نظرية ثيفينين

كما هو مذكور في الأصل من حيث دوائر المقاومة للتيار المستمر فقط، تنص نظرية ثيفينين على أنه " يمكن استبدال أي شبكة كهربائية خطية تحتوي فقط على مصادر الجهد ومصادر التيار والمقاومات عند المحطات الطرفية A - B بمجموعة مكافئة من مصدر الجهد V th _في اتصال تسلسلي مع مقاومة R _th ."

• الجهد المكافئ V _th هو الجهد الذي يتم الحصول عليه عند الأطراف A-B للشبكة مع وجود الأطراف A-B ذات الدائرة المفتوحة .
• المقاومة المكافئة R _th هي المقاومة التي ستكون للدائرة بين الطرفين A و B إذا تم استبدال جميع مصادر الجهد المثالية في الدائرة بدائرة قصيرة وتم استبدال جميع مصادر التيار المثالية بدائرة مفتوحة.
• إذا تم توصيل الطرفين A و B ببعضهما البعض، فإن التيار المتدفق من A و B سيكون ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {V_{\mathrm {th} }}{R_{\mathrm {th} }}}.}$ وهذا يعني أنه يمكن حساب R _{th بدلاً من ذلك على أنه} V _th مقسومًا على تيار الدائرة القصيرة بين A و B عندما يتم توصيلهما معًا.

في مصطلحات نظرية الدائرة ، تسمح النظرية بتقليص أي شبكة ذات منفذ واحد إلى مصدر جهد واحد ومقاومة واحدة.

تنطبق النظرية أيضًا على دوائر التيار المتردد ذات المجال الترددي التي تتكون من معاوقات تفاعلية (حثية وسعوية) ومقاومة . وهذا يعني أن النظرية تنطبق على التيار المتردد بنفس الطريقة تمامًا بالنسبة للتيار المستمر باستثناء أن المقاومات تُعمم على المعاوقات.

تم استنباط النظرية بشكل مستقل في عام 1853 من قبل العالم الألماني هيرمان فون هيلمهولتز وفي عام 1883 من قبل ليون تشارلز ثيفينين (1857-1926)، وهو مهندس كهربائي يعمل في مؤسسة البريد والبرق والاتصالات الوطنية الفرنسية . ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]}

تُستخدم نظرية ثيفينين ونظريتها المزدوجة، نظرية نورتون ، على نطاق واسع لتبسيط تحليل الدوائر ودراسة الحالة الأولية للدائرة واستجابة الحالة المستقرة. ^{[8] [9]} يمكن استخدام نظرية ثيفينين لتحويل مصادر ومعاوقات أي دائرة إلى مكافئ ثيفينين ؛ قد يكون استخدام النظرية في بعض الحالات أكثر ملاءمة من استخدام قوانين دائرة كيرشوف . ^{[7] [10]}

لقد تم تقديم العديد من البراهين لنظرية ثيفينين. ولعل أبسط هذه البراهين كان البرهان الموجود في ورقة ثيفينين الأصلية. ^[3] ليس هذا البرهان أنيقًا وسهل الفهم فحسب، بل يوجد إجماع ^[4] على أن برهان ثيفينين صحيح وعام في قابليته للتطبيق. والبرهان يسير على النحو التالي:

لنفترض وجود شبكة نشطة تحتوي على معاوقات ومصادر جهد (ثابت) ومصادر تيار (ثابت). يمكن أن يكون تكوين الشبكة أي شيء. يتم توفير الوصول إلى الشبكة من خلال زوج من المحطات الطرفية. حدد الجهد المقاس بين المحطات الطرفية بـ V _θ ، كما هو موضح في المربع الموجود على الجانب الأيسر من الشكل 2.

افترض أن مصادر الجهد داخل الصندوق تم استبدالها بدوائر قصيرة، ومصادر التيار بدوائر مفتوحة. إذا تم ذلك، فلن يظهر أي جهد عبر الأطراف، ومن الممكن قياس المعاوقة بين الأطراف. أطلق على هذه المعاوقة Z _θ .

الآن لنفترض أننا قمنا بتوصيل شبكة خطية بأطراف الصندوق، لها معاوقة Z _e ، كما هو موضح في الشكل 2أ. نريد إيجاد التيار I عبر Z _e . الإجابة ليست واضحة، لأن جهد الطرف لن يكون V _θ بعد توصيل Z _{e .}

بدلاً من ذلك، نتخيل أننا نربط، على التوالي بممانعة Z _e ، مصدرًا بقوة دافعة كهربائية E تساوي V _θ ولكنها موجهة لمقاومة V _θ ، كما هو موضح في الشكل 2ب. لن يتدفق تيار عبر Z _e لأن E يوازن V _θ .

بعد ذلك، نقوم بإدخال مصدر آخر للقوة الدافعة الكهربائية، E ₁ ، على التوالي مع Z _e ، حيث يكون لـ E ₁ نفس مقدار E ولكنه معاكس في الاتجاه (انظر الشكل 2ج). يمكن تحديد التيار، I ₁ ، على النحو التالي: إنه التيار الذي ينتج عن عمل E ₁ بمفرده، مع ضبط جميع المصادر الأخرى (داخل الشبكة النشطة والشبكة الخارجية) على الصفر. هذا التيار، إذن،

$${\displaystyle I_{1}={\frac {E_{1}}{Z_{e}+Z_{\theta }}}={\frac {V_{\theta}}{Z_{e}+Z_{\ ثيتا }}}}$$

لأن Z _e هي المعاوقة الخارجية للصندوق و Z _θ تنظر إلى داخل الصندوق عندما تكون مصادرها صفرًا.

أخيرًا، نلاحظ أنه يمكن إزالة E و E ₁ معًا دون تغيير التيار، وعندما يتم إزالتهما، نعود إلى الشكل 2أ. وبالتالي، فإن I ₁ هو التيار، I ، الذي نبحث عنه، أي

$${\displaystyle I={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\theta }}}}$$

وبذلك يتم استكمال الإثبات. يوضح الشكل 2د دائرة مكافئة ثيفينين.

كما هو مذكور، تم اكتشاف ونشر نظرية ثيفينين لأول مرة من قبل العالم الألماني هيرمان فون هيلمهولتز في عام 1853، ^[1] قبل أربع سنوات من ولادة ثيفينين. إن إثبات ثيفينين عام 1883، الموصوف أعلاه، أقرب في روحه إلى الأساليب الحديثة في الهندسة الكهربائية، وقد يفسر هذا سبب ارتباط اسمه بشكل أكثر شيوعًا بالنظرية. ^[11] تعكس صياغة هيلمهولتز السابقة للمشكلة نهجًا أكثر عمومية وأقرب إلى الفيزياء.

في ورقته البحثية التي كتبها عام 1853، كان هلمهولتز مهتمًا بالخصائص الدافعة الكهربائية لـ "الموصلات الممتدة فيزيائيًا"، وخاصةً الأنسجة الحيوانية . وأشار إلى أن العمل السابق الذي قام به عالم وظائف الأعضاء إميل دو بوا ريموند أظهر أن "كل جزء أصغر من العضلة يمكن تحفيزه قادر على إنتاج تيارات كهربائية". في هذا الوقت، أجريت تجارب عن طريق ربط مقياس الجلفانومتر عند نقطتين بعينة من الأنسجة الحيوانية وقياس تدفق التيار عبر الدائرة الخارجية. نظرًا لأن هدف هذا العمل كان فهم شيء ما عن الخصائص الداخلية للأنسجة، فقد أراد هلمهولتز إيجاد طريقة لربط تلك الخصائص الداخلية بالتيارات المقاسة خارجيًا.

كانت نقطة البداية لهيلمهولتز هي النتيجة التي نشرها جوستاف كيرشوف في عام 1848. ^[12] مثل هيلمهولتز، كان كيرشوف مهتمًا بالأنظمة ثلاثية الأبعاد الموصلة للكهرباء. فكر كيرشوف في نظام يتكون من جزأين، أطلق عليهما اسمي الجزأين أ و ب. يتكون الجزء أ (الذي لعب دور "الشبكة النشطة" في الشكل 2) من مجموعة من الأجسام الموصلة المتصلة من طرف إلى طرف، ويتميز كل جسم بقوة دافعة كهربائية ومقاومة. افترض أن الجزء ب متصل بنهايتي أ عبر سلكين. أظهر كيرشوف بعد ذلك (ص 195) أنه "بدون تغيير التدفق عند أي نقطة في ب، يمكن للمرء أن يستبدل أ بموصل توجد فيه قوة دافعة كهربائية تساوي مجموع فروق الجهد في أ، وله مقاومة تساوي مجموع مقاومات عناصر أ".

في بحثه عام 1853، أقر هلمهولتز بنتيجة كيرشوف، لكنه أشار إلى أنها كانت صالحة فقط في حالة عدم وجود منحنيات تيار مغلقة في أ، "كما هو الحال في البطاريات الكهرومائية"، بل أن كل هذه المنحنيات تمر عبر ب. لذلك شرع في تعميم نتيجة كيرشوف على حالة التوزيع التعسفي ثلاثي الأبعاد لمصادر التيار والجهد داخل النظام أ.

بدأ هلمهولتز بتقديم صياغة أكثر عمومية مما تم نشره سابقًا لمبدأ التراكب ، والذي عبر عنه (ص 212-213) على النحو التالي:

إذا احتوى أي نظام موصلات على قوى دافعة كهربائية في مواقع مختلفة، فإن الجهد الكهربي عند كل نقطة في النظام يتدفق خلالها التيار يساوي المجموع الجبري لتلك الفولتات التي ستنتجها كل قوة دافعة كهربائية بشكل مستقل عن القوى الأخرى. وعلى نحو مماثل، فإن مكونات شدة التيار الموازية لثلاثة محاور عمودية تساوي مجموع المكونات المقابلة التي تنتمي إلى القوى الفردية.

وباستخدام هذه النظرية، بالإضافة إلى قانون أوم ، أثبت هلمهولتز النظريات الثلاث التالية حول العلاقة بين الجهد والتيارات الداخلية للنظام "الفيزيائي" أ، والتيار المتدفق عبر النظام "الخطي" ب، والذي افترض أنه متصل بـ أ عند نقطتين على سطحه:

ومن هذه النتائج استنتج هلمهولتز نتيجته النهائية (ص 222):

"إذا تم توصيل موصل فيزيائي بقوة دافعة كهربائية ثابتة في نقطتين محددتين على سطحه بأي موصل خطي، فيمكننا دائمًا استبداله بموصل خطي بقوة دافعة كهربائية معينة ومقاومة معينة، والتي ستثير في جميع الموصلات الخطية المطبقة نفس التيارات تمامًا مثل الموصل الفيزيائي. ... مقاومة الموصل الخطي المراد استبداله تساوي مقاومة الجسم عندما يمر التيار من خلاله من نقطتي دخول الموصل الخطي.

ثم لاحظ أن نتيجته، المستمدة من "نظام فيزيائي" عام، تنطبق أيضًا على الدوائر "الخطية" (بالمعنى الهندسي) مثل تلك التي اعتبرها كيرشوف:

إن ما ينطبق على كل موصل فيزيائي ينطبق أيضاً على الحالة الخاصة لنظام التيار الخطي المتفرع. فحتى إذا تم توصيل نقطتين محددتين من هذا النظام بأي موصلات خطية أخرى، فإنه يتصرف بالمقارنة معهما مثل موصل خطي له مقاومة معينة، يمكن إيجاد مقدارها وفقاً للقواعد المعروفة للخطوط المتفرعة، وقوة دافعة كهربائية معينة، والتي يتم تحديدها من خلال فرق الجهد بين النقاط المشتقة كما كان موجوداً قبل الدائرة المضافة.

إن صياغة هذه النظرية هي في الأساس نفس صياغة ثيفينين، التي نشرت بعد 30 عامًا.

الدائرة المكافئة هي مصدر جهد بجهد V _th متصل على التوالي مع مقاومة R _th .

الجهد المكافئ لثيفينين V _th هو جهد الدائرة المفتوحة عند أطراف خرج الدائرة الأصلية. عند حساب الجهد المكافئ لثيفينين، غالبًا ما يكون مبدأ مقسم الجهد مفيدًا، من خلال إعلان أحد الأطراف على أنه V _out والطرف الآخر على أنه عند نقطة الأرض.

المقاومة المكافئة لثيفينين R _Th هي المقاومة المقاسة عبر النقطتين A و B "بالنظر إلى الخلف" في الدائرة. يتم قياس المقاومة بعد استبدال جميع مصادر الجهد والتيار بمقاوماتها الداخلية. وهذا يعني استبدال مصدر الجهد المثالي بدائرة قصيرة، واستبدال مصدر التيار المثالي بدائرة مفتوحة. يمكن بعد ذلك حساب المقاومة عبر الأطراف باستخدام صيغ الدوائر المتسلسلة والمتوازية . هذه الطريقة صالحة فقط للدوائر ذات المصادر المستقلة. إذا كانت هناك مصادر تابعة في الدائرة، فيجب استخدام طريقة أخرى مثل توصيل مصدر اختبار عبر A و B وحساب الجهد عبر أو التيار عبر مصدر الاختبار.

كطريقة للتذكير، يمكن تذكر بدائل ثيفينين لمصادر الجهد والتيار حيث يتم ضبط قيم المصادر (بمعنى جهدها أو تيارها) على الصفر. سيخلق مصدر الجهد بقيمة صفر فرق جهد يبلغ صفر فولت بين أطرافه، تمامًا كما تفعل الدائرة القصيرة المثالية، مع تلامس سلكين؛ وبالتالي يتم استبدال المصدر بدائرة قصيرة. وبالمثل، يمرر مصدر تيار بقيمة صفر ودائرة مفتوحة تيارًا صفريًا.

في المثال، حساب الجهد المكافئ: (لاحظ أن R1 لم يتم أخذه في الاعتبار، حيث تتم الحسابات أعلاه في حالة الدائرة المفتوحة بين A و B ، وبالتالي لا يتدفق _أي تيار عبر هذا الجزء، مما يعني أنه لا يوجد تيار عبر R1 وبالتالي لا يوجد انخفاض _في الجهد على طول هذا الجزء.) $${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {Th} }&={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_ {\mathrm {1} }\\&={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\ ,\mathrm {k} \Omega )+2\,\mathrm {k} \Omega }\cdot 15\,\mathrm {V} \\&={1 \over 2}\cdot 15\,\mathrm {V } =7.5\,\mathrm {V} \end{محاذاة}}}$$

حساب المقاومة المكافئة ( R _x || R _y هي المقاومة الكلية لمقاومتين متوازيتين ): $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {Th} }&=R_{1}+\left[\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left[\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\right)^{-1}=2\,\mathrm {k} \Omega .\end{aligned}}}$$

ترتبط دائرة مكافئة نورتون بمكافئ ثيفينين بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {Th} }&=R_{\mathrm {No} }\!\\V_{\mathrm {Th} }&=I_{\mathrm {No} }R_{\mathrm {No} }\!\\I_{\mathrm {No} }&={\frac {V_{\mathrm {Th} }}{R_{\mathrm {Th} }}}\!\end{aligned}}}$$

• تكون العديد من الدوائر خطية فقط على نطاق معين من القيم، وبالتالي فإن مكافئ ثيفينين صالح فقط ضمن هذا النطاق الخطي.
• يتمتع مكافئ ثيفينين بخاصية I–V مكافئة فقط من وجهة نظر الحمل.
• إن تبديد الطاقة لمكافئ ثيفينين ليس بالضرورة مطابقًا لتبديد الطاقة للنظام الحقيقي. ومع ذلك، فإن الطاقة التي يبددها المقاوم الخارجي بين طرفي الإخراج هي نفسها بغض النظر عن كيفية تنفيذ الدائرة الداخلية.

في عام 1933، نشر AT Starr تعميمًا لنظرية ثيفينين في مقال بمجلة Institute of Electrical Engineers Journal ، بعنوان "نظرية جديدة للشبكات النشطة" ، ^[13] والتي تنص على أنه يمكن استبدال أي شبكة خطية نشطة ذات ثلاثة أطراف بثلاثة مصادر جهد مع معاوقات مقابلة، متصلة بشكل واي أو دلتا .

• نظرية العناصر الإضافية
• نظرية نقل القدرة القصوى
• نظرية ميلمان
• تحويل المصدر

• وينر، فرانك (1926). "مبدأ يحكم توزيع التيار في أنظمة الموصلات الخطية". وقائع الجمعية الفيزيائية . 39 (1). واشنطن العاصمة: مكتب المعايير : 124-144. رمز Bibcode : 1926PPS....39..124W. doi : 10.1088/0959-5309/39/1/311. hdl : 2027/mdp.39015086551663 . الورقة العلمية S531.
• مرشحات الدرجة الأولى: اختصار عبر مصدر مكافئ ثيفينين - يظهر في الصفحة 4 تبسيط نظرية ثيفينين للدائرة المعقدة لمرشح التردد المنخفض من الدرجة الأولى ومقسم الجهد المرتبط به والثابت الزمني والمكسب .

• الوسائط المتعلقة بنظرية ثيفينين في ويكيميديا ​​كومنز