لعبة ساخنة

في نظرية الألعاب التوافقية ، وهي فرع من فروع الرياضيات، تُعتبر اللعبة الساخنة هي تلك التي يستطيع فيها كل لاعب تحسين موقعه من خلال القيام بالخطوة التالية.

على النقيض من ذلك، فإن اللعبة الباردة هي لعبة لا يستطيع فيها أي لاعب إلا أن يُفاقم وضعه بالخطوة التالية. وتُعادل فئة الألعاب الباردة فئة الأعداد السريالية ، وبالتالي يمكن ترتيبها حسب قيمتها، بينما قد تتخذ الألعاب الساخنة قيمًا أخرى. ^{[ 1 ]}

توجد أيضاً ألعاب فاترة ، وهي ألعاب ذات درجة حرارة صفرية تماماً. تتكون الألعاب الفاترة من فئة الألعاب العددية البحتة: أي الألعاب التي تعادل عدداً زائداً عدداً متناهياً في الصغر.

لا يمكن أن يمثل هاكنبوش إلا الألعاب الباردة والفاترة (من خلال تحلله ^{[ 2 ]} إلى جبل أرجواني وغابة خضراء).

على سبيل المثال، لنفترض لعبةً يتناوب فيها اللاعبون على إزالة قطع من لونهم من الطاولة، حيث يزيل اللاعب الأزرق القطع الزرقاء فقط، واللاعب الأحمر يزيل القطع الحمراء فقط، ويكون الفائز هو آخر لاعب يزيل قطعة. من البديهي أن الفوز سيكون للاعب الذي يبدأ بعدد أكبر من القطع، أو للاعب الثاني إذا تساوى عدد القطع الحمراء والزرقاء. إزالة قطعة من لون اللاعب تجعل وضعه أسوأ قليلاً، لأنه أصبح لديه عدد أقل من القطع على الطاولة. وهكذا، تمثل كل قطعة عنصرًا "باردًا" في اللعبة.

لنفترض الآن وجود رمز أرجواني خاص يحمل الرقم "100"، يمكن لأي من اللاعبين إزالته، ثم استبداله بـ 100 رمز من لونه. (في تدوين كونواي ، يُمثل الرمز الأرجواني اللعبة {100|−100}). يُعد الرمز الأرجواني عنصرًا "مُحفزًا"، لأنه من المفيد جدًا أن يكون اللاعب الذي يُزيله هو من يقوم بذلك. في الواقع، إذا وُجدت أي رموز أرجوانية على الطاولة، يُفضل اللاعبون إزالتها أولًا، تاركين الرموز الحمراء أو الزرقاء للأخير. عمومًا، يُفضل اللاعب دائمًا التحرك في لعبة مُحفزة بدلًا من لعبة غير مُحفزة، لأن التحرك في لعبة مُحفزة يُحسّن موقفه، بينما التحرك في لعبة غير مُحفزة يُضعف موقفه.

درجة حرارة اللعبة هي مقياس لأهميتها بالنسبة للاعبين. رمز "100" أرجواني اللون له درجة حرارة 100 لأن قيمته لكل لاعب هي 100 حركة. بشكل عام، يفضل اللاعبون التحرك في الجزء الأكثر أهمية المتاح. على سبيل المثال، لنفترض وجود رمز "100" أرجواني اللون، ورمز "1000" أرجواني اللون أيضًا، والذي يسمح للاعب الذي يأخذه بوضع 1000 رمز من لونه على الطاولة. سيفضل كل لاعب إزالة رمز "1000"، ذي درجة الحرارة 1000، قبل رمز "100"، ذي درجة الحرارة 100.

لنأخذ مثالاً أكثر تعقيداً قليلاً، لنفترض اللعبة {10|2}  +  {5|−5}. {5|−5} هي قطعة يمكن لأي من اللاعبين استبدالها بـ 5 قطع من لونه، و{10|2} هي قطعة يمكن للاعب الأزرق استبدالها بـ 10 قطع زرقاء أو يمكن للاعب الأحمر استبدالها بقطعتين زرقاوين .

درجة حرارة المكون {10|2} هي ½(10 − 2) = 4، بينما درجة حرارة المكون {5|−5} هي 5. يشير هذا إلى أن كل لاعب يُفضّل اللعب في المكون {5|−5}. في الواقع، أفضل حركة أولى للاعب الأحمر هي استبدال {5|−5} بـ −5، وعندها يستبدل اللاعب الأزرق {10|2} بـ 10، ليصبح المجموع 5؛ لو تحرك اللاعب الأحمر في المكون الأبرد {10|2} بدلاً من ذلك، لكانت النتيجة النهائية 2 + 5 = 7، وهو وضع أسوأ بالنسبة للأحمر. وبالمثل، فإن أفضل حركة أولى للاعب الأزرق هي أيضاً في المكون الأكثر سخونة، من {5|−5} إلى 5، على الرغم من أن التحرك في المكون {10|2} يُنتج المزيد من الرموز الزرقاء على المدى القصير.       

في لعبة سنورت ، يتناوب اللاعبان الأحمر والأزرق على تلوين رؤوس الرسم البياني، مع مراعاة عدم اختلاف لون رأسين متصلين بحافة. ​​وكالعادة، يفوز اللاعب الذي يقوم بآخر حركة قانونية. ولأن حركات اللاعب تُحسّن موقعه بحجز الرؤوس المجاورة له، فإن المواقع في سنورت عادةً ما تكون ساخنة. في المقابل، في لعبة كول ، المشابهة لها ، حيث لا يُسمح للرؤوس المتجاورة بنفس اللون، فإن المواقع عادةً ما تكون باردة.

وجدت نظرية الألعاب الساخنة بعض التطبيقات في تحليل استراتيجية نهاية اللعبة في لعبة غو . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• السيطرة ، لعبة أخرى تنشأ فيها مواقف ساخنة
• التبريد والتدفئة (نظرية الألعاب التوافقية) ، عمليات لجعل الألعاب الساخنة قابلة لنفس نوع التحليل الذي تخضع له الألعاب الباردة

• بيرلكامب، إلوين ب .؛ كونواي، جون هـ .؛ جاي، ريتشارد ك. (1982). طرق الفوز . المجلد  1 (  الطبعة الأولى). نيويورك : أكاديميك برس . ISBN 0-12-091150-7.
• كونواي، جون هـ. (2001). في الأرقام والألعاب (  الطبعة الثانية). إيه كيه بيترز المحدودة. الصفحات 101-108 . ISBN  1-56881-127-6.