الرياضيات الألمانية

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 57 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرَّف مفهوم نواة كائن ما في/على فضاء طوبولوجي بأنه فئة تكافؤ لهذا الكائن مع كائنات أخرى من النوع نفسه، تُجسِّد خصائصها المحلية المشتركة. وعلى وجه الخصوص، فإن الكائنات المعنية هي في الغالب دوال (أو تطبيقات ) ومجموعات جزئية . في تطبيقات محددة لهذه الفكرة، قد تمتلك الدوال أو المجموعات الجزئية المعنية خاصية ما، كأن تكون تحليلية أو سلسة ، ولكن هذا ليس شرطًا أساسيًا (بل قد لا تكون الدوال المعنية متصلة ). ومع ذلك، من الضروري أن يكون الفضاء الذي يُعرَّف فيه الكائن فضاءً طوبولوجيًا، حتى يكون لمصطلح " محلي" معنى.

اسم

الاسم مشتق من جنين الحبوب في استمرار لاستعارة الحزمة ، حيث أن الجنين هو (محليًا) "قلب" الوظيفة، كما هو الحال بالنسبة للحبوب.

التعريف الرسمي

التعريف الأساسي

بفرض وجود نقطة x في فضاء طوبولوجي X ، وخريطتينو،ز:X→Y{\displaystyle f,g:X\to Y}(حيث Y أي مجموعة )، إذن و{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}عرّف نفس الجرثومة عند x إذا كانت هناك جوار U لـ x بحيث تكون f و g متساويتين عند تقييدهما بـ U ؛ بمعنى أنو(u)=ز(u){\displaystyle f(u)=g(u)}لكل u في U.​

وبالمثل، إذا كانت S و T أي مجموعتين جزئيتين من X ، فإنهما تحددان نفس الجرثومة عند x إذا كانت هناك جوار U لـ x بحيث

S∩يو=تي∩يو.{\displaystyle S\cap U=T\cap U.}

يمكن فهم هذا على أنه تطبيق للتعريف الأساسي أعلاه، من خلال تحديد S و T بوظائف المؤشر الخاصة بهما ،1S:X→{0،1}{\displaystyle \mathbf {1} _{S}:X\rightarrow \{0,1\}}و1تي:X→{0،1}{\displaystyle \mathbf {1} _{T}:X\rightarrow \{0,1\}}.

من السهل ملاحظة أن تعريف نفس الجرثومة عند x هو علاقة تكافؤ (سواء على الخرائط أو المجموعات)، وتُسمى فئات التكافؤ بالجرثومات (جرثومات الخرائط، أو جرثومات المجموعات على التوالي). وعادةً ما تُكتب علاقة التكافؤ على النحو التالي:

و∼xزأوS∼xتي.{\displaystyle f\sim _{x}g\quad {\text{or}}\quad S\sim _{x}T.}

إذا كانت لدينا دالة f على X ، فإن جرثومتها عند x يُرمز لها عادةً بـ [ f ] x . وبالمثل، فإن جرثومة المجموعة S عند x تُكتب [ S ] x . وبالتالي،

[و]x={ز:X→Y|ز∼xو}.{\displaystyle [f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.}

يُرمز إلى دالة الربط عند النقطة x في X التي تربط النقطة x في X بالنقطة y في Y بالرمز التالي:

و:(X،x)→(Y،y).{\displaystyle f:(X,x)\to (Y,y).}

عند استخدام هذه الصيغة، يُقصد بـ f فئة تكافؤ كاملة من الخرائط، باستخدام الحرف f نفسه لأي خريطة تمثيلية .

لاحظ أن مجموعتين متكافئتان جرثومياً عند x إذا وفقط إذا كانت دوالهما المميزة متكافئة جرثومياً عند x :

S∼xتي⟺1S∼x1تي.{\displaystyle S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.}

وبشكل عام

لا يشترط تعريف الدوال على كامل المجموعة X ، وبالتحديد لا يشترط أن يكون لها نفس المجال. مع ذلك، إذا كان مجال الدالة f هو S ومجال الدالة g هو T ، وكلاهما مجموعتان جزئيتان من X ، فإن f و g متكافئتان جرثوميًا عند x في X إذا كان S و T متكافئتين جرثوميًا عند x ، على سبيل المثالS∩يو=تي∩يو≠∅،{\displaystyle S\cap U=T\cap U\neq \emptyset ,}وعلاوة على ذلكو|S∩V=ز|تي∩V{\displaystyle f|_{S\cap V}=g|_{T\cap V}}، بالنسبة لبعض الجوار الأصغر V معx∈V⊆يو{\displaystyle x\in V\subseteq U}وهذا الأمر ذو أهمية خاصة في حالتين:

  1. الدالة f معرفة على مجموعة فرعية V من X ، و
  2. للدالة f قطب من نوع ما عند x ، لذا فهي غير معرفة عند x ، على سبيل المثال دالة كسرية ، والتي يمكن تعريفها من خلال مجموعة فرعية.

الخصائص الأساسية

إذا كانت f و g متكافئتين عند x ، فإنهما تشتركان في جميع الخصائص المحلية، مثل الاستمرارية، وقابلية التفاضل ، وما إلى ذلك، لذلك من المنطقي الحديث عن جرثومة قابلة للتفاضل أو تحليلية ، وما إلى ذلك. وبالمثل بالنسبة للمجموعات الجزئية: إذا كان أحد ممثلي الجرثومة مجموعة تحليلية ، فإن جميع الممثلين كذلك، على الأقل في جوار ما لـ x .

تُورَث البنى الجبرية على الهدف Y بواسطة مجموعة الجراثيم ذات القيم في Y. على سبيل المثال، إذا كان الهدف Y عبارة عن زمرة ، فمن المنطقي ضرب الجراثيم: لتعريف [ f ] x [ g ] x ، نأخذ أولًا الممثلين f و g ، المعرفين على الجوارين U و V على التوالي، ونُعرّف [ f ] x [ g ] x على أنه الجرثومة عند x لخريطة الضرب النقطي fg (المعرفة علىيو∩V{\displaystyle U\cap V}). وبالمثل، إذا كانت Y مجموعة أبيلية أو فضاء متجهي أو حلقة ، فإن مجموعة الجراثيم كذلك.

لا تمتلك مجموعة الجراثيم عند x للتطبيقات من X إلى Y طوبولوجيا مفيدة ، باستثناء الطوبولوجيا المنفصلة . لذلك، من غير المنطقي الحديث عن متتالية متقاربة من الجراثيم. مع ذلك، إذا كانت X و Y متعددات شعب ، فإن فضاءات النفاثاتجxك(X،Y){\displaystyle J_{x}^{k}(X,Y)}( متسلسلة تايلور ذات الرتبة المحدودة عند x لـ map(-germs)) لها طوبولوجيا حيث يمكن تحديدها مع فضاءات متجهة ذات أبعاد محدودة .

العلاقة مع الحزم

تكمن فكرة الجراثيم وراء تعريف الحزم والحزم المسبقة. الحزمة المسبقةF{\displaystyle {\mathcal {F}}}يُعيّن عدد المجموعات الأبيلية على الفضاء الطوبولوجي X مجموعة أبيليةF(يو){\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}لكل مجموعة مفتوحة U في X. ومن الأمثلة النموذجية للمجموعات الأبيلية هنا: الدوال ذات القيم الحقيقية على U ، والأشكال التفاضلية على U ، وحقول المتجهات على U ، والدوال الهولومورفية على U (عندما يكون X متعدد الشعب المركب )، والدوال الثابتة على U ، والمؤثرات التفاضلية على U.

لوV⊆يو{\displaystyle V\subseteq U}ثم هناك خريطة للقيودرهـsVيو:F(يو)→F(V)،{\displaystyle \mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),}استيفاء شروط توافق معينة . بالنسبة لقيمة ثابتة لـ x ، يُقال أن العناصرو∈F(يو){\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(U)}وز∈F(V){\displaystyle g\in {\mathcal {F}}(V)}تكون متكافئة عند x إذا كانت هناك جواردبليو⊆يو∩V{\displaystyle W\subseteq U\cap V}من x مع res WU ( f ) = res WV ( g ) (كلا العنصرين منF(دبليو){\displaystyle {\mathcal {F}}(W)}تشكل فئات التكافؤ الساقFx{\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}عند النقطة س من الحزمة المسبقةF{\displaystyle {\mathcal {F}}}. علاقة التكافؤ هذه هي تجريد لتكافؤ الجرثومة الموصوف أعلاه.

يُقدّم تفسير الجراثيم من خلال الحزم تفسيراً عاماً لوجود البنى الجبرية على مجموعات الجراثيم. والسبب هو أن تكوين السيقان يحافظ على النهايات المحدودة . وهذا يعني أنه إذا كانت T نظرية لوفير ، وكانت الحزمة F جبراً على T ، فإن أي ساق F x هو أيضاً جبر على T.

أمثلة

لوX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}بوجود بنية إضافية، من الممكن تعريف مجموعات فرعية من مجموعة جميع الخرائط من X إلى Y أو بشكل أعم، حزم فرعية مسبقة لحزمة مسبقة معينةF{\displaystyle {\mathcal {F}}}والجراثيم المقابلة لها: فيما يلي بعض الأمثلة البارزة .

ج0(X،Y)⊆هوم(X،Y){\displaystyle C^{0}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}
تعريف الدوال المتصلة يحدد بذور الدوال المتصلة .
جك(X،Y)⊆هوم(X،Y){\displaystyle C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}
لك{\displaystyle k}الدوال القابلة للتفاضل باستمرار - مرات ، المجموعة الفرعية
ج∞(X،Y)=⋂كجك(X،Y)⊆هوم(X،Y){\displaystyle C^{\infty }(X,Y)=\bigcap \nolimits _{k}C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}
من الدوال الملساء والمجموعة الفرعية
جω(X،Y)⊆هوم(X،Y){\displaystyle C^{\omega }(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}
يمكن تعريف الدوال التحليلية (ω{\displaystyle \omega }هذا هو الترتيب الترتيبي لللانهاية؛ وهذا إساءة استخدام للرمز ، قياسًا علىجك{\displaystyle C^{k}}وج∞{\displaystyle C^{\infty }}) ، ومن ثم يمكن إنشاء فضاءات لجراثيم الدوال التحليلية ( المتفاضلة بشكل نهائي) والناعمة .

الترميز

ساق حزمة​F{\displaystyle {\mathcal {F}}}في فضاء طوبولوجيX{\displaystyle X}في نقطةx{\displaystyle x}لX{\displaystyle X}يُشار إليه عادةً بـFx.{\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}.}ونتيجة لذلك، فإن الجراثيم، التي تشكل سيقان حزم من وظائف مختلفة، تستعير نظام الترميز هذا:

  • جx0{\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{0}}هو فضاء جراثيم الدوال المتصلة عندx{\displaystyle x}.
  • جxك{\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{k}}لكل عدد طبيعيك{\displaystyle k}هو فضاء جراثيمك{\displaystyle k}الدوال القابلة للتفاضل مرات عديدة فيx{\displaystyle x}.
  • جx∞{\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{\infty }}هو فضاء جراثيم الدوال القابلة للتفاضل بلا حدود ("الناعمة") عندx{\displaystyle x}.
  • جxω{\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{\omega }}هو فضاء جراثيم الدوال التحليلية عندx{\displaystyle x}.
  • ياx{\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}هو فضاء جراثيم الدوال الهولومورفية (في الهندسة المركبة )، أو فضاء جراثيم الدوال المنتظمة (في الهندسة الجبرية ) عندx{\displaystyle x}.

بالنسبة لبذور المجموعات والأصناف، فإن الترميز ليس راسخًا تمامًا: تتضمن بعض الترميزات الموجودة في الأدبيات ما يلي:

  • Vx{\displaystyle {\mathfrak {V}}_{x}}هو فضاء جراثيم الأصناف التحليلية فيx{\displaystyle x}عندما تصل النقطةx{\displaystyle x}ثابت ومعروف (على سبيل المثال عندما)X{\displaystyle X}هو فضاء متجهي طوبولوجي وx=0{\displaystyle x=0}يمكن حذفها في كل من الرموز المذكورة أعلاه: أيضًا، عندماخافت⁡X=ن{\displaystyle \dim X=n}يمكن إضافة رمز سفلي قبل الرمز. على سبيل المثال
  • نج0،نجك،نج∞،نجω،نيا،نV{\displaystyle {_{n}{\mathcal {C}}^{0}},{_{n}{\mathcal {C}}^{k}},{_{n}{\mathcal {C}}^{\infty }},{_{n}{\mathcal {C}}^{\omega }},{_{n}{\mathcal {O}}},{_{n}{\mathfrak {V}}}}هل المساحات الموضحة أعلاه مليئة بالجراثيم عندماX{\displaystyle X}هون{\displaystyle n}فضاء متجهي ذو أبعاد n وx=0{\displaystyle x=0}.

التطبيقات

الكلمة المفتاحية في تطبيقات الجراثيم هي الموضعية : إذ يمكن دراسة جميع الخصائص الموضعية للدالة عند نقطة ما من خلال تحليل جرثومتها . وهي تعميم لمتسلسلة تايلور ، وبالفعل، تُعرَّف متسلسلة تايلور لجرثومة (دالة قابلة للتفاضل): إذ لا تحتاج إلا إلى معلومات موضعية لحساب المشتقات.

تُعد الجراثيم مفيدة في تحديد خصائص الأنظمة الديناميكية بالقرب من نقاط مختارة من فضاء الطور الخاص بها : فهي إحدى الأدوات الرئيسية في نظرية التفرد ونظرية الكوارث .

عندما تكون الفضاءات الطوبولوجية التي تم النظر فيها هي أسطح ريمان أو بشكل عام أصناف تحليلية معقدة ، يمكن اعتبار جراثيم الدوال الهولومورفية عليها بمثابة متسلسلات قوى ، وبالتالي يمكن اعتبار مجموعة الجراثيم بمثابة استمرار تحليلي لدالة تحليلية .

يمكن أيضًا استخدام الجراثيم في تعريف متجهات المماس في الهندسة التفاضلية . ويمكن اعتبار متجه المماس بمثابة اشتقاق نقطي على جبر الجراثيم عند تلك النقطة. [ 1 ]

الخصائص الجبرية

كما ذُكر سابقاً، قد تمتلك مجموعات الجراثيم بنى جبرية، مثل كونها حلقات. وفي كثير من الحالات، لا تكون حلقات الجراثيم حلقات عشوائية، بل لها خصائص محددة للغاية.

لنفترض أن X فضاء من نوع ما. غالبًا ما يكون حلقة جراثيم الدوال عند كل x ∈ X حلقة محلية . ينطبق هذا، على سبيل المثال، على الدوال المتصلة على فضاء طوبولوجي؛ وعلى الدوال القابلة للتفاضل k مرة، أو الملساء، أو التحليلية على مشعب حقيقي (عندما تكون هذه الدوال مُعرَّفة)؛ وعلى الدوال التحليلية على مشعب عقدي ؛ وعلى الدوال المنتظمة على تنوع جبري. تُعتبر خاصية كون حلقات الجراثيم حلقات محلية بديهية في نظرية الفضاءات الحلقية المحلية .

مع ذلك، فإن أنواع الحلقات المحلية التي تنشأ تعتمد بشكل كبير على النظرية قيد الدراسة. تنص نظرية تحضير فايرشتراس على أن حلقات جراثيم الدوال التحليلية هي حلقات نوثرية . ويمكن أيضًا إثبات أنها حلقات منتظمة . من جهة أخرى، ليكنج0∞(R){\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbf {R} )}لتكن حلقة الجراثيم عند نقطة الأصل للدوال الملساء على R. هذه الحلقة محلية ولكنها ليست نوثرية. ولتوضيح ذلك، لاحظ أن المثالي الأعظم m لهذه الحلقة يتكون من جميع الجراثيم التي تتلاشى عند نقطة الأصل، وأن القوة m k تتكون من تلك الجراثيم التي تتلاشى مشتقاتها الأولى k − 1. لو كانت هذه الحلقة نوثرية، لكانت نظرية كرول للتقاطع ستُشير إلى أن الدالة الملساء التي تتلاشى متسلسلة تايلور الخاصة بها ستكون الدالة الصفرية. لكن هذا غير صحيح، كما يتضح من خلال النظر في

و(x)={هـ-1/x2،x≠0،0،x=0.{\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}},&x\neq 0,\\0,&x=0.\end{cases}}}

هذه الحلقة ليست مجال تحليل فريد أيضًا . وذلك لأن جميع مجالات التحليل الفريدة تحقق شرط السلسلة التصاعدية على المُثُل الرئيسية ، ولكن توجد سلسلة تصاعدية لانهائية من المُثُل الرئيسية.

⋯⊊(x-ج+1و(x))⊊(x-جو(x))⊊(x-ج-1و(x))⊊⋯.{\displaystyle \cdots \subsetneq (x^{-j+1}f(x))\subsetneq (x^{-j}f(x))\subsetneq (x^{-j-1}f(x))\subsetneq \cdots .}

تكون عمليات الإدراج صارمة لأن x موجود في المثالي الأقصى m .

الخاتمج00(R){\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbf {R} )}تتمتع مجموعة الجراثيم التي تمثل أصل الدوال المتصلة على R بخاصية أن مثاليها الأعظم m يحقق m² = m . ويمكن كتابة أي جرثومة f ∈ m على النحو التالي:

و=|و|1/2⋅(علامة⁡(و)|و|1/2)،{\displaystyle f=|f|^{1/2}\cdot {\big (}\operatorname {sgn} (f)|f|^{1/2}{\big )},}

حيث sgn هي دالة الإشارة. بما أن | f | تتلاشى عند نقطة الأصل، فإن هذا يُعبّر عن f كحاصل ضرب دالتين في m ، ومن هنا تأتي النتيجة. يرتبط هذا ببنية نظرية الحلقات التقريبية .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ تو، إل دبليو (2007). مقدمة في المتشعبات . نيويورك: سبرينغر. ص 11.
  • نيكولا بورباكي (1989). الطوبولوجيا العامة. الفصول 1-4 (  الطبعة الورقية). سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 3-540-64241-2.، الفصل الأول، الفقرة 6، الفقرة الفرعية 10 " الجراثيم في نقطة ما ".
  • راغافان ناراسيمهان (1973). التحليل على المشعبات الحقيقية والمعقدة (  الطبعة الثانية). دار نشر نورث هولاند إلسيفير. رقم ISBN 0-7204-2501-8.، الفصل 2، الفقرة 2.1، " التعريفات الأساسية ".
  • روبرت سي. غانينغ وهوغو روسي (1965). الدوال التحليلية لعدة متغيرات مركبة . برنتيس هول .، الفصل 2 " الحلقات المحلية للدوال الهولومورفية "، وخاصة الفقرة أ " الخصائص الأولية للحلقات المحلية " والفقرة هـ " جراثيم الأصناف ".
  • إيان ر. بورتيوس (2001) التفاضل الهندسي ، صفحة 71، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-00264-8.
  • جوزيبي تاليني (1973). Varietà Differentenziabili e coomologia di De Rham (المشعبات التفاضلية وعلم تجانس دي رام) . إديزيوني كريمونيزي. رقم ISBN 88-7083-413-1.، الفقرة 31، " Germi di funzioni Differentenziabili in un puntoP{\displaystyle P}ديVن{\displaystyle V_{n}}(جراثيم الدوال القابلة للتفاضل عند نقطة)P{\displaystyle P}لVن{\displaystyle V_{n}}) " (باللغة الإيطالية).