منحنى قابل للتفاضل

الهندسة التفاضلية للمنحنيات هي فرع من فروع الهندسة يتعامل مع المنحنيات الملساء في المستوى والفضاء الإقليدي باستخدام طرق التفاضل والتكامل .

لقد خضعت العديد من المنحنيات المحددة لدراسة معمقة باستخدام المنهج التركيبي . أما الهندسة التفاضلية فتتبنى منهجًا مختلفًا: حيث تُمثَّل المنحنيات بصيغة مُعَلمة ، وتُعبَّر عن خصائصها الهندسية والكميات المختلفة المرتبطة بها، مثل الانحناء وطول القوس ، باستخدام المشتقات والتكاملات في حساب المتجهات . ومن أهم الأدوات المستخدمة في تحليل المنحنيات إطار فرينيه ، وهو إطار متحرك يوفر نظام إحداثيات عند كل نقطة من المنحنى يكون "الأمثل" للمنحنى بالقرب من تلك النقطة.

تُعدّ نظرية المنحنيات أبسط وأضيق نطاقًا من نظرية الأسطح وتعميماتها ذات الأبعاد الأعلى، لأن المنحنى المنتظم في الفضاء الإقليدي لا يمتلك هندسة جوهرية. يمكن تمثيل أي منحنى منتظم بمعامل طول القوس ( المعامل الطبيعي ). من وجهة نظر جسيم نقطي نظري على المنحنى لا يعرف شيئًا عن الفضاء المحيط، ستبدو جميع المنحنيات متشابهة. لا يتم تمييز منحنيات الفضاء المختلفة إلا من خلال كيفية انحنائها والتواءها. كميًا، يُقاس ذلك بواسطة الثوابت الهندسية التفاضلية التي تُسمى انحناء المنحنى والتواءه . تنص النظرية الأساسية للمنحنيات على أن معرفة هذه الثوابت تُحدد المنحنى بشكل كامل.

^منحنى Cr البارامتري أو تمثيل Cr البارامتري هو دالة ^ذات قيم متجهة​$${\displaystyle \gamma :I\to \mathbb {R} ^{n}}$$ أي أنها قابلة للتفاضل بشكل مستمر r مرة (أي أن الدوال المكونة لـ γ قابلة للتفاضل بشكل مستمر r مرة)، حيث${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$،${\displaystyle r\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$و I هي فترة غير فارغة من الأعداد الحقيقية. صورة المنحنى البارامتري هي${\displaystyle \gamma [I]\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$يجب التمييز بين المنحنى البارامتري γ وصورته γ [ I ] لأن مجموعة فرعية معينة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يمكن أن تكون صورةً للعديد من المنحنيات البارامترية المتميزة. يمكن اعتبار المعامل t في γ ( t ) ممثلاً للزمن، و γ مسار نقطة متحركة في الفضاء. عندما تكون I فترة مغلقة [ a , b ] ، تُسمى γ ( a ) نقطة البداية، و γ ( b ) نقطة النهاية لـ γ . إذا تطابقت نقطتا البداية والنهاية (أي γ( a ) = γ ( b ) ) ، فإن γ يكون منحنى مغلقًا أو حلقة . لكي تكون حلقة من النوع C _^r، يجب أن تكون الدالة γ قابلة للتفاضل باستمرار r مرة، وأن تحقق γ ^{( k )} ( a ) = γ ^{( k )} ( b ) لـ 0 ≤ k ≤ r .

يكون المنحنى البارامتري بسيطًا إذا $${\displaystyle \gamma |_{(a,b)}:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}}$$ تكون دالة أحادية . وتكون دالة تحليلية إذا كانت كل دالة مكونة من γ دالة تحليلية ، أي أنها من الفئة C ^ω .

يكون المنحنى γ منتظمًا من الرتبة m (حيث m ≤ r ) إذا كان، لكل t ∈ I ، $${\displaystyle \left\{\gamma '(t),\gamma ''(t),\ldots ,{\gamma ^{(m)}}(t)\right\}}$$ هي مجموعة فرعية مستقلة خطيًا من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ . على وجه الخصوص، يكونمنحنى C ¹ البارامتري γ منتظمًا إذا وفقط إذا كان γ ′( t ) ≠ 0 لكل t ∈ I .

بالنظر إلى صورة منحنى وسيطي، توجد عدة تمثيلات وسيطية مختلفة لهذا المنحنى. يهدف علم الهندسة التفاضلية إلى وصف خصائص المنحنيات الوسيطية التي تظل ثابتة تحت إعادة تمثيل وسيطي معينة. يجب تعريف علاقة تكافؤ مناسبة على مجموعة جميع المنحنيات الوسيطية. تظل الخصائص الهندسية التفاضلية للمنحنى الوسيطي (مثل طوله، وإطار فرينيه الخاص به ، وانحنائه المعمم) ثابتة تحت إعادة التمثيل الوسيطي، وبالتالي فهي خصائص فئة التكافؤ نفسها. تُسمى فئات التكافؤ هذه منحنيات Cr ^، وهي عناصر أساسية في دراسة الهندسة التفاضلية للمنحنيات.

معياران${\displaystyle C^{r}}$المنحنيات،${\displaystyle \gamma _{1}:I_{1}\to \mathbb {R} ^{n}}$و${\displaystyle \gamma _{2}:I_{2}\to \mathbb {R} ^{n}}$يُقال إنهما متكافئان إذا وفقط إذا وُجد تطبيق تقابلي من النوع C ^r${\displaystyle \varphi :I_{1}\to I_{2}}$بحيث $${\displaystyle \forall t\in I_{1}:\quad \varphi '(t)\neq 0}$$ و $${\displaystyle \forall t\in I_{1}:\quad \gamma _{2}{\bigl (}\varphi (t){\bigr )}=\gamma _{1}(t).}$$يقال بعد ذلك أن γ ₂ هوإعادة تحديدمعلمات γ ₁ .

تُعرّف إعادة التحديد علاقة تكافؤ على مجموعة جميع المنحنيات البارامترية ^من الفئة Cr . فئة التكافؤ لهذه العلاقة هي ببساطة ^{منحنى من الفئة} Cr .

يمكن تعريف علاقة تكافؤ أدق للمنحنيات C ^r الموجهة البارامترية من خلال اشتراط أن تحقق φ الشرط φ ′( t ) > 0 .

المنحنيات البارامترية المتكافئة C ^r لها نفس الصورة، بل إن المنحنيات البارامترية الموجهة المتكافئة C ^r تجتاز الصورة في نفس الاتجاه.

طول ℓ لمنحنى ^C1 ذي المعاملات C${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}} تُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle \ell ~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d} {t}.}$$ طول المنحنى البارامتري ثابت تحت إعادة التحديد البارامتري، وبالتالي فهو خاصية هندسية تفاضلية للمنحنى البارامتري.

وبالمثل، يمكن التعبير عن طول المنحنى من γ ( a ) إلى γ ( t ) كدالة لـ t ، حيث s  : [ a , b ] → [0, ℓ ] معرفة على النحو التالي:

$${\displaystyle s(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{t}\left\|\gamma '(x)\right\|\,\mathrm {d} {x}.}$$

بحسب الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل ،

$${\displaystyle s'(t)~{=}~\left\|\gamma '(t)\right\|}$$

إذا كانت γ منحنى منتظم ^{من الدرجة الأولى} C1 ، أي أن γ' غير صفرية في كل مكان، فإن s ( t ) متزايدة تمامًا، وبالتالي لها دالة عكسية، t ( s ) . يمكن استخدام هذه الدالة العكسية لتعريف –γ ، وهي إعادة تمثيل لـ γ .

$${\displaystyle {\bar {\gamma }}(s)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\gamma (t(s))}$$

ثم باستخدام قاعدة السلسلة وقاعدة الدالة العكسية ، لكل s و t المقابل له = t ( s ) ، فإن المشتقة الأولى لـ – γ هي متجه الوحدة الذي يشير في نفس اتجاه المشتقة الأولى لـ γ :

$${\displaystyle {\bar {\gamma }}'(s)~=~{\frac {\gamma '(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|}}}$$

هندسيًا، يعني هذا أنه لأي قيمتين لـ s ، _حيث s₀ < s₁ _، فإن المسافة التي تقطعها s من s₀ إلى s₁ هي نفسها مسافة طول القوس التي تقطعها –γ من –γ ( s₀ ) إلى –γ ( s₁ ₎ . وبعبارة أخرى ، إذا اعتبرنا t و s معلمات زمنية، فإن كلاً من γ _{( t} ) و –γ ( s ) يصفان الحركة على طول المسار نفسه، ولكن حركة –γ ( s ) تكون بسرعة ثابتة _{مقدارها} وحدة واحدة .

ولهذا السبب، يُطلق على –γ اسمتمثيل طول القوس ، التمثيل الطبيعي،تمثيل السرعة الموحدةيُطلق علىالمعامل s ( t )المعامل الطبيعيلـ γ .

بالنسبة لمنحنى بارامتري معين γ ، فإن التحديد البارامتري الطبيعي فريد حتى تغيير المعامل.

إذا كانت γ ^{دالة من الفئة} C² ، فإن s و –γ كذلك . وباستخدام قاعدة السلسلة وقاعدة الدالة العكسية ، يمكن التعبير عن مشتقاتهما الثانية بدلالة مشتقات γ .

$${\displaystyle s''(t)~{=}~{\frac {\gamma '(t)\cdot \gamma ''(t)\;}{\left\|\gamma '(t)\right\|}}}$$$${\displaystyle {\bar {\gamma }}''(s)~=~{\frac {\gamma ''(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}}}-\left({\frac {\gamma ''(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}}}\cdot {\frac {\gamma '(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|}}\right){\frac {\gamma '(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|}}}$$

وبالتالي، فإن – γ ′ ′ ( s ) هو المكون العمودي لـ γ ′ ′ ( t ) / ‖ γ ′ ( t ) ‖ ² بالنسبة لمتجه المماس γ ′ ( t ) ، وبالتالي فإن – γ ′ ′ ( s ) عمودي على – γ ′ ( s ) .

غالباً ما يكون من الصعب أو المستحيل التعبير عن معامل طول القوس، -γ ، بصيغة مغلقة حتى عندما تكون γ معطاة بصيغة مغلقة. يحدث هذا عادةً عندما يصعب أو يستحيل التعبير عن s ( t ) أو معكوسها t ( s ) بصيغة مغلقة. مع ذلك، لا يمكن التعبير عن المشتقة الأولى والثانية لمعامل طول القوس إلا بدلالة المشتقة الأولى والثانية لمعامل عام. وهذا يسمح غالباً بالتعبير عن بعض الخصائص الهندسية التفاضلية ، كالانحناء مثلاً ، المُعرَّفة بدلالة معامل طول القوس، بصيغة مغلقة عندما يكون هناك معامل عام يمكن التعبير عنه بصيغة مغلقة.

الكمية $${\displaystyle E(\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}~\mathrm {d} {t}}$$ يُطلق عليه أحيانًا طاقة أو فعل المنحنى؛ وهذا الاسم مبرر لأن معادلات الجيوديسية هي معادلات أويلر-لاغرانج للحركة لهذا الفعل.

مثال على اللولب اللوغاريتمي

يمكن تمثيل اللولب اللوغاريتمي بالمعاملات التالية:$${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}(t)=ae^{kt}(\cos {t},\sin {t}).}$$ يُظهر الرسم البياني الأول على اليمين لولبًا لوغاريتميًا لقيم t من 0 إلى 13، أي ما يزيد قليلًا عن 4π ، بمعاملات a = 1 و k = ln 2 / 2π . مع كل دورة كاملة لـ t بمقدار 2π ، يُكمل اللولب دورة كاملة ويتحرك ضعف المسافة من نقطة الأصل.

يُظهر الشكل الحلزوني أجزاءً متناوبة من اللونين الأزرق والأحمر، حيث يُمثل كل جزء وحدة زمنية مقدارها t . لذا ، يتطلب الأمر 2π ، أو ما يزيد قليلاً عن 6 أجزاء، لإكمال دورة كاملة. وتزداد أطوال الأجزاء مع ازدياد قيمة t .

يُظهر الرسم البياني أيضًا متجهات المشتقة الأولى والثانية لـ γ عند زيادات π من t :

$${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}'(t)=ae^{kt}\left(k(\cos {t},\sin {t})+(-\sin {t},\cos {t})\right)}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}''(t)=ae^{kt}\left((k^{2}-1)(\cos {t},\sin {t})+2k(-\sin {t},\cos {t})\right).}$$

متجهات المشتقة الأولى، باللون البرتقالي، هي مماسية للحلزون وتشكل زاوية حوالي 83.7047 درجة مع المتجه القطري، γ (t) ، وهي زاوية مكملة لزاوية الميل التي تبلغ حوالي 6.2953 درجة.

تشكل متجهات المشتقة الثانية، الموضحة باللون الأخضر، زاوية تقارب 83.7047 درجة مع متجهات المشتقة الأولى. ومع كل دورة للحلزون، يتضاعف طول كل من متجهات المشتقة الأولى والثانية.

يُظهر الرسم البياني الثاني نفس اللولب مع تمثيله بمعامل طول القوس، – γ (s) . يبلغ طول قوس الدورة الكاملة الأولى حوالي 9.1197. أما طول قوس الدورة الكاملة الثانية فيبلغ حوالي 18.2394، أي ضعف طول قوس الدورة الأولى تمامًا.

تتضمن بعض الاختلافات مع الرسم البياني الأول ما يلي:

• جميع متجهات المماس للمشتقة الأولى هي متجهات وحدة، ‖ – γ ′ (s) ‖ = 1 .
• الأجزاء الحمراء والزرقاء من اللولب، والتي تمثل فترات وحدة s ، لها نفس الطول ولها طول قوس 1.
• تكون متجهات المشتقة الثانية عمودية على متجهات المماس الخاصة بها.
• تصبح متجهات المشتقة الثانية، وهي متجهات الانحناء ، أقصر مع زيادة قيم s، حيث تقطع كل دورة كاملة للحلزون الطول إلى النصف.

لإيجاد تمثيل طول القوس من التمثيل القياسي، γ (t) ، فإن مقدار المشتقة الأولى هو $${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|=\left|a\right|e^{kt}{\sqrt {k^{2}+1}},}$$ دالة طول القوس، من نقطة مرجعية γ ( t ₀ ) ، ومشتقاتها هي $$\begin{aligned}s(t)&=\frac {\left|a\right|{\sqrt {k^{2}+1}}}{k}}(e^{kt}-e^{kt_{0}})\\s'(t)&=\left|a\right|e^{kt}{\sqrt {k^{2}+1}}=\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|\\s''(t)&=\left|a\right|e^{kt}k{\sqrt {k^{2}+1}}=k\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|.\\\end{aligned}}}$$ معكوس الدالة s ( t ) ومشتقاتها هي $$\begin{aligned}t(s)&=\frac{1}{k}\ln(\frac{sk}{|a|\sqrt{k^{2}+1}}}}+e^{kt_{0}}\right)}\\t'(s)&=\frac{1}{sk+e^{kt_{0}}|a|\sqrt{k^{2}+1}}}}=\frac{1}{e^{kt(s)}|a|\sqrt{k^{2}+1}}}}=\frac{1}{\left\|\boldsymbol{\gamma}}'(t(s))\right\|}}\\t''(s)&=\frac{-k}{\left\|\boldsymbol{\gamma}} }}'(t(s))\right\|^{2}}}.\\\end{aligned}}}$$

ثم تكون معلمات طول القوس للحلزون هي $$\begin{aligned}{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}(s)&={\boldsymbol {\gamma }}(t(s))=ae^{kt(s)}(\cos {(t(s))},\sin {(t(s))})\\&=\mathrm {sign{(a)}} {\left({\frac {sk}{\sqrt {k^{2}+1}}}+e^{kt_{0}}\right)}\\&\quad \quad \left(\cos {\left({\frac {1}{k}}\ln {\left({\frac {sk}{|a|{\sqrt {k^{2}+1}}}}+e^{kt_{0}}\right)}\right)},\right.\\&\quad \quad \quad \left.\sin {\left({\frac {1}{k}}\ln {\left({\frac {sk}{|a|{\sqrt {k^{2}+1}}}}+e^{kt_{0}}\right)}\right)}\right),\\\end{aligned}}}$$ مع المشتقات الأولى والثانية بالنسبة إلى s من $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}'(s)&={\boldsymbol {\gamma }}'(t(s))~t'(s)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t(s))}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t(s))\right\|}}\\{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)&={\boldsymbol {\gamma }}''(t(s))~t'(s)^{2}+{\boldsymbol {\gamma }}'(t(s))~t''(s)\\&={\frac {a\left(-(\cos {t(s)},\sin {t(s)})+k(-\sin {t(s)},\cos {t(s)})\right)}{\left|a\right|^{2}e^{kt(s)}(k^{2}+1)}}~.\\\end{aligned}}}$$

المشتقة الثانية هي متجه انحناء اللولب، ومقداره، أي الانحناء κ ، هو $$\begin{aligned}\kappa(s)&=\left\|{\boldsymbol{\bar{\gamma}}}''(s)\right\|\\&={\frac{1}{\left|a\right|e^{kt(s)}{\sqrt{k^{2}+1}}}}~.\\\end{aligned}}}$$

إطار فرينيه هو إطار مرجعي متحرك يتكون من n متجهات متعامدة eᵢ ( t ) يُستخدم لوصف منحنى محليًا عند كل نقطة γ ( t ) . وهو الأداة الرئيسية في المعالجة الهندسية التفاضلية للمنحنيات _، لأنه من الأسهل والأكثر طبيعية وصف الخصائص المحلية (مثل الانحناء والالتواء) باستخدام نظام مرجعي محلي بدلاً من استخدام نظام مرجعي عالمي مثل الإحداثيات الإقليدية.

بفرض منحنى C ^{n +1} γ في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$أي منتظم من الرتبة n، إطار فرينيه للمنحنى هو مجموعة المتجهات المتعامدة. $${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}$$ تُسمى هذه المتجهات متجهات فرينيه . ويتم إنشاؤها من مشتقات γ ( t ) باستخدام خوارزمية غرام-شميدت للتعامد . $$\begin{aligned}\mathbf{e}_{1}(t)&=\frac{\gamma'(t)}{\left\|\gamma'(t)\right\|}\\[1ex]\mathbf{e}_{j}(t)&=\frac{\mathbf{\overline{e}}_{j}(t)}{\left\|\overline{\mathbf{e}_{j}}}(t)\right\|}},&\mathbf{\overline{e}}_{j}(t)&=\gamma^{(j)}(t)-\sum_{i=1}^{j-1}\left\langle\gamma }}^{(j)}(t),\,\mathbf {e} _{i}(t)\right\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t){\vphantom {\Bigg \langle }}\end{aligned}}}$$

تُسمى الدوال الحقيقية χ _i ( t ) بالانحناءات المعممة، وتُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle \chi _{i}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}^{'}(t)\right\|}}}$$

إطار فرينيه والانحناءات المعممة ثابتة تحت إعادة التحديد، وبالتالي فهي خصائص هندسية تفاضلية للمنحنى. بالنسبة للمنحنيات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$χ ₁ ( t ) هو الانحناء وχ 2 ₍ t ) هو الالتواء .

يمكن تصور متجهات فرينيه الثلاثة الأولى والانحناءات المعممة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. ولها أسماء إضافية ومعلومات دلالية أكثر.

بفرض وجود n − 1 دالة: $${\displaystyle \chi _{i}\in C^{n-i}([a,b],\mathbb {R} ^{n}),\quad \chi _{i}(t)>0,\quad 1\leq i\leq n-1}$$ ثم يوجد منحنى فريد (حتى التحويلات باستخدام المجموعة الإقليدية ) C ^{n +1} -curve γ منتظم من الرتبة n وله الخصائص التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\|\gamma '(t)\|&=1&t\in [a,b]\\\chi _{i}(t)&={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\|}}\end{aligned}}}$$ حيث المجموعة $${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}$$ إطار فرينيه للمنحنى.

بالإضافة إلى ذلك، من خلال توفير نقطة بداية t ₀ في I ، ونقطة بداية p ₀ في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$وإطار فرينيه موجب متعامد ابتدائي { e ₁ , ..., e _{n −1} } مع $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\gamma }}(t_{0})&=\mathbf {p} _{0}\\\mathbf {e} _{i}(t_{0})&=\mathbf {e} _{i},\quad 1\leq i\leq n-1\end{aligned}}}$$ يتم حذف التحويلات الإقليدية للحصول على منحنى فريد γ .

تُعدّ صيغ فرينيه-سيريه مجموعة من المعادلات التفاضلية العادية من الرتبة الأولى. ويُمثّل حلّها مجموعة متجهات فرينيه التي تصف المنحنى المُحدّد بواسطة دوال الانحناء المعممة χᵢ _.

منحنى برتراند هو منحنى منتظم في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$مع الخاصية الإضافية المتمثلة في وجود منحنى ثانٍ في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$بحيث تكون متجهات العمود الرئيسية لهذين المنحنيين متطابقة عند كل نقطة متناظرة. بعبارة أخرى، إذا كان _γ1 ( t ) و γ2 ( t ₎ منحنيين في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$بحيث يكون لكل قيمة لـ t، يكون المتجهان العموديان الرئيسيان N1( _t ) و N2 ₍ t ) متساويين ، وبالتالي فإن γ1 و γ2 _{منحنيات} برتراند ، ويُطلق على ^γ2 اسم _نظير برتراند لـ γ1 ^. يمكننا كتابة γ2 ( _t ) = _{γ1 ( t} ) + rN1 ( _t ) لثابت ما r . [ ⁴ ]

وفقًا للمسألة رقم 25 في كتاب كوهنيل "الهندسة التفاضلية: المنحنيات - الأسطح - المتشعبات"، فإنه من الصحيح أيضًا أن منحنيي برتراند اللذين لا يقعان في نفس المستوى ثنائي الأبعاد يتميزان بوجود علاقة خطية a κ ( t ) + b τ ( t ) = 1، حيث κ ( t ) و τ ( t ) هما انحناء والتواء γ ₁ ( t ) على التوالي، و a و b ثابتان حقيقيان حيث a ≠ 0. [ ^{5 ] علاوة} على ذلك، فإن حاصل ضرب التواءات زوج من منحنيات برتراند ثابت. ^{[ 6 ]} إذا كان لـ γ ₁ أكثر من نظير برتراند واحد، فإنه يكون له عدد لا نهائي من النظائر. ويحدث هذا فقط عندما يكون γ ₁ حلزونًا دائريًا. ^{[ 4 ]}

• قائمة مواضيع المنحنيات

• كريزيج، إروين (1991). الهندسة التفاضلية . نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 0-486-66721-9.الفصل الثاني عبارة عن معالجة كلاسيكية لنظرية المنحنيات في ثلاثة أبعاد.