محاكاة حرارية للدوائر المتكاملة

على المستوى العياني، ينص قانون فورييه على وجود علاقة بين الحرارة المنتقلة لكل وحدة زمنية لكل وحدة مساحة وتدرج درجة الحرارة:

${\displaystyle q=-\kappa \nabla T}$

أين${\displaystyle \kappa }$هي الموصلية الحرارية، [ W·m ⁻¹ K ⁻¹ ] .

تعمل الأنظمة الإلكترونية بناءً على إشارات التيار والجهد. التيار هو تدفق الجسيمات المشحونة عبر المادة، وتتفاعل هذه الجسيمات (الإلكترونات أو الفجوات) مع شبكة البلورة، فتفقد طاقتها التي تُطلق على شكل حرارة. يُعد التسخين الجولي آليةً رئيسيةً لتوليد الحرارة في الدوائر المتكاملة ^{[ 1 ]} ، وهو تأثير غير مرغوب فيه في معظم الحالات. بالنسبة للمواد الأومية، يكون شكله كالتالي:

${\displaystyle Q=j^{2}\rho }$

أين${\displaystyle j}$كثافة التيار بوحدة [ أمبير/متر ^مربع ] ،${\displaystyle \rho }$هي المقاومة الكهربائية النوعية في [${\displaystyle {\Omega }}$·م ] و ${\displaystyle Q}$^{[ 1 ]} هي الحرارة المتولدة لكل وحدة حجم بوحدة [ واط/ ^م³ ] .

تربط المعادلة الحاكمة لفيزياء مشكلة انتقال الحرارة بين تدفق الحرارة في الفضاء، وتغيرها مع الزمن، وتوليد الطاقة، وذلك من خلال التعبير التالي:

${\displaystyle \nabla \left(\kappa \left(T\right)\nabla T\right)+g=\rho C{\frac {\partial T}{\partial t}}}$

أين${\displaystyle \kappa }$هي الموصلية الحرارية،${\displaystyle \rho }$هي كثافة الوسط،${\displaystyle C}$هي الحرارة النوعية،${\displaystyle \alpha ={\frac {\kappa }{\rho C}}}$، ومعامل الانتشار الحراري و${\displaystyle g}$يمثل معدل توليد الحرارة لكل وحدة حجم. تنتشر الحرارة من المصدر وفقًا للمعادلة المذكورة أعلاه، ويتبع الحل في وسط متجانس توزيعًا غاوسيًا.

للتخلص من اعتماد درجة الحرارة على${\displaystyle \kappa }$، يمكن إجراء تحويل كيرشوف ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \theta =T_{s}+{\frac {1}{\kappa _{s}}}\int _{T_{s}}^{T}\kappa (T)dT}$

أين${\displaystyle \kappa _{s}=\kappa \left(T_{s}\right)}$و${\displaystyle T_{s}}$هي درجة حرارة المشتت الحراري. عند تطبيق هذا التحويل، تصبح معادلة الحرارة كما يلي:

${\displaystyle \alpha \nabla ^{2}\theta +{\frac {\alpha }{\kappa _{s}}}g={\frac {\partial \theta }{\partial t}}}$

أين${\displaystyle \alpha ={\frac {\kappa }{\rho C}}}$يُطلق عليه اسم معامل الانتشار، ^{[ 2 ]} وهو يعتمد أيضًا على درجة الحرارة. ولتبسيط المعادلة تمامًا، يتم استخدام تحويل ثانٍ:

${\displaystyle \alpha _{s}\tau =\int _{0}^{t}\alpha (\theta )dt}$

مما ينتج عنه التعبير التالي:

${\displaystyle \nabla ^{2}\theta -{\frac {1}{\alpha _{s}}}{\frac {\partial \theta }{\partial \tau }}=-{\frac {g}{\kappa _{s}}}}$

يتطلب التطبيق البسيط والمباشر لهذه المعادلة التقريب. يتم حذف الحدود الإضافية التي تظهر في لابلاس المحوّل، مما يترك لابلاس في شكله التقليدي. ^{[ 2 ]}

على الرغم من أن الحلول التحليلية لا تُوجد إلا في حالات محددة وبسيطة، إلا أنها تُقدم رؤية ثاقبة للتعامل مع المواقف الأكثر تعقيدًا. كما يُمكن دمج الحلول التحليلية للأنظمة الفرعية المنتظمة لتوفير وصف تفصيلي للهياكل المعقدة. في عمل البروفيسور باتي ^{[ 2 ]} ، تم استخدام متسلسلة فورييه لتوسيع نطاق درجة الحرارة في مجال لابلاس لإيجاد حل لمعادلة الحرارة الخطية.

مثال

يمكن تطبيق هذه الطريقة على حالة بسيطة ولكنها غير بديهية: مكعب متجانس مصنوع من زرنيخيد الغاليوم، طوله 300  ميكرومتر. الهدف هو إيجاد توزيع درجة الحرارة على سطحه العلوي. يُقسّم السطح العلوي إلى مربعات أصغر بمؤشر i=1...N، ويُعتبر أحدها مصدرًا للحرارة.

تطبيق تحويل لابلاس على معادلة الحرارة:

${\displaystyle \nabla ^{2}{\bar {\Theta }}-{\frac {s}{k_{s}}}{\bar {\Theta }}=0}$

أين${\displaystyle {\overline {\Theta }}=s\theta -\theta \left(\tau =0\right)}$

وظيفة${\displaystyle {\overline {\Theta }}}$يتم توسيعها بدلالة دوال جيب التمام لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$المتغيرات، وباستخدام دوال الجيب والجيب الزائدية لـ${\displaystyle z}$متغير. بعد ذلك، من خلال تطبيق شروط الحدود الأديباتية على الجدران الجانبية وتثبيت درجة الحرارة في الأسفل (درجة حرارة المشتت الحراري)، يتم اشتقاق معادلة مصفوفة المعاوقة الحرارية:

${\displaystyle \Delta \theta _{i}=\sum _{j=1}^{N}R_{TH_{ij}}(t)P_{j}(t)}$

أين المؤشر${\displaystyle j}$يُراعي مصادر الطاقة، بينما يُشير المؤشر إلى${\displaystyle i}$يشير إلى كل منطقة صغيرة.

لمزيد من التفاصيل حول الاشتقاق، يُرجى مراجعة ورقة البروفيسور باتي. ^{[ 2 ]} يوضح الشكل أدناه توزيع درجة الحرارة في حالة الاستقرار لهذه الطريقة التحليلية لقالب مكعب الشكل، بأبعاد 300  ميكرومتر. يتم تطبيق مصدر طاقة ثابت بقدرة 0.3 واط على سطح مركزي بأبعاد 0.1L × 0.1L. وكما هو متوقع، يتناقص التوزيع كلما اقترب من الحدود، وتبلغ قيمته القصوى في المركز، حيث تصل تقريبًا إلى 400 كلفن.

تستخدم الحلول العددية شبكة من الهيكل لإجراء المحاكاة. ومن أكثر الطرق شيوعاً: طريقة الفروق المحدودة في المجال الزمني (FDTD) ، وطريقة العناصر المحدودة (FEM)، وطريقة العزوم (MoM).

تُعدّ طريقة الفروق المحدودة في المجال الزمني (FDTD) تقنيةً قويةً وشائعةً، تقوم على حلّ المعادلات التفاضلية عدديًا، بالإضافة إلى بعض الشروط الحدية التي تحددها المسألة. ويتم ذلك من خلال تقسيم المكان والزمان إلى أجزاء منفصلة، ​​واستخدام صيغ الفروق المحدودة، وبالتالي يمكن حلّ المعادلات التفاضلية الجزئية التي تصف فيزياء المسألة عدديًا بواسطة برامج الحاسوب.

تُعدّ طريقة العناصر المحدودة (FEM) أيضًا طريقةً عدديةً تُستخدم لحلّ المسائل الهندسية والرياضية الموصوفة بمعادلات تفاضلية وشروط حدودية. تقوم هذه الطريقة بتقسيم الفضاء إلى عناصر أصغر، حيث تُعيّن دوال أساسية لعُقدها أو حوافها. وتكون هذه الدوال خطية أو متعددة الحدود من رتبة أعلى. بتطبيق المعادلة التفاضلية والشروط الحدودية للمسألة على هذه الدوال الأساسية، يُصاغ نظام من المعادلات باستخدام طريقة ريتز أو غاليركين. وأخيرًا، تُستخدم طريقة مباشرة أو تكرارية لحلّ نظام المعادلات الخطية . ^{[ 3 ]} في الحالة الحرارية، تُعدّ طريقة العناصر المحدودة أكثر ملاءمةً نظرًا لطبيعة الخصائص الحرارية غير الخطية.

مثال

يمكن حل المثال السابق باستخدام طريقة عددية. في هذه الحالة، يمكن تقسيم المكعب إلى عناصر مستطيلة. ويمكن اختيار دوال الأساس الخاصة به لتكون تقريبًا من الدرجة الأولى (خطيًا):

${\displaystyle N_{i}^{e}={\frac {1}{2}}\xi \left(1\mp \zeta \right),\qquad i=1,4}$

${\displaystyle N_{i}^{e}={\frac {1}{2}}\eta \left(1\mp \zeta \right),\qquad i=2,5}$

${\displaystyle N_{i}^{e}={\frac {1}{2}}\left(1-\xi -\eta \right)\left(1\mp \zeta \right),\qquad i=3,6}$

أين${\displaystyle \zeta =2(z-z_{c})/h_{z}}$. لو${\displaystyle z_{c}=0}$، ثم${\displaystyle \zeta =2z/h_{z}}$.

باستخدام هذه الدوال الأساسية وبعد تطبيق طريقة غاليركين على معادلة انتقال الحرارة، يتم الحصول على معادلة مصفوفية:

${\displaystyle \left[S\right]\left\{\theta \right\}+\left[R\right]{\frac {d}{dt}}\left\{\theta \right\}=\left\{B\right\}}$

أين،

${\displaystyle R_{ij}=\int _{v}N_{j}N_{i}dV}$

${\displaystyle S_{ij}=k\int _{v}\nabla N_{j}.\nabla N_{i}dV}$

$// _ {ت}\نابلا N_{ي}^{D}.\نابلا N_{i}dV}$.

يمكن تقييم هذه التعبيرات باستخدام برنامج بسيط يعتمد على طريقة العناصر المحدودة. لمزيد من التفاصيل، يُرجى مراجعة ^{[ 3 ]} . يوضح الشكل أدناه توزيع درجة الحرارة في حالة الحل العددي. يتوافق هذا الحل بشكل جيد جدًا مع الحالة التحليلية، حيث تصل ذروته أيضًا إلى 390 كلفن في المركز. يعود عدم سلاسة التوزيع الظاهر إلى تقريب الدرجة الأولى لدوال الأساس، ويمكن معالجة ذلك باستخدام دوال أساس ذات رتبة أعلى. كما يمكن الحصول على نتائج أفضل باستخدام شبكة أكثر كثافة للهيكل؛ إلا أن الشبكات شديدة الكثافة تزيد وقت الحساب بشكل كبير، مما يجعل المحاكاة غير عملية.

يوضح الشكل التالي مقارنة بين درجة الحرارة القصوى كدالة للزمن لكلا الطريقتين. يصل النظام إلى حالة الاستقرار في حوالي${\displaystyle 1ms}$.

تُشتق الطرق العددية، مثل طريقة العناصر المحدودة (FEM) وطريقة الفروق المحدودة (FDM)، معادلة مصفوفية كما هو موضح في القسم السابق. ولحل هذه المعادلة بسرعة أكبر، يمكن استخدام طريقة تُسمى " تقليل رتبة النموذج" لإيجاد تقريب من رتبة أقل. تعتمد هذه الطريقة على حقيقة أن متجه الحالة عالي الأبعاد ينتمي إلى فضاء فرعي منخفض الأبعاد..

يوضح الشكل أدناه مفهوم تقريب MOR: من خلال إيجاد المصفوفة V، يمكن تقليل بُعد النظام لحل نظام مبسط.

وبالتالي، فإن نظام المعادلات الأصلي هو:

${\displaystyle C\left\{x\right\}'+K\left\{x\right\}=F\left\{u\right\}}$

يصبح:

${\displaystyle V^{T}CV\left\{z\right\}'+V^{T}KV\left\{z\right\}=V^{T}F\left\{u\right\}}$

رتبته أقل بكثير من الرتبة الأصلية، مما يجعل الحساب أقل تكلفة بكثير. بمجرد الحصول على الحل، يتم إيجاد المتجه الأصلي بضربه في V.