الرسم البياني المزدوج

رسم بياني ثنائي القطب

رسم بياني دوري

يقسم التمثيل المستوي الفريد لمخطط الدورة المستوى إلى منطقتين فقط، داخل الدورة وخارجها، وفقًا لنظرية منحنى جوردان . مع ذلك، في دورة من الرتبة n ، تفصل بين هاتين المنطقتين n حافة مختلفة. لذا، فإن المخطط الثنائي للدورة من الرتبة n هو مخطط متعدد الرؤوس ذو رأسين (ثنائيين للمنطقتين)، متصلين ببعضهما البعض بواسطة n حافة ثنائية. يُسمى هذا المخطط مخططًا متعدد الحواف، أو مخططًا للوصلات، أو أحيانًا مخططًا ثنائي القطب . في المقابل، فإن المخطط الثنائي لمخطط ثنائي القطب ذي n حافة هو دورة من الرتبة n . ^{[ 1 ]}

بحسب نظرية شتاينيتز ، يجب أن يكون كل رسم بياني متعدد السطوح (الرسم البياني المُشكَّل من رؤوس وحواف متعدد السطوح المحدب ثلاثي الأبعاد ) مستويًا ومتصلًا بثلاثة رؤوس ، وكل رسم بياني مستوي متصل بثلاثة رؤوس ينشأ من متعدد سطوح محدب بهذه الطريقة. لكل متعدد سطوح محدب ثلاثي الأبعاد متعدد سطوح ثنائي ؛ يحتوي متعدد السطوح الثنائي على رأس لكل وجه من أوجه متعدد السطوح الأصلي، مع وجود رأسين ثنائيين متجاورين عندما يشترك الوجهان المتناظران في حافة. ​​عندما يكون متعددا سطوح ثنائيين، يكون رسمهما البياني ثنائيًا أيضًا. على سبيل المثال، تأتي المجسمات الأفلاطونية في أزواج ثنائية، حيث يكون ثماني السطوح ثنائيًا للمكعب، واثنا عشري السطوح ثنائيًا لعشروني السطوح، ورباعي السطوح ثنائيًا لنفسه. ^{[ 2 ]} يمكن أيضًا توسيع ازدواجية متعدد السطوح إلى ازدواجية متعددات السطوح ذات الأبعاد الأعلى ، ^{[ 3 ]} ولكن هذا التوسيع للازدواجية الهندسية ليس له صلات واضحة بالازدواجية النظرية للرسم البياني.

يُقال إن الرسم البياني المستوي ذاتي التناظر إذا كان متماثلًا مع الرسم البياني الثنائي الخاص به. توفر الرسوم البيانية الدائرية عائلة لانهائية من الرسوم البيانية ذاتية التناظر الناتجة عن متعددات السطوح ذاتية التناظر ( الأهرامات ). ^{[ 4 ] [ 5 ]} ومع ذلك، توجد أيضًا رسوم بيانية ذاتية التناظر ليست متعددة السطوح، مثل الرسم البياني الموضح. يصف سيرفاتيوس وكريستوفر (1992) عمليتين، الالتصاق والتفجير، يمكن استخدامهما لإنشاء رسم بياني ذاتي التناظر يحتوي على رسم بياني مستوٍ معين؛ على سبيل المثال، يمكن إنشاء الرسم البياني ذاتي التناظر الموضح عن طريق التصاق رباعي السطوح مع ثنائيه. ^{[ 5 ]}

يستنتج من صيغة أويلر أن كل رسم بياني ذاتي مزدوج ذي n رأسًا يحتوي على 2n - 2 ضلعًا بالضبط . ^{[ 6 ]} يحتوي كل رسم بياني مستوي ذاتي مزدوج بسيط على أربعة رؤوس على الأقل من الدرجة الثالثة، ويحتوي كل تضمين ذاتي مزدوج على أربعة أوجه مثلثية على الأقل. ^{[ 7 ]}

ليس بالضرورة أن يكون الرسم البياني الثنائي للرسم البياني البسيط بسيطًا: فقد يحتوي على حلقات ذاتية (حافة طرفاها عند نفس الرأس) أو حواف متعددة تربط نفس الرأسين، كما اتضح سابقًا في مثال الرسوم البيانية المتعددة ثنائية القطب التي تُعد ثنائية للرسوم البيانية الدورية. وكحالة خاصة من ثنائية القطع والدورة التي نناقشها لاحقًا، فإن جسور الرسم البياني المستوي G تتطابق تطابقًا تامًا مع الحلقات الذاتية للرسم البياني الثنائي. ^{[ 9 ]} وللسبب نفسه، فإن زوجًا من الحواف المتوازية في الرسم البياني المتعدد الثنائي (أي دورة طولها 2) يقابل مجموعة قطع ثنائية الحواف في الرسم البياني الأصلي (زوج من الحواف يؤدي حذفه إلى فصل الرسم البياني). لذلك، يكون الرسم البياني المستوي بسيطًا إذا وفقط إذا لم يكن لرسمه البياني الثنائي أي مجموعات قطع أحادية أو ثنائية الحواف؛ أي إذا كان متصلًا بثلاث حواف . الرسوم البيانية المستوية البسيطة التي تكون رسومها الثنائية بسيطة هي تحديدًا الرسوم البيانية المستوية البسيطة المتصلة بثلاثة حواف. ^{[ 10 ]} تشمل هذه الفئة من الرسوم البيانية فئة الرسوم البيانية المستوية البسيطة المتصلة بثلاثة رؤوس ، ولكنها ليست هي نفسها. على سبيل المثال، الشكل الذي يوضح رسمًا بيانيًا ثنائيًا ذاتيًا هو متصل بثلاثة حواف (وبالتالي فإن رسمه الثنائي بسيط) ولكنه ليس متصلًا بثلاثة رؤوس.

نظرًا لأن الرسم البياني الثنائي يعتمد على تضمين معين، فإن الرسم البياني الثنائي للرسم البياني المستوي ليس فريدًا، بمعنى أن الرسم البياني المستوي نفسه قد يكون له رسوم بيانية ثنائية غير متماثلة . ^{[ 11 ]} في الصورة، الرسوم البيانية الزرقاء متماثلة، لكن رسومها البيانية الثنائية الحمراء ليست كذلك. يحتوي الرسم البياني الثنائي الأحمر العلوي على رأس بدرجة 6 (يُقابل الوجه الخارجي للرسم البياني الأزرق)، بينما في الرسم البياني الأحمر السفلي جميع الدرجات أقل من 6.

أثبت هاسلر ويتني أنه إذا كان الرسم البياني ثلاثي الاتصال ، فإن تمثيله، وبالتالي الرسم البياني الثنائي، يكون فريدًا. ^{[ 12 ]} وبحسب نظرية شتاينيتز ، فإن هذه الرسوم البيانية هي تحديدًا الرسوم البيانية متعددة السطوح ، أي رسوم بيانية للمجسمات المحدبة. يكون الرسم البياني المستوي ثلاثي الاتصال إذا وفقط إذا كان رسمه البياني الثنائي ثلاثي الاتصال. علاوة على ذلك، فإن الرسم البياني المستوي ثنائي الاتصال له تمثيل فريد، وبالتالي رسم بياني ثنائي فريد أيضًا، إذا وفقط إذا كان تقسيمًا لرسم بياني مستوي ثلاثي الاتصال (رسم بياني مُشكَّل من رسم بياني مستوي ثلاثي الاتصال باستبدال بعض حوافه بمسارات). ^{[ 13 ]} بالنسبة لبعض الرسوم البيانية المستوية غير المتصلة بثلاثة رؤوس، مثل الرسم البياني الثنائي الكامل K _2,4 ، فإن التضمين ليس فريدًا، ولكن جميع التضمينات متماثلة. وعندما يحدث هذا، تكون جميع الرسوم البيانية الثنائية متماثلة.

نظرًا لأن التضمينات المختلفة قد تؤدي إلى رسوم بيانية ثنائية مختلفة، فإن اختبار ما إذا كان رسم بياني ما ثنائيًا لآخر (دون معرفة تضميناتهما مسبقًا) يُعدّ مسألة حسابية معقدة . بالنسبة للرسوم البيانية ثنائية الاتصال، يمكن حلّها في وقت متعدد الحدود باستخدام أشجار SPQR للرسوم البيانية لإنشاء صيغة قياسية لعلاقة التكافؤ التي تنص على وجود رسم بياني ثنائي مشترك. على سبيل المثال، الرسمان البيانيان الأحمران في الرسم التوضيحي متكافئان وفقًا لهذه العلاقة. مع ذلك، بالنسبة للرسوم البيانية المستوية غير ثنائية الاتصال، فإن هذه العلاقة ليست علاقة تكافؤ، وتُعدّ مسألة اختبار الثنائية المشتركة مسألة NP-كاملة . ^{[ 14 ]}

مجموعة القطع في أي رسم بياني متصل هي مجموعة جزئية من الحواف تُعرَّف من خلال تقسيم الرؤوس إلى مجموعتين جزئيتين، وذلك بإضافة حافة إلى المجموعة الجزئية عندما يكون لها طرف واحد على كل جانب من جوانب التقسيم. يؤدي حذف حواف مجموعة القطع بالضرورة إلى تقسيم الرسم البياني إلى مكونين متصلين على الأقل. مجموعة القطع الدنيا (وتُسمى أيضًا الرابطة) هي مجموعة قطع تتميز بأن كل مجموعة جزئية فعلية منها ليست قطعًا بحد ذاتها. تفصل مجموعة القطع الدنيا في الرسم البياني المتصل الرسم البياني إلى مكونين فقط، وتتكون من مجموعة الحواف التي لها طرف واحد في كل مكون. ^{[ 15 ]} الدورة البسيطة هي رسم بياني فرعي متصل يكون فيه كل رأس من رؤوس الدورة متصلًا بحافتين فقط من حواف الدورة. ^{[ 16 ]}

في الرسم البياني المستوي المتصل G ، يقابل كل دورة بسيطة في G مجموعة قطع دنيا في الرسم البياني الثنائي لـ G ، والعكس صحيح. ^{[ 17 ]} يمكن اعتبار هذا شكلاً من أشكال نظرية منحنى جوردان : تفصل كل دورة بسيطة أوجه G إلى أوجه داخل الدورة وأوجه خارجها، وتكون أضلاع الدورة هي تحديدًا الأضلاع التي تعبر من الداخل إلى الخارج. [18] محيط ^{أي رسم بياني} مستوٍ (حجم أصغر دورة فيه) يساوي اتصال أضلاع الرسم البياني الثنائي له (حجم أصغر مجموعة قطع فيه). ^{[ 19 ]}

تمتد هذه الازدواجية من مجموعات القطع والدورات الفردية إلى الفضاءات المتجهة المُعرَّفة منها. يُعرَّف فضاء الدورات لأي رسم بياني بأنه مجموعة جميع الرسوم البيانية الفرعية التي لها درجة زوجية عند كل رأس؛ ويمكن اعتباره فضاءً متجهيًا على الحقل المنتهي ذي العنصرين ، حيث يعمل الفرق المتناظر بين مجموعتين من الحواف كعملية جمع متجهية في هذا الفضاء. وبالمثل، يُعرَّف فضاء القطع لأي رسم بياني بأنه مجموعة جميع مجموعات القطع، مع تعريف عملية الجمع المتجهي بالطريقة نفسها. عندئذٍ، يكون فضاء الدورات لأي رسم بياني مستوٍ وفضاء القطع لرسمه البياني المزدوج متماثلين كفضاءات متجهية. ^{[ 20 ]} وبالتالي، فإن رتبة الرسم البياني المستوي ( بعد فضاء القطع الخاص به) تساوي العدد الدائري لرسمه البياني المزدوج (بعد فضاء الدورات الخاص به)، والعكس صحيح. ^{[ 11 ]} أساس الدورة للرسم البياني هو مجموعة من الدورات البسيطة التي تُشكّل أساسًا لفضاء الدورات (يمكن تكوين كل رسم بياني فرعي ذي درجة زوجية بطريقة واحدة فقط كفرق متناظر لبعض هذه الدورات). بالنسبة للرسوم البيانية المستوية ذات الأوزان على الحواف (بأوزان عامة كافية بحيث لا تتساوى أوزان دورتين)، فإن أساس الدورة ذي الوزن الأدنى للرسم البياني يكون ثنائيًا لشجرة جوموري-هو للرسم البياني الثنائي، وهي مجموعة من القطوع المتداخلة التي تتضمن معًا قطعًا أدنى يفصل كل زوج من الرؤوس في الرسم البياني. تحتوي كل دورة في أساس الدورة ذي الوزن الأدنى على مجموعة من الحواف ثنائية لحواف أحد القطوع في شجرة جوموري-هو. عندما تكون أوزان الدورات متساوية، قد لا يكون أساس الدورة ذي الوزن الأدنى فريدًا، ولكن في هذه الحالة يظل صحيحًا أن شجرة جوموري-هو للرسم البياني الثنائي تُطابق أحد أسس الدورة ذات الوزن الأدنى للرسم البياني. ^{[ 20 ]}

في الرسوم البيانية المستوية الموجهة، تُعتبر الدورات الموجهة البسيطة ثنائيةً للقطع الموجهة (تقسيم الرؤوس إلى مجموعتين فرعيتين بحيث تتجه جميع الحواف في اتجاه واحد، من إحدى المجموعتين الفرعيتين إلى الأخرى). وتُعتبر الرسوم البيانية المستوية ذات التوجه القوي (الرسوم البيانية التي يكون الرسم البياني الأساسي غير الموجه فيها متصلاً، حيث تنتمي كل حافة إلى دورة) ثنائيةً للرسوم البيانية الموجهة غير الدورية التي لا تنتمي فيها أي حافة إلى دورة. وبعبارة أخرى، فإن التوجهات القوية للرسم البياني المستوي المتصل (تعيينات الاتجاهات لحواف الرسم البياني التي ينتج عنها رسم بياني متصل بقوة ) تُعتبر ثنائيةً للتوجهات غير الدورية (تعيينات الاتجاهات التي تُنتج رسمًا بيانيًا موجهًا غير دوري ). ^{[ 21 ]} وبالمثل، فإن المجموعات الثنائية (مجموعات الحواف التي تتضمن حافة من كل قطع موجه) تُعتبر ثنائيةً لمجموعات أقواس التغذية الراجعة (مجموعات الحواف التي تتضمن حافة من كل دورة). ^{[ 22 ]}

يمكن تعريف الشجرة الممتدة بأنها مجموعة من الحواف التي تُشكّل، مع جميع رؤوس الرسم البياني، رسمًا بيانيًا فرعيًا متصلًا وغير دوري. ولكن، وفقًا لخاصية القطع والدوران، إذا كانت مجموعة S من الحواف في رسم بياني مستوٍ G غير دورية (لا تحتوي على دورات)، فإن مجموعة الحواف المزدوجة لـ S لا تحتوي على قطوع، ومن ثمّ فإن المجموعة المكملة من الحواف المزدوجة (الحواف المزدوجة التي ليست في S ) تُشكّل رسمًا بيانيًا فرعيًا متصلًا. وبالمثل، إذا كانت S متصلة، فإن الحواف المزدوجة لمكملة S تُشكّل رسمًا بيانيًا فرعيًا غير دوري. لذلك، عندما تمتلك S كلتا الخاصيتين - أي أنها متصلة وغير دورية - فإن الأمر نفسه ينطبق على المجموعة المكملة في الرسم البياني المزدوج. أي أن كل شجرة ممتدة في G تُكمّل شجرة ممتدة في الرسم البياني المزدوج، والعكس صحيح. وبالتالي، يمكن تقسيم حواف أي رسم بياني مستوٍ ورسمه الثنائي (بطرق متعددة ومختلفة) إلى شجرتين ممتدتين، واحدة في الرسم الأصلي والأخرى في الرسم الثنائي، تمتدان معًا إلى جميع رؤوس ووجوه الرسم البياني دون أن تتقاطعا. وعلى وجه الخصوص، فإن الشجرة الممتدة الدنيا للرسم البياني G مكملة للشجرة الممتدة القصوى للرسم البياني الثنائي. ^{[ 23 ]} ومع ذلك، لا ينطبق هذا على أشجار أقصر المسارات ، حتى تقريبًا: إذ توجد رسوم بيانية مستوية بحيث يكون لكل زوج من شجرة ممتدة في الرسم البياني وشجرة ممتدة مكملة لها في الرسم البياني الثنائي، على الأقل إحدى الشجرتين لها مسافات أطول بكثير من المسافات في الرسم البياني الخاص بها. ^{[ 24 ]}

يمكن ملاحظة مثال على هذا النوع من التفكيك إلى أشجار متداخلة في بعض أنواع المتاهات البسيطة ، ذات المدخل الواحد وجدرانها المتصلة. في هذه الحالة، تتخذ جدران المتاهة والفراغ بينها شكل شجرة رياضية. إذا قُسِّم الفراغ الحر للمتاهة إلى خلايا بسيطة (مثل مربعات الشبكة)، فيمكن اعتبار نظام الخلايا هذا بمثابة تضمين لرسم بياني مستوٍ، حيث يشكل هيكل الشجرة للجدران شجرة ممتدة للرسم البياني، بينما يشكل هيكل الشجرة للفراغ الحر شجرة ممتدة للرسم البياني الثنائي. ^{[ 25 ]} كما يمكن ملاحظة أزواج مماثلة من الأشجار المتداخلة في النمط الشجري للجداول والأنهار داخل حوض التصريف ، والنمط الشجري الثنائي لخطوط التلال التي تفصل بين الجداول. ^{[ 26 ]}

يؤدي هذا التقسيم للحواف وثنائياتها إلى شجرتين إلى برهان بسيط لصيغة أويلر V − E + F = 2 للرسوم البيانية المستوية ذات V رأسًا و E حافة و F وجهًا. أي شجرة ممتدة وشجرتها الممتدة الثنائية المكملة لها تقسم الحواف إلى مجموعتين فرعيتين، V − 1 و F − 1 حافة على التوالي، وبجمع حجمي المجموعتين الفرعيتين نحصل على المعادلة.

E = ( V − 1) + ( F − 1)

والتي يمكن إعادة ترتيبها لتشكيل صيغة أويلر. ووفقًا لدونكان سومرفيل ، فإن هذا البرهان على صيغة أويلر يعود إلى كتاب كي جي سي فون شتاودت " هندسة الوضع" (نورنبرغ، 1847). ^{[ 27 ]}

في تمثيلات الأسطح غير المستوية، لا تُعدّ مجموعة الحواف المزدوجة المكملة لشجرة ممتدة شجرة ممتدة مزدوجة. بل هي اتحاد شجرة ممتدة مزدوجة مع مجموعة صغيرة من الحواف الإضافية، يُحدد عددها بجنس السطح الذي يُمثل عليه الرسم البياني. ويمكن استخدام هذه الحواف الإضافية، بالإضافة إلى المسارات في الأشجار الممتدة، لتوليد المجموعة الأساسية للسطح . ^{[ 28 ]}

أي صيغة عدّ تتضمن رؤوسًا ووجوهًا وتكون صالحة لجميع الرسوم البيانية المستوية، يمكن تحويلها بواسطة الازدواجية المستوية إلى صيغة مكافئة يتم فيها تبديل أدوار الرؤوس والوجوه. صيغة أويلر، وهي صيغة ذاتية الازدواجية، مثال على ذلك. مثال آخر قدمه هاراري يتعلق بمبرهنة المصافحة ، التي تنص على أن مجموع درجات رؤوس أي رسم بياني يساوي ضعف عدد حوافه. في صيغتها المزدوجة، تنص هذه المبرهنة على أنه في الرسم البياني المستوي، يساوي مجموع أطوال أضلاع وجوه الرسم البياني ضعف عدد حوافه. ^{[ 29 ]}

يكون الرسم البياني المتوسط ​​لرسم بياني مستوٍ متماثلاً مع الرسم البياني المتوسط ​​لثنائيته. ولا يمكن أن يكون للرسمين البيانيين المستويين رسمان بيانيان متوسطان متماثلان إلا إذا كانا ثنائيين لبعضهما البعض. ^{[ 30 ]}

يكون الرسم البياني المستوي الذي يحتوي على أربعة رؤوس أو أكثر رسمًا بيانيًا أقصى (لا يمكن إضافة المزيد من الحواف مع الحفاظ على الاستواء) إذا وفقط إذا كان الرسم البياني الثنائي الخاص به متصلًا بثلاثة رؤوس ومنتظمًا بثلاثة رؤوس . ^{[ 31 ]}

يكون الرسم البياني المستوي المتصل أويلريًا (أي أن درجة كل رأس فيه زوجية) إذا وفقط إذا كان الرسم البياني الثنائي له ثنائي الأجزاء . ^{[ 32 ]} تتوافق الدورة الهاميلتونية في الرسم البياني المستوي G مع تقسيم رؤوس الرسم البياني الثنائي إلى مجموعتين فرعيتين (داخل الدورة وخارجها) حيث تكون الرسوم البيانية الفرعية الناتجة عنهما شجرتين. على وجه الخصوص، فإن تخمين بارنيت حول هاميلتونية الرسوم البيانية متعددة السطوح ثنائية الأجزاء المكعبة يكافئ التخمين القائل بأن كل رسم بياني مستوي أقصى أويلري يمكن تقسيمه إلى شجرتين ناتجتين. ^{[ 33 ]}

إذا كان للرسم البياني المستوي G متعددة حدود توت T_{_G} ( x , y ) ، فإن متعددة حدود توت للرسم البياني الثنائي تُحسب بتبديل x و y . ولهذا السبب، إذا قدمت قيمة معينة لمتعددة حدود توت معلومات حول أنواع معينة من البنى في G ، فإن تبديل وسيطي متعددة حدود توت سيعطي المعلومات المقابلة للبنى الثنائية. على سبيل المثال، عدد التوجهات القوية هو T_{_G} (0,2) وعدد التوجهات غير الدورية هو T_{_G} (2,0) . ^{[ 34 ]} بالنسبة للرسوم البيانية المستوية غير المتصلة بجسور ، فإن تلوين الرسم البياني بـ k لونًا يتوافق مع التدفقات غير الصفرية modulo k على الرسم البياني الثنائي. على سبيل المثال، يمكن التعبير عن نظرية الألوان الأربعة (وجود تلوين رباعي لكل رسم بياني مستوي) بشكل مكافئ على أنها تنص على أن الرسم البياني الثنائي لكل رسم بياني مستوي غير متصل بجسور يحتوي على تدفق رباعي غير صفري. يتم حساب عدد التلوينات من الرتبة k (حتى عامل سهل الحساب) بواسطة قيمة متعددة الحدود Tutte T _G (1 − k ,0) وبالمثل يتم حساب عدد التدفقات من الرتبة k التي لا تساوي صفرًا في أي مكان بواسطة T _G (0,1 − k ) . ^{[ 35 ]} 

الرسم البياني المستوي من الرتبة st هو رسم بياني مستوي متصل ذو اتجاه ثنائي القطب ، مما يجعله غير دوري وله مصدر واحد ومصب واحد، ويجب أن يكون كلاهما على نفس الوجه. يمكن تحويل هذا الرسم البياني إلى رسم بياني متصل بقوة بإضافة حافة أخرى من المصب إلى المصدر عبر الوجه الخارجي. الرسم البياني المستوي المزدوج لهذا الرسم البياني المستوي الموسع هو نفسه توسيع لرسم بياني مستوي آخر من الرتبة st . ^{[ 36 ]}

في الرسم البياني المستوي الموجه ، يمكن جعل الرسم البياني الثنائي موجهًا أيضًا، وذلك بتوجيه كل حافة ثنائية بزاوية 90 درجة باتجاه عقارب الساعة من الحافة الأصلية المقابلة لها. ^{[ 36 ]} من الناحية الدقيقة، لا يُعد هذا البناء ثنائية للرسوم البيانية المستوية الموجهة، لأن البدء من الرسم البياني G وأخذ الرسم البياني الثنائي مرتين لا يُعيد الرسم البياني G نفسه، بل يُنشئ رسمًا بيانيًا متماثلًا مع الرسم البياني المنقول لـ G ، وهو الرسم البياني المُشكَّل من G بعكس جميع حوافه. أما أخذ الرسم البياني الثنائي أربع مرات فيُعيد الرسم البياني الأصلي.

الرسم البياني الثنائي الضعيف للرسم البياني المستوي هو الرسم البياني الجزئي للرسم البياني الثنائي الذي تتوافق رؤوسه مع الأوجه المحدودة للرسم البياني الأصلي. يكون الرسم البياني المستوي خارجيًا إذا وفقط إذا كان رسمه البياني الثنائي الضعيف غابة . لأي رسم بياني مستوي G ، ليكن G ⁺ الرسم البياني المتعدد المستوي المُشكَّل بإضافة رأس جديد واحد v في الوجه غير المحدود لـ G ، وتوصيل v بكل رأس من رؤوس الوجه الخارجي (عدة مرات، إذا ظهر رأس ما عدة مرات على حدود الوجه الخارجي)؛ عندئذٍ، يكون G هو الرسم البياني الثنائي الضعيف للرسم البياني الثنائي (المستوي) لـ G ⁺ . ^{[ 37 ]}

ينطبق مفهوم الازدواجية على الرسوم البيانية اللانهائية المضمنة في المستوى كما ينطبق على الرسوم البيانية المحدودة. مع ذلك، يلزم توخي الحذر لتجنب التعقيدات الطوبولوجية، مثل نقاط المستوى التي لا تُشكل جزءًا من منطقة مفتوحة منفصلة عن الرسم البياني، ولا تُشكل جزءًا من حافة أو رأس في الرسم البياني. عندما تكون جميع الأوجه مناطق محدودة محاطة بدورة في الرسم البياني، يمكن أيضًا اعتبار تضمين الرسم البياني المستوي اللانهائي بمثابة تبليط للمستوى، أي تغطية المستوى بأقراص مغلقة (بلاطات التبليط) تكون أجزاؤها الداخلية (أوجه التضمين) أقراصًا مفتوحة منفصلة. تُنتج الازدواجية المستوية مفهوم التبليط المزدوج ، وهو تبليط يتكون من وضع رأس في مركز كل بلاطة وتوصيل مراكز البلاطات المتجاورة. ^{[ 38 ]}

يمكن تطبيق مفهوم التبليط المزدوج على تقسيمات المستوى إلى عدد محدود من المناطق. وهو يرتبط ارتباطًا وثيقًا بازدواجية الرسم البياني المستوي، ولكنه ليس مطابقًا لها تمامًا في هذه الحالة. على سبيل المثال، يُعد مخطط فورونوي لمجموعة محدودة من المواقع النقطية تقسيمًا للمستوى إلى مضلعات يكون فيها موقع ما أقرب من أي موقع آخر. تُنتج المواقع الموجودة على الغلاف المحدب للمدخل مضلعات فورونوي غير محدودة، اثنان من أضلاعها عبارة عن أشعة لانهائية وليست قطعًا مستقيمة محدودة. المخطط المزدوج لهذا المخطط هو تثليث ديلاوناي للمدخل، وهو رسم بياني مستوٍ يربط موقعين بحافة كلما وُجدت دائرة تحتوي على هذين الموقعين فقط. حواف الغلاف المحدب للمدخل هي أيضًا حواف تثليث ديلاوناي، ولكنها تُقابل أشعة وليست قطعًا مستقيمة في مخطط فورونوي. يمكن تحويل هذه الازدواجية بين مخططات فورونوي وتثليثات ديلاوناي إلى ازدواجية بين الرسوم البيانية المحدودة بإحدى طريقتين: إما بإضافة رأس اصطناعي عند اللانهاية إلى مخطط فورونوي، ليكون بمثابة نقطة النهاية الأخرى لجميع أشعته، ^{[ 39 ]} أو بمعاملة الجزء المحدود من مخطط فورونوي باعتباره الازدواجية الضعيفة لتثليث ديلاوناي. على الرغم من أن مخطط فورونوي وتثليث ديلاوناي مزدوجان، إلا أن تضمينهما في المستوى قد يحتوي على تقاطعات إضافية تتجاوز تقاطعات أزواج الحواف المزدوجة. يقع كل رأس من رؤوس مثلث ديلاوناي داخل وجهه المقابل في مخطط فورونوي. يقع كل رأس من رؤوس مخطط فورونوي عند مركز الدائرة المحيطة بالمثلث المقابل في تثليث ديلاوناي، ولكن قد تقع هذه النقطة خارج مثلثه.

K ₇ ثنائي لمخطط هيوود في الطارة

K ₆ ثنائي لمخطط بيترسن في المستوى الإسقاطي

يمكن توسيع مفهوم الازدواجية ليشمل تمثيلات الرسوم البيانية على مشعبات ثنائية الأبعاد غير المستوى. التعريف هو نفسه: يوجد رأس مزدوج لكل مكون متصل من مكمل الرسم البياني في المشعب، وحافة مزدوجة لكل حافة رسم بياني تربط الرأسين المزدوجين على جانبي الحافة. ​​في معظم تطبيقات هذا المفهوم، يقتصر على التمثيلات التي يكون كل وجه منها قرصًا طوبولوجيًا؛ هذا القيد يعمم شرط أن يكون الرسم البياني المستوي متصلًا. مع هذا القيد، يكون للرسم البياني المزدوج لأي رسم بياني مُضمن على سطح ما تمثيل طبيعي على نفس السطح، بحيث يكون الرسم البياني المزدوج متماثلًا ومُضمنًا بشكل متماثل مع الرسم البياني الأصلي. على سبيل المثال، الرسم البياني الكامل K ₇ هو رسم بياني حلقي : فهو ليس مستويًا ولكنه يمكن تضمينه في طارة، حيث يكون كل وجه من أوجه التمثيل مثلثًا. هذا التمثيل له رسم بياني هيوود كرسم بياني مزدوج له. ^{[ 40 ]}

ينطبق المفهوم نفسه بنفس الكفاءة على الأسطح غير القابلة للتوجيه . على سبيل المثال، يمكن تضمين K ₆ في المستوى الإسقاطي بعشرة أوجه مثلثية على شكل نصف عشريني الوجوه ، والذي يكون ثنائيّه هو مخطط بيترسن المضمن على شكل نصف اثني عشري الوجوه . ^{[ 41 ]}

حتى الرسوم البيانية المستوية قد تحتوي على تمثيلات غير مستوية، مع وجود تمثيلات ثنائية مشتقة من تلك التمثيلات تختلف عن تمثيلاتها الثنائية المستوية. على سبيل المثال، تُشكل مضلعات بيتري الأربعة _للمكعب ( السداسيات المُشكّلة بإزالة رأسين متقابلين من المكعب) الأوجه السداسية لتمثيل المكعب في شكل حلقي . يحتوي الرسم البياني الثنائي لهذا التمثيل على أربعة رؤوس تُشكل رسمًا بيانيًا كاملًا K⁴ بحواف مُضاعفة. في التمثيل الحلقي لهذا الرسم البياني الثنائي، تدور الحواف الستة المتصلة بكل رأس، بترتيب دوري حول ذلك الرأس، مرتين عبر الرؤوس الثلاثة الأخرى. على عكس الوضع في المستوى، فإن تمثيل المكعب وتمثيله الثنائي ليسا فريدين؛ إذ يحتوي الرسم البياني للمكعب على العديد من التمثيلات الحلقية الأخرى، مع تمثيلات ثنائية مختلفة. ^{[ 40 ]}

العديد من أوجه التكافؤ بين خصائص الرسم البياني الأولي والثنائي للرسوم البيانية المستوية تفشل في التعميم على الرسوم البيانية الثنائية غير المستوية، أو تتطلب عناية إضافية في تعميمها.

من العمليات الأخرى على الرسوم البيانية المضمنة في الأسطح، عملية بيتري الثنائية ، التي تستخدم مضلعات بيتري للتضمين كأوجه لتضمين جديد. على عكس الرسم البياني الثنائي المعتاد، فإنه يحتوي على نفس رؤوس الرسم البياني الأصلي، ولكنه يقع عمومًا على سطح مختلف. ^{[ 42 ]} تُعدّ ثنائية السطح وثنائية بيتري اثنتين من عمليات ويلسون الست ، وتُشكّلان معًا مجموعة هذه العمليات. ^{[ 43 ]}

الرسم البياني الجبري المزدوج للرسم البياني المتصل G هو رسم بياني G ^* بحيث يكون لـ G و G ^* نفس مجموعة الحواف، وأي دورة في G هي قطع في G ^* ، وأي قطع في G هو دورة في G ^* . لكل رسم بياني مستوٍ رسم بياني جبري مزدوج، وهو ليس فريدًا بشكل عام (أي رسم بياني مزدوج مُعرَّف بتضمين مستوٍ يُفي بالغرض). والعكس صحيح في الواقع، كما أثبت هاسلر ويتني في معيار ويتني للاستواء : ^{[ 44 ]}

يكون الرسم البياني المتصل G مستوياً إذا وفقط إذا كان له رسم بياني مزدوج جبري.

يمكن التعبير عن هذه الحقيقة نفسها في نظرية الماترويدات . إذا كانت M هي الماترويد الرسومي للرسم البياني G ، فإن الرسم البياني G ^* يكون ثنائيًا جبريًا لـ G إذا وفقط إذا كانت الماترويد الرسومي لـ G ^* هي الماترويد الثنائي لـ M. وبالتالي، يمكن إعادة صياغة معيار ويتني للتسطيح على النحو التالي: الماترويد الثنائي للماترويد الرسومي M هو نفسه ماترويد رسومي إذا وفقط إذا كان الرسم البياني الأساسي G لـ M مستويًا. إذا كان G مستويًا، فإن الماترويد الثنائي هو الماترويد الرسومي للرسم البياني الثنائي لـ G. وبالتحديد، فإن جميع الرسوم البيانية الثنائية، لجميع التضمينات المستوية المختلفة لـ G ، لها ماترويدات رسومية متماثلة. ^{[ 45 ]}

بالنسبة لتضمينات الأسطح غير المستوية، على عكس الثنائيات المستوية، لا يُعد الرسم البياني الثنائي عمومًا ثنائيًا جبريًا للرسم البياني الأصلي. وبالنسبة للرسم البياني غير المستوي G ، فإن الماترويد الثنائي للماترويد الرسومي لـ G ليس ماترويدًا رسوميًا بحد ^ذاته . ومع ذلك، فهو لا يزال ماترويدًا تتوافق دوائره مع القطوع في G ، وبهذا المعنى يمكن اعتباره ثنائيًا جبريًا معمّمًا توافقيًا لـ G. [ ^{46 ]} 

يمكن تعميم الازدواجية بين الرسوم البيانية المستوية الأويلرية والثنائية الأجزاء على الماترويدات الثنائية (والتي تشمل الماترويدات الرسومية المشتقة من الرسوم البيانية المستوية): الماترويد الثنائي يكون أويلريًا إذا وفقط إذا كانت الماترويد المزدوجة الخاصة به ثنائية الأجزاء . ^{[ 32 ]}

يتم توحيد المفهومين المزدوجين للمحيط واتصال الحواف في نظرية الماترويد من خلال محيط الماترويد : محيط الماترويد الرسومي للرسم البياني المستوي هو نفسه محيط الرسم البياني، ومحيط الماترويد المزدوج (الماترويد الرسومي للرسم البياني المزدوج) هو اتصال حواف الرسم البياني. ^{[ 19 ]}