال الحقيقية القابلة للتفاضل علىم{\displaystyle M}ثم متجه المماس إلىم{\displaystyle M}في نقطةx{\displaystyle x}يُعطى في المتشعب بواسطة الاشتقاقدv:أ(م)→R{\displaystyle D_{v}:A(M)\rightarrow \mathbb {R} }والتي ستكون خطية - أي لأيو،ز∈أ(م){\displaystyle f,g\in A(M)}وأ،ب∈R{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }لدينا

دv(أو+بز)=أدv(و)+بدv(ز).{\displaystyle D_{v}(af+bg)=aD_{v}(f)+bD_{v}(g)\,.}

لاحظ أن الاشتقاق سيتمتع بحكم التعريف بخاصية لايبنتز

دv(و⋅ز)(x)=دv(و)(x)⋅ز(x)+و(x)⋅دv(ز)(x).{\displaystyle D_{v}(f\cdot g)(x)=D_{v}(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_{v}(g)(x)\,.}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ج. ستيوارت (2001)
  2. ↑ د. كاي (1988)
  3. ↑ أ. غراي (1993)

فهرس

  • غراي، ألفريد (1993)، الهندسة التفاضلية الحديثة للمنحنيات والأسطح ، بوكا راتون: مطبعة سي آر سي.
  • ستيوارت، جيمس (2001)، حساب التفاضل والتكامل: المفاهيم والسياقات ، أستراليا: تومسون/بروكس/كول.
  • كاي، ديفيد (1988)، ملخص شوم لنظرية ومسائل حساب الموترات ، نيويورك: ماكجرو هيل.