طريقة رايلي-ريتز

من الممكن أن تُنتج طريقة رايلي-ريتز قيمًا لا تتقارب مع القيم الفعلية في طيف المؤثر عندما يكبر حجم القطع. تُعرف هذه القيم بالتلوث الطيفي. ^{[ 4 ] [ 6 ] [ 9 ]} في بعض الحالات (مثل معادلة شرودنغر )، لا يوجد تقريب يشمل جميع القيم الذاتية للمعادلة ولا يحتوي على أي تلوث. ^{[ 10 ]}

يُحدَّد نطاق الضغط (وبالتالي التلوث) بالنطاق العددي للمؤثر؛ وفي كثير من الحالات، يُحدَّد بمجموعة فرعية من النطاق العددي تُعرف بالنطاق العددي الأساسي . ^{[ 11 ] [ 12 ]}

المصفوفة $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}}}$$ له قيم ذاتية${\displaystyle 1,2,3}$والمتجهات الذاتية المقابلة $${\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} _{\lambda =2}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.}$$ لنأخذ $${\displaystyle V={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}},}$$ ثم $${\displaystyle V^{*}AV={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}}$$ مع القيم الذاتية${\displaystyle 1,3}$والمتجهات الذاتية المقابلة $${\displaystyle \mathbf {y} _{\mu =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {y} _{\mu =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},}$$ بحيث تكون قيم ريتز${\displaystyle 1,3}$ومتجهات ريتز هي $${\displaystyle \mathbf {\tilde {x}} _{{\tilde {\lambda }}=1}={\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {\tilde {x}} _{{\tilde {\lambda }}=3}={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.}$$ نلاحظ أن كل متجه من متجهات ريتز هو واحد من المتجهات الذاتية لـ${\displaystyle A}$بالنسبة لما هو معطى${\displaystyle V}$بالإضافة إلى ذلك، تعطي قيم ريتز قيمتين ذاتيتين من القيم الذاتية الثلاث لـ${\displaystyle A}$يعتمد التفسير الرياضي للتقريب الدقيق على حقيقة أن فضاء أعمدة المصفوفة${\displaystyle V}$يصادف أن يكون هو نفسه تمامًا الفضاء الجزئي الذي يمتد عليه المتجهان الذاتيان${\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda =1}}$و${\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda =3}}$في هذا المثال.

تعريف القيمة المفردة${\displaystyle \sigma }$والمتجهات المفردة اليسرى واليمنى المقابلة هي${\displaystyle Mv=\sigma u}$و${\displaystyle M^{*}u=\sigma v}$بعد إيجاد مجموعة واحدة (يسار أو يمين) من المتجهات والقيم المفردة التقريبية بتطبيق طريقة رايلي-ريتز بشكل مباشر على المصفوفة الطبيعية الهرميتية${\displaystyle M^{*}M\in \mathbb {C} ^{N\times N}}$أو${\displaystyle MM^{*}\in \mathbb {C} ^{M\times M}}$بغض النظر عن حجمها الأصغر، يمكن تحديد المجموعة الأخرى من المتجهات المفردة اليسرى أو اليمنى ببساطة عن طريق القسمة على القيم المفردة، أي${\displaystyle u=Mv/\sigma }$و${\displaystyle v=M^{*}u/\sigma }$ومع ذلك، فإن عملية القسمة غير مستقرة أو تفشل بالنسبة للقيم المفردة الصغيرة أو الصفرية.

ثمة نهج بديل، على سبيل المثال، تعريف المصفوفة الطبيعية على النحو التالي${\displaystyle A=M^{*}M\in \mathbb {C} ^{N\times N}}$من الحجم${\displaystyle N\times N}$، يستفيد من حقيقة أنه بالنسبة لـ${\displaystyle N\times m}$مصفوفة${\displaystyle W\in \mathbb {C} ^{N\times m}}$باستخدام الأعمدة المتعامدة، مسألة القيم الذاتية لطريقة رايلي-ريتز لـ${\displaystyle m\times m}$مصفوفة $${\displaystyle W^{*}AW=W^{*}M^{*}MW=(MW)^{*}MW}$$ يمكن تفسيرها على أنها مسألة قيمة مفردة لـ${\displaystyle N\times m}$مصفوفة${\displaystyle MW}$. يسمح هذا التفسير بحساب بسيط ومتزامن لكل من المتجهات المفردة التقريبية اليسرى واليمنى على النحو التالي.

1. احسب${\displaystyle N\times m}$مصفوفة${\displaystyle MW}$.
2. احسب تحليل القيم المفردة الرقيق، أو الاقتصادي الحجم${\displaystyle MW=\mathbf {U} \Sigma \mathbf {V} _{h},}$مع${\displaystyle N\times m}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {U} }$،${\displaystyle m\times m}$المصفوفة القطرية${\displaystyle \Sigma }$، و${\displaystyle m\times m}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {V} _{h}}$.
3. احسب مصفوفات ريتز اليسرى${\displaystyle U=\mathbf {U} }$ويمين${\displaystyle V_{h}=\mathbf {V} _{h}W^{*}}$المتجهات المفردة.
4. تقريبات المخرجات${\displaystyle U,\Sigma ,V_{h}}$، والتي تسمى ثلاثيات ريتز المفردة، إلى القيم المفردة المختارة والمتجهات المفردة اليسرى واليمنى المقابلة للمصفوفة الأصلية${\displaystyle M}$يمثل هذا تقريبًا لتحليل القيم المفردة المقتطعة (SVD) مع تقييد المتجهات المفردة اليسرى في فضاء أعمدة المصفوفة${\displaystyle W}$.

يمكن استخدام الخوارزمية كخطوة معالجة لاحقة حيث تكون المصفوفة${\displaystyle W}$هو ناتج برنامج حل القيم الذاتية، على سبيل المثال، برنامج LOBPCG ، الذي يُقارب المتجهات الذاتية المختارة عدديًا للمصفوفة الطبيعية${\displaystyle A=M^{*}M}$.

في فيزياء الكم، حيث يُمثل طيف الهاميلتوني مجموعة مستويات الطاقة المنفصلة المسموح بها في نظام ميكانيكي كمي، تُستخدم طريقة رايلي-ريتز لتقريب حالات الطاقة والدوال الموجية لنظام ذري أو نووي معقد. ^{[ 8 ]} في الواقع، بالنسبة لأي نظام أكثر تعقيدًا من ذرة هيدروجين واحدة، لا يوجد حل دقيق معروف لطيف الهاميلتوني. ^{[ 7 ]}

في هذه الحالة، دالة موجية تجريبية ،${\displaystyle \Psi }$يتم اختبار هذه الدالة التجريبية على النظام. وقد تم اختيارها لتلبية الشروط الحدية (وأي قيود فيزيائية أخرى). الدالة الدقيقة غير معروفة؛ إذ تحتوي الدالة التجريبية على مُعامل واحد أو أكثر قابل للتعديل، يتم تغييرها لإيجاد أدنى تكوين للطاقة.

يمكن إثبات أن طاقة الحالة الأرضية،${\displaystyle E_{0}}$، يحقق متباينة: $${\displaystyle E_{0}\leq {\frac {\langle \Psi |{\hat {H}}|\Psi \rangle }{\langle \Psi |\Psi \rangle }}.}$$

أي أن طاقة الحالة الأرضية أقل من هذه القيمة. وستعطي دالة الموجة التجريبية دائمًا قيمة متوقعة أكبر من أو تساوي طاقة الحالة الأرضية.

إذا كان من المعروف أن دالة الموجة التجريبية متعامدة مع الحالة الأرضية، فإنها ستوفر حدًا لطاقة حالة مثارة معينة .

دالة ريتز أنساتز هي توليفة خطية من N دالة أساسية معروفة${\displaystyle \left\lbrace \Psi _{i}\right\rbrace }$، مُعَلمة بمعاملات غير معروفة: $${\displaystyle \Psi =\sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}.}$$

بمعرفة الهاميلتوني، يمكننا كتابة قيمته المتوقعة على النحو التالي: $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\left\langle \displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right|{\hat {H}}\left|\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right\rangle }{\left\langle \left.\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right|\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right\rangle }}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\displaystyle \sum _{j=1}^{N}c_{i}^{*}c_{j}H_{ij}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\displaystyle \sum _{j=1}^{N}c_{i}^{*}c_{j}S_{ij}}}\equiv {\frac {A}{B}}.}$$

لا تكون الدوال الأساسية عادةً متعامدة، لذا فإن مصفوفة التداخل S تحتوي على عناصر غير قطرية غير صفرية.${\displaystyle \left\lbrace c_{i}\right\rbrace }$أو${\displaystyle \left\lbrace c_{i}^{*}\right\rbrace }$يمكن استخدام (مرافق الأول) لتقليل القيمة المتوقعة. على سبيل المثال، عن طريق حساب المشتقات الجزئية لـ${\displaystyle \varepsilon }$زيادة${\displaystyle \left\lbrace c_{i}^{*}\right\rbrace }$عند الصفر، يتم الحصول على المساواة التالية لكل k = 1، 2، ...، N : $${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial c_{k}^{*}}}={\frac {\displaystyle \sum _{j=1}^{N}c_{j}(H_{kj}-\varepsilon S_{kj})}{B}}=0,}$$ مما يؤدي إلى مجموعة من المعادلات العلمانية N : $${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}c_{j}\left(H_{kj}-\varepsilon S_{kj}\right)=0\quad {\text{for}}\quad k=1,2,\dots ,N.}$$

في المعادلات أعلاه، الطاقة${\displaystyle \varepsilon }$والمعاملات${\displaystyle \left\lbrace c_{j}\right\rbrace }$غير معروفة. بالنسبة إلى c ، فإن هذه مجموعة متجانسة من المعادلات الخطية، والتي لها حل عندما يكون محدد معاملات هذه المجاهيل صفرًا: $${\displaystyle \det \left(H-\varepsilon S\right)=0,}$$ وهذا بدوره صحيح فقط بالنسبة لقيم N من${\displaystyle \varepsilon }$علاوة على ذلك، بما أن الهاميلتوني مؤثر هيرميتي ، فإن مصفوفة H هي أيضًا هيرميتية ، وقيمها${\displaystyle \varepsilon _{i}}$سيكون حقيقياً. أدنى قيمة بين${\displaystyle \varepsilon _{i}}$(i=1,2,..,N),${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ستكون هذه القيمة أفضل تقريب للحالة الأرضية للدوال الأساسية المستخدمة. أما طاقات N-1 المتبقية فهي تقديرات لطاقات الحالة المثارة. ويمكن الحصول على تقريب للدالة الموجية للحالة i بإيجاد المعاملات.${\displaystyle \left\lbrace c_{j}\right\rbrace }$من المعادلة العلمانية المقابلة.

تُستخدم طريقة رايلي-ريتز بشكل شائع في الهندسة الميكانيكية لإيجاد الترددات الرنانة الحقيقية التقريبية لأنظمة متعددة درجات الحرية ، مثل أنظمة الكتلة والنابض أو عجلات التوازن على عمود ذي مقطع عرضي متغير . وهي امتداد لطريقة رايلي. كما يمكن استخدامها لإيجاد أحمال الانبعاج وسلوك ما بعد الانبعاج للأعمدة.

لنفترض أننا نريد إيجاد تردد الرنين لنظام ما. أولاً، نكتب التذبذب على الصورة التالية: $${\displaystyle y(x,t)=Y(x)\cos \omega t}$$ مع شكل نمط غير معروف${\displaystyle Y(x)}$بعد ذلك، أوجد الطاقة الكلية للنظام، والتي تتكون من حد الطاقة الحركية وحد طاقة الوضع. يتضمن حد الطاقة الحركية مربع المشتقة الزمنية لـ${\displaystyle y(x,t)}$وبذلك يكتسب عاملاً قدره${\displaystyle \omega ^{2}}$وبالتالي، يمكننا حساب الطاقة الكلية للنظام والتعبير عنها بالشكل التالي: $${\displaystyle E=T+V\equiv A[Y(x)]\omega ^{2}\sin ^{2}\omega t+B[Y(x)]\cos ^{2}\omega t}$$

بحسب قانون حفظ الطاقة ، يجب أن تتساوى الطاقة الحركية المتوسطة مع الطاقة الكامنة المتوسطة. وبالتالي، $${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {B[Y(x)]}{A[Y(x)]}}=R[Y(x)]}$$ وهو ما يُعرف أيضًا باسم معامل رايلي . وبالتالي، إذا عرفنا شكل النمط${\displaystyle Y(x)}$، سنكون قادرين على الحساب${\displaystyle A[Y(x)]}$و${\displaystyle B[Y(x)]}$وبالتالي نحصل على التردد الذاتي. مع ذلك، لا نعرف شكل النمط بعد. ولإيجاده، يمكننا تقريبه.${\displaystyle Y(x)}$كمزيج من عدد قليل من الدوال التقريبية${\displaystyle Y_{i}(x)}$$${\displaystyle Y(x)=\sum _{i=1}^{N}c_{i}Y_{i}(x)}$$ أين${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}}$هي ثوابت يجب تحديدها. بشكل عام، إذا اخترنا مجموعة عشوائية من${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}}$سيصف ذلك تراكبًا للأوضاع الذاتية الفعلية للنظام. ومع ذلك، إذا بحثنا${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}}$بحيث يكون التردد الذاتي${\displaystyle \omega ^{2}}$إذا تم تقليلها إلى الحد الأدنى، فإن النمط الموصوف بهذه المجموعة من${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}}$سيكون هذا قريبًا من أدنى تردد ذاتي فعلي ممكن للنظام. وبالتالي، نجد أدنى تردد ذاتي. إذا وجدنا ترددات ذاتية متعامدة مع هذا التردد الذاتي الأدنى المُقارب، فيمكننا إيجاد الترددات الذاتية القليلة التالية تقريبًا أيضًا.

بشكل عام، يمكننا التعبير${\displaystyle A[Y(x)]}$و${\displaystyle B[Y(x)]}$كمجموعة من الحدود التربيعية في المعاملات${\displaystyle c_{i}}$: $${\displaystyle B[Y(x)]=\sum _{i}\sum _{j}c_{i}c_{j}K_{ij}=\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c} }$$$${\displaystyle A[Y(x)]=\sum _{i}\sum _{j}c_{i}c_{j}M_{ij}=\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c} }$$ أين${\displaystyle K}$و${\displaystyle M}$تمثل مصفوفة الصلابة ومصفوفة الكتلة لنظام منفصل على التوالي.

تقليل${\displaystyle \omega ^{2}}$يصبح: $${\displaystyle {\frac {\partial \omega ^{2}}{\partial c_{i}}}={\frac {\partial }{\partial c_{i}}}{\frac {\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c} }{\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c} }}=0}$$

حل هذه المشكلة، $${\displaystyle \mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c} {\frac {\partial \mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c} }{\partial \mathbf {c} }}-\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c} {\frac {\partial \mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c} }{\partial \mathbf {c} }}=0}$$$${\displaystyle K\mathbf {c} -{\frac {\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c} }{\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c} }}M\mathbf {c} =\mathbf {0} }$$$${\displaystyle K\mathbf {c} -\omega ^{2}M\mathbf {c} =\mathbf {0} }$$

للحصول على حل غير تافه لـ c، فإننا نشترط أن يكون محدد معامل المصفوفة لـ c مساوياً للصفر. $${\displaystyle \det(K-\omega ^{2}M)=0}$$

وهذا يعطي حلاً لأول N ترددات ذاتية وأنماط ذاتية للنظام، حيث N هو عدد الدوال التقريبية.

تستخدم المناقشة التالية أبسط الحالات، حيث يحتوي النظام على نابضين مركزين وكتلتين مركزتين، ويُفترض وجود شكلين فقط للاهتزاز. وبالتالي، فإن M = [ m ₁ , m ₂ ] و K = [ k ₁ , k ₂ ] .

يُفترض وجود شكل نمطي للنظام ، يتكون من حدين، أحدهما مُرجّح بمعامل B ، على سبيل المثال Y = [1, 1] + B [1, −1]. تنص نظرية الحركة التوافقية البسيطة على أن السرعة عند اللحظة التي يكون فيها الانحراف صفرًا، هي التردد الزاوي.      ${\displaystyle \omega }$مضروبًا في الانحراف (y) عند لحظة أقصى انحراف. في هذا المثال، الطاقة الحركية (KE) لكل كتلة هي${\textstyle {\frac {1}{2}}\omega ^{2}Y_{1}^{2}m_{1}}$إلخ، والطاقة الكامنة (PE) لكل نابض هي${\textstyle {\frac {1}{2}}k_{1}Y_{1}^{2}}$إلخ.

ونعلم أيضاً أنه بدون التخميد، فإن الطاقة الحركية القصوى تساوي الطاقة الكامنة القصوى. وبالتالي، $${\displaystyle \sum _{i=1}^{2}\left({\frac {1}{2}}\omega ^{2}Y_{i}^{2}M_{i}\right)=\sum _{i=1}^{2}\left({\frac {1}{2}}K_{i}Y_{i}^{2}\right)}$$

تتلاشى السعة الكلية لشكل النمط من كلا الجانبين دائمًا. أي أن الحجم الفعلي للانحراف المفترض لا يهم، بل شكل النمط فقط .

ثم تُجرى عمليات حسابية للحصول على تعبير لـ${\displaystyle \omega }$، بدلالة B، والتي يمكن اشتقاقها بالنسبة إلى B، لإيجاد القيمة الدنيا، أي عندما${\displaystyle d\omega /dB=0}$وهذا يعطي قيمة B التي${\displaystyle \omega }$هو الأدنى. هذا حلٌّ للحد الأعلى لـ${\displaystyle \omega }$لو${\displaystyle \omega }$من المأمول أن يكون التردد الأساسي المتوقع للنظام لأن شكل الوضع مفترض ، لكننا وجدنا أدنى قيمة لهذا الحد الأعلى، بالنظر إلى افتراضاتنا، لأن B يستخدم لإيجاد "المزيج" الأمثل لوظيفتي شكل الوضع المفترضتين.

تتضمن هذه الطريقة العديد من الحيل، وأهمها محاولة اختيار أشكال نمطية افتراضية واقعية. على سبيل المثال، في حالة مسائل انحراف العوارض، يُنصح باستخدام شكل مشوه مشابه تحليليًا للحل المتوقع. قد يُناسب الشكل الرباعي معظم المسائل البسيطة للعوارض المتصلة ببساطة، حتى لو كانت رتبة الحل المشوه أقل. لا يشترط أن تكون النوابض والكتل منفصلة، ​​بل يمكن أن تكون متصلة (أو مزيجًا من الاثنين)، ويمكن استخدام هذه الطريقة بسهولة في جداول البيانات لإيجاد الترددات الطبيعية للأنظمة الموزعة المعقدة، إذا أمكن وصف حدود الطاقة الحركية والطاقة الكامنة الموزعة بسهولة، أو تقسيم العناصر المتصلة إلى أجزاء منفصلة.

يمكن استخدام هذه الطريقة بشكل تكراري، بإضافة أشكال الوضع الإضافية إلى أفضل حل سابق، أو يمكنك بناء تعبير طويل يحتوي على العديد من Bs والعديد من أشكال الوضع، ثم تفاضلها جزئيًا .

يُتيح مُؤثر كوبمان ترميز نظام غير خطي محدود الأبعاد كنظام خطي لا نهائي الأبعاد . عمومًا، يصعب حل كلتا المسألتين، ولكن بالنسبة للمسألة الأخيرة، يُمكننا استخدام طريقة ريتز-غاليركين لتقريب الحل. ^{[ 14 ]}