البنتاغون

البنتاغون
خماسي دوري​
الحواف والرؤوس​	5

في الهندسة ، الخماسي (من اليونانية πέντε (pente)  "خمسة" و γωνία (gonia)  "زاوية" ^{[1] ) هو أي} مضلع خماسي الأضلاع أو خماسي الأضلاع. مجموع الزوايا الداخلية في الخماسي البسيط هو 540 درجة.

قد يكون الخماسي بسيطًا أو متقاطعًا ذاتيًا . يُطلق على الخماسي المنتظم المتقاطع ذاتيًا (أو الخماسي النجمي ) اسم الخماسي .

خماسي منتظم
خماسي منتظم
يكتب	مضلع منتظم
الحواف والرؤوس​	5
رمز شلايفلي	{5}
مخططات كوكستر-دينكين
مجموعة التماثل	ثنائي السطوح (D 5 )، رتبة 2×5
الزاوية الداخلية ( درجات )	108 درجة
ملكيات	محدب ، دائري ، متساوي الأضلاع ، متساوي الأضلاع ، متساوي الأضلاع
مضلع مزدوج	الذات

البنتاغون المنتظم يحمل رمز شلفلي {5} وزواياه الداخلية 108° .

يحتوي الخماسي المنتظم على خمسة خطوط تماثل انعكاسي ، وتماثل دوراني من الدرجة 5 (عبر 72 درجة، و144 درجة، و216 درجة، و288 درجة). تكون أقطار الخماسي المنتظم المحدب في النسبة الذهبية إلى أضلاعه. وبإعطاء طول ضلعه، فإن ارتفاعه (المسافة من أحد الأضلاع إلى الرأس المقابل) وعرضه (المسافة بين أبعد نقطتين منفصلتين، والتي تساوي طول القطر ) ونصف قطره المحيط يتم إعطاؤه بواسطة: ${\displaystyle t,}$${\displaystyle H}$${\displaystyle W}$${\displaystyle D}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}~t\approx 1.539~t,\\W=D&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}~t\approx 1.618~t,\\W&={\sqrt {2-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}\cdot H\approx 1.051~H,\\R&={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}t\approx 0.8507~t,\\D&=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\تقريبًا 1.902~R.\end{aligned}}}$

مساحة الخماسي المنتظم المحدب بطول ضلعه تعطى بواسطة ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan 54^{\circ }}{4}}\\&={\frac {{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\;t^{2}}{4}}={\frac {t^{2}{\sqrt {4\varphi ^{5}+3}}}{4}}\approx 1.720~t^{2}\end{aligned}}}$

إذا تم تحديد نصف القطر المحيطي لخماسي منتظم، يتم إيجاد طول ضلعه بالتعبير ${\displaystyle R}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\sin 36^{\circ }=2R\sin {\frac {\pi }{5}}\approx 1.176~R,}$

ومساحتها هي

${\displaystyle A={\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};}$

بما أن مساحة الدائرة المحيطة هي مساحة الخماسي المنتظم الذي يملأ حوالي 0.7568 من دائرته المحيطة. ${\displaystyle \pi R^{2},}$

مساحة أي مضلع منتظم هي:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}Pr}$

حيث P هو محيط المضلع، و r هو نصف القطر الداخلي (أي ما يعادل نصف قطر الدائرة ). استبدال قيم P و r للخماسي المنتظم يعطي الصيغة

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot 5t\cdot {\frac {t\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{2}}={\frac {5t^{2}\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{4}}}$

مع طول الضلع t .

على غرار كل مضلع محدب منتظم، يحتوي الخماسي المحدب المنتظم على دائرة محاطة . يرتبط العمود ، وهو نصف قطر الدائرة المحاطة r ، للخماسي المنتظم بطول الضلع t بواسطة

${\displaystyle r={\frac {t}{2\tan {\mathord {\left({\frac {\pi }{5}}\right)}}}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}\approx 0.6882\cdot t.}$

مثل كل مضلع محدب منتظم، فإن الخماسي المحدب المنتظم له دائرة محاطة . بالنسبة للخماسي المنتظم ذي الرؤوس المتتالية A وB وC وD وE، إذا كانت P هي أي نقطة على الدائرة المحيطة بين النقطتين B وC، فإن PA + PD = PB + PC + PE.

بالنسبة لنقطة عشوائية في مستوى خماسي منتظم بنصف قطر محيطي ، ومسافاتها إلى مركز ثقل الخماسي المنتظم ورؤوسه الخمسة هي و على التوالي، لدينا ^[2]${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}&=5\left(R^{2}+L^{2}\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{6}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+6R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{8}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{4}+12R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+6R^{4}L^{4}\right).\end{aligned}}}$

إذا كانت المسافات من رؤوس الخماسي المنتظم إلى أي نقطة على دائرته المحيطة هي ^[2]${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle 3\left(\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}\right)^{2}=10\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}.}$

يمكن إنشاء الخماسي المنتظم باستخدام الفرجار والمسطرة ، حيث أن 5 هو عدد أولي فيرما . هناك مجموعة متنوعة من الطرق المعروفة لإنشاء الخماسي المنتظم. سيتم مناقشة بعضها أدناه.

يصف ريتشموند ^[3] إحدى الطرق لإنشاء شكل خماسي منتظم في دائرة معينة، كما تمت مناقشتها بمزيد من التفصيل في كتاب كرومويل " المتعدد السطوح" . ^[4]

تُظهر اللوحة العلوية البناء المستخدم في طريقة ريتشموند لإنشاء جانب الخماسي المنقوش. الدائرة التي تحدد الخماسي لها نصف قطر الوحدة. يقع مركزها عند النقطة C ويتم وضع نقطة المنتصف M في منتصف نصف قطرها. تتصل هذه النقطة بالمحيط عموديًا فوق المركز عند النقطة D. الزاوية CMD منقسمة، ويتقاطع المنصف مع المحور الرأسي عند النقطة Q. يتقاطع خط أفقي يمر عبر Q مع الدائرة عند النقطة P ، والوتر PD هو الضلع المطلوب للخماسي المنقوش.

لتحديد طول هذا الضلع، يتم رسم المثلثين القائمين DCM و QCM أسفل الدائرة. باستخدام نظرية فيثاغورس وضلعين، يتم إيجاد وتر المثلث الأكبر على النحو التالي . ثم يتم إيجاد الضلع h للمثلث الأصغر باستخدام صيغة نصف الزاوية : ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}/2}$

${\displaystyle \tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,}$

حيث أن جيب التمام وجيب ϕ معروفان من المثلث الأكبر. والنتيجة هي:

${\displaystyle h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .}$

إذا كان DP هو حقًا ضلع خماسي منتظم، فإن DP = 2 cos(54°)، وQD = DP cos(54°) = 2cos ² (54°)، وCQ = 1 − 2cos ² (54°)، وهو ما يساوي −cos(108°) وفقًا لصيغة جيب تمام الزاوية المزدوجة . هذا هو جيب تمام 72°، وهو ما يساوي كما هو مطلوب. ${\displaystyle m\angle \mathrm {CDP} =54^{\circ }}$ ${\displaystyle \left({\sqrt {5}}-1\right)/4}$

تم اختراع دائرة كارليل كطريقة هندسية لإيجاد جذور المعادلة التربيعية . ^[5] تؤدي هذه المنهجية إلى إجراء لبناء مضلع خماسي منتظم. الخطوات هي كما يلي: ^[6]

1. أرسم دائرة لرسم الشكل الخماسي فيها وحدد نقطة المركز O.
2. ارسم خطًا أفقيًا يمر عبر مركز الدائرة. حدد التقاطع الأيسر مع الدائرة كنقطة B.
3. ارسم خطًا رأسيًا يمر عبر المركز. حدد نقطة تقاطع واحدة مع الدائرة كنقطة A.
4. قم بإنشاء النقطة M كنقطة منتصف لـ O و B.
5. ارسم دائرة مركزها M تمر عبر النقطة A. حدد تقاطعها مع الخط الأفقي (داخل الدائرة الأصلية) كنقطة W وتقاطعها خارج الدائرة كنقطة V.
6. ارسم دائرة نصف قطرها OA ومركزها W. تتقاطع الدائرة الأصلية عند اثنتين من رؤوس الخماسي.
7. ارسم دائرة نصف قطرها OA ومركزها V. تتقاطع الدائرة الأصلية عند اثنتين من رؤوس الخماسي.
8. الرأس الخامس هو التقاطع الأيمن للخط الأفقي مع الدائرة الأصلية.

الخطوات من 6 إلى 8 تعادل الإصدار التالي، كما هو موضح في الرسوم المتحركة:

6أ. أنشئ النقطة F كنقطة منتصف للمستقيمين O وW.

7أ. ارسم خطًا رأسيًا يمر عبر F. يتقاطع هذا الخط مع الدائرة الأصلية عند رأسين من رؤوس الخماسي. الرأس الثالث هو التقاطع الأيمن للخط الأفقي مع الدائرة الأصلية.

8أ. قم بإنشاء الرأسين الآخرين باستخدام الفرجار وطول الرأس الموجود في الخطوة 7أ.

يمكن إنشاء شكل خماسي منتظم باستخدام الفرجار والمسطرة ، إما عن طريق نقشه في دائرة معينة أو إنشائه على حافة معينة. وقد وصف إقليدس هذه العملية في كتابه "العناصر" حوالي عام 300 قبل الميلاد. ^{[7] [8]}

• يمكن إنشاء شكل خماسي منتظم من شريط ورقي فقط عن طريق ربط عقدة فوق الشريط وتسطيح العقدة بعناية عن طريق سحب طرفي الشريط الورقي. سيؤدي طي أحد الأطراف للخلف فوق الشكل الخماسي إلى ظهور نجمة خماسية عند إضاءتها من الخلف. ^[9]
• ارسم شكلًا سداسيًا منتظمًا على ورق مقوى أو كرتون. قم بثنيه على طول الأقطار الثلاثة بين الرؤوس المتقابلة. قم بالقص من رأس إلى المركز لعمل رفرف مثلث متساوي الأضلاع. قم بتثبيت هذا الرفرف أسفل جاره لعمل هرم خماسي . قاعدة الهرم عبارة عن خماسي منتظم.

يحتوي الخماسي المنتظم على تماثل Dih ₅ ، من الدرجة 10. بما أن 5 عدد أولي، فهناك مجموعة فرعية واحدة ذات تماثل ثنائي السطوح: Dih ₁ ، وتماثلان لمجموعتين دوريتين : Z ₅ ، وZ ₁ .

يمكن رؤية هذه التناظرات الأربعة في 4 تناظرات مميزة على الخماسي. يسميها جون كونواي حسب ترتيب الحرف والمجموعة. ^[10] التناظر الكامل للشكل المنتظم هو r10 ولا يوجد تناظر يسمى a1 . تنقسم التناظرات ثنائية السطوح بناءً على ما إذا كانت تمر عبر الرؤوس ( d للقطر) أو الحواف ( p للخطوط العمودية)، و i عندما تمر خطوط الانعكاس عبر كل من الحواف والرؤوس. يتم تسمية التناظرات الدورية في العمود الأوسط باسم g لترتيب دورانها المركزي.

تسمح كل مجموعة فرعية من التماثل بدرجة أو أكثر من درجات الحرية للأشكال غير المنتظمة. فقط المجموعة الفرعية g5 ليس لها درجات حرية ولكن يمكن رؤيتها كحواف موجهة .

النجمة الخماسية أو المثلث الخماسي هو نجم خماسي منتظم . رمزه في علم التنجيم هو {5/2}. تشكل أضلاعه أقطار خماسي محدب منتظم - في هذا الترتيب تكون أضلاع الخماسيين في النسبة الذهبية .

الخماسي المتساوي الأضلاع هو مضلع له خمسة أضلاع متساوية الطول. ومع ذلك، يمكن لزواياه الداخلية الخمس أن تأخذ مجموعة من مجموعات القيم، مما يسمح له بتكوين عائلة من الخماسيات. على النقيض من ذلك، فإن الخماسي المنتظم فريد من نوعه حتى التشابه، لأنه متساوي الأضلاع ومتساوي الزوايا (زواياه الخمس متساوية).

الخماسي الدائري هو الخماسي الذي تمر فيه دائرة تسمى الدائرة المحيطة بجميع رؤوسه الخمسة. الخماسي المنتظم هو مثال على الخماسي الدائري. يمكن التعبير عن مساحة الخماسي الدائري، سواء كان منتظمًا أم لا، على أنها ربع الجذر التربيعي لأحد جذور معادلة الصرف الصحي التي تكون معاملاتها عبارة عن وظائف لأضلاع الخماسي. ^{[11] [12] [13]}

توجد خماسيات دائرية ذات أضلاع نسبية ومساحة نسبية؛ تسمى خماسيات روبنز . وقد ثبت أن أقطار خماسيات روبنز يجب أن تكون إما نسبية بالكامل أو غير نسبية بالكامل، ويُفترض أن جميع الأقطار يجب أن تكون نسبية. ^[14]

بالنسبة لجميع الخماسيات المحدبة ذات الأضلاع والأقطار ، تنطبق المتباينة التالية: ^{[15] : ص 75، #1854}${\displaystyle a,b,c,d,e}$${\displaystyle d_{1},d_{2},d_{3},d_{4},d_{5}}$

${\displaystyle 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2})>d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}+d_{5}^{2}}$.

لا يمكن أن يظهر الخماسي المنتظم في أي بلاط مكون من مضلعات منتظمة. أولاً، لإثبات أن الخماسي لا يمكن أن يشكل بلاطًا منتظمًا (حيث تكون جميع الوجوه متطابقة، وبالتالي يتطلب أن تكون جميع المضلعات خماسيات)، لاحظ أن 360° / 108° = 3 1 ⁄ 3 (حيث 108° هي الزاوية الداخلية)، وهو ليس عددًا صحيحًا؛ وبالتالي لا يوجد عدد صحيح من الخماسيات التي تشترك في رأس واحد ولا تترك فجوات بينها. الأمر الأكثر صعوبة هو إثبات أن الخماسي لا يمكن أن يكون في أي بلاط من الحافة إلى الحافة مكون من مضلعات منتظمة:

أقصى كثافة تعبئة معروفة لخماسي منتظم هي ، والتي تم تحقيقها من خلال التعبئة الشبكية المزدوجة الموضحة. في طبعة أولية صدرت في عام 2016، أعلن توماس هيلز وودن كوسنر عن دليل على أن هذه التعبئة الشبكية المزدوجة للخماسي المنتظم (المعروفة باسم تصميم الشبكة الصينية "شعاع الجليد الخماسي"، والذي يعود تاريخه إلى حوالي عام 1900) لها الكثافة المثلى بين جميع تعبئة الخماسي المنتظم في المستوى. ^[16]${\displaystyle (5-{\sqrt {5}})/3\approx 0.921}$

لا توجد مجموعات من المضلعات المنتظمة التي تلتقي 4 منها أو أكثر عند رأس تحتوي على خماسي. بالنسبة للمجموعات التي تحتوي على 3 مضلعات، إذا التقت 3 مضلعات عند رأس وكان أحدها يحتوي على عدد فردي من الأضلاع، فيجب أن يكون المضلعان الآخران متطابقين. والسبب في ذلك هو أن المضلعات التي تلامس حواف الخماسي يجب أن تتناوب حول الخماسي، وهو أمر مستحيل بسبب العدد الفردي لأضلاع الخماسي. بالنسبة للخماسي، ينتج عن هذا مضلع تكون زواياه جميعها (360 − 108) / 2 = 126° . لإيجاد عدد أضلاع هذا المضلع، تكون النتيجة 360 / (180 − 126) = 6 2 ⁄ 3 ، وهو ليس عددًا صحيحًا. لذلك، لا يمكن أن يظهر الخماسي في أي بلاط مكون من مضلعات منتظمة.

هناك 15 فئة من الخماسيات التي يمكنها أن تبلط المستوى بشكل أحادي السطوح . لا يوجد لدى أي من الخماسيات أي تماثل بشكل عام، على الرغم من أن بعضها لديه حالات خاصة مع تماثل المرآة.

15 بلاطة خماسية الشكل أحادية السطوح

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15

انا ه	ذ​	ت د	ا	أنا	د 5د
اثني عشر وجها	بيريتوهيدرون	رباعي الشكل	مجسم خماسي الشكل	سداسي السطوح خماسي الأضلاع	شبه منحرف مقطوع

• 
  مقطع خماسي للبامية .
• 
  أزهار الصباح ، مثل العديد من الزهور الأخرى، لها شكل خماسي.
• 
  أنبوبة زهرة رافليسيا .
• 
  يحتوي الثنويس في التفاحة على خمسة كربلات مرتبة على شكل نجمة خماسية الرؤوس
• 
  فاكهة النجمة هي فاكهة أخرى ذات تناسق خماسي.

• 
  نجم البحر . العديد من شوكيات الجلد لها تماثل شعاعي خماسي.
• 
  مثال آخر على شوكيات الجلد، وهو الهيكل الداخلي لقنفذ البحر .
• 
  رسم توضيحي لنجوم البحر الهشة ، وهي أيضًا من شوكيات الجلد ذات الشكل الخماسي.

• 
  شبه بلورة إيكوهادرالية من Ho-Mg-Zn مكونة من اثني عشر وجهًا خماسيًا . الوجوه عبارة عن خماسيات منتظمة حقيقية.
• 
  بلورة بيريتية ذات شكل خماسي متطابق . تحتوي بلورة بيريتية ذات شكل خماسي على 12 وجهًا خماسيًا متطابقًا غير مقيد بأن تكون منتظمة.
• 
  قطعة من الذهب ، طولها نصف سنتيمتر.

• 
  البنتاغون ، المقر الرئيسي لوزارة الدفاع الأمريكية .
• 
  لوحة البداية لملعب البيسبول

• الشكل المتماثل ؛ الشكل الخماسي هو شكل متماثل من الدرجة الرابعة
• الاثني عشر وجهًا ، وهو متعدد السطوح يتكون شكله المنتظم من 12 وجهًا خماسيًا
• النسبة الذهبية
• قائمة الأشكال الهندسية
• أرقام خماسية
• نجمة خماسية
• خريطة النجمة الخماسية
• بنتاستار ، شعار كرايسلر
• نظرية فيثاغورس
• الثوابت المثلثية للخماسي

• وايسشتاين، إريك دبليو. "البنتاغون". MathWorld .
• عرض رسومي توضيحي لبناء شكل خماسي منقوش باستخدام البوصلة والمسطرة.
• كيفية إنشاء شكل خماسي منتظم باستخدام الفرجار والمسطرة فقط.
• كيفية طي شكل خماسي منتظم باستخدام شريط من الورق فقط
• تعريف الخماسي وخصائصه مع رسوم متحركة تفاعلية
• تصميمات تقريبية لفنانين عصر النهضة لخماسيات منتظمة أرشيف 2021-04-13 على موقع واي باك مشين
• البنتاغون. كيفية حساب الأبعاد المختلفة للمضلع الخماسي المنتظم.