رسم بياني بيترسن

كتاب "مخطط بيترسن" هو كتاب رياضيات يتناول مخطط بيترسن وتطبيقاته في نظرية المخططات . ألفه ديريك هولتون وجون شيهان، ونُشر عام 1993 من قبل مطبعة جامعة كامبريدج كمجلد 7 ضمن سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية الأسترالية.

مخطط بيترسن هو مخطط غير موجه ذو عشرة رؤوس وخمسة عشر ضلعًا، ويُرسم عادةً على شكل نجمة خماسية داخل شكل خماسي ، حيث تتصل الرؤوس المتناظرة ببعضها. يتميز هذا المخطط بخصائص رياضية غير مألوفة، وكثيرًا ما يُستخدم كمثال مضاد للفرضيات في نظرية المخططات. ^{[ 1 ] [ 2 ]} يستغل الكتاب هذه الخصائص كذريعة لتغطية العديد من المواضيع المتقدمة في نظرية المخططات، حيث يلعب هذا المخطط دورًا هامًا. ^{[ 1 ] [ 3 ]} يحتوي الكتاب على رسومات توضيحية كثيرة، ويتضمن مسائل مفتوحة حول المواضيع التي يناقشها، بالإضافة إلى مراجع تفصيلية للأدبيات المتعلقة بهذه المسائل. ^{[ 1 ] [ 4 ]}

بعد فصل تمهيدي، يتناول الفصلان الثاني والثالث تلوين الرسوم البيانية ، وتاريخ نظرية الألوان الأربعة للرسوم البيانية المستوية ، وتكافؤها مع تلوين الحواف الثلاثية للرسوم البيانية المكعبة المستوية ، والرسوم البيانية المكعبة التي لا تحتوي على مثل هذه التلوينات، وفرضية دبليو تي توت التي تنص على أن كل رسم بياني مكعب يحتوي على رسم بياني بيترسن كرسم بياني فرعي . ويتناول فصلان آخران موضوعين وثيقي الصلة، وهما: المطابقات الكاملة (مجموعات الحواف التي يمكن أن يكون لها لون واحد في تلوين الحواف الثلاثي) والتدفقات غير الصفرية ( المفهوم المقابل لتلوين الرسوم البيانية المستوية). ويظهر رسم بياني بيترسن مرة أخرى في فرضية أخرى لتوت، مفادها أنه عندما لا يحتوي رسم بياني بدون جسر على رسم بياني بيترسن كرسم بياني فرعي، فلا بد أن يحتوي على تدفق رباعي غير صفري. ^{[ 3 ]}

يتناول الفصل السادس من الكتاب الأقفاص ، وهي أصغر الرسوم البيانية المنتظمة التي لا تحتوي على دورات أقصر من طول معين. يُعدّ رسم بيترسن مثالًا على ذلك: فهو أصغر رسم بياني منتظم من الدرجة 3 لا يحتوي على دورات أقصر من 5. أما الفصل السابع فيتناول الرسوم البيانية شبه الهاميلتونية ، وهي الرسوم البيانية التي لا تحتوي على دورة هاميلتونية تمر بجميع رؤوسها، ولكنها تحتوي على دورات تمر بكل مجموعة من جميع الرؤوس باستثناء رأس واحد؛ ويُعدّ رسم بيترسن أصغر مثال على ذلك. يتناول الفصل التالي تناظرات الرسوم البيانية ، وأنواع الرسوم البيانية المُعرّفة بتناظراتها، بما في ذلك الرسوم البيانية المتعدية للمسافة والرسوم البيانية المنتظمة بقوة (التي يُعدّ رسم بيترسن مثالًا عليها) ^{[ 3 ]} ورسوم كايلي البيانية (التي لا يُعدّ رسم بيترسن مثالًا عليها). ^{[ 1 ]} ويختتم الكتاب بفصل أخير يتناول مواضيع متفرقة لا تتسع لها فصول مستقلة. ^{[ 3 ]}

يفترض الكتاب أن لدى قرائه معرفة مسبقة بنظرية الرسوم البيانية. ^{[ 3 ]} ويمكن استخدامه كمرجع للباحثين في هذا المجال، ^{[ 1 ] [ 2 ]} أو كأساس لدورة متقدمة في نظرية الرسوم البيانية. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

على الرغم من أن كارستن توماسِن يصف الكتاب بأنه "أنيق" ^{[ 4 ]} ، ويُقيّم روبن ويلسون عرضه بأنه "جيد عمومًا" ^{[ 2 ]} ، فإن المُراجع تشارلز إتش سي ليتل يتخذ رأيًا مُغايرًا، إذ ينتقد تحريره اللغوي، وبعض رموزه الرياضية، وإغفاله مناقشة شبكة التوليفات العددية الصحيحة للمطابقات الكاملة، حيث يلعب عدد نسخ مخطط بيترسن في "وحدات" تجزئة معينة للمخطط دورًا رئيسيًا في حساب البُعد ^{[ 1 ]} . يُشير المُراجع إيان أندرسون إلى سطحية بعض جوانب تغطيته، لكنه يخلص إلى أن الكتاب "ينجح في تقديم لمحة مُثيرة وحماسية" عن نظرية المخططات ^{[ 3 ] .}