المعاوقة الكهربائية

في الهندسة الكهربائية ، تُعرف المعاوقة بأنها مقاومة التيار المتردد الناتجة عن التأثير المشترك للمقاومة والمفاعلة في الدائرة . ^[¹^]

كمياً، تُعرَّف معاوقة عنصر دائرة ثنائي الأطراف بأنها نسبة التمثيل المركب للجهد الجيبي بين طرفيه إلى التمثيل المركب للتيار المار فيه. ^{[ 2 ]} وبشكل عام، تعتمد هذه المعاوقة على تردد الجهد الجيبي.

تُوسّع المعاوقة مفهوم المقاومة ليشمل دوائر التيار المتردد، وتمتلك كلاً من المقدار والطور ، على عكس المقاومة التي لها مقدار فقط.

يمكن تمثيل المعاوقة كعدد مركب ، بنفس وحدات المقاومة، ووحدتها في النظام الدولي للوحدات هي الأوم ( $Ω$ ). رمزها عادةً $Z$ ، ويمكن تمثيلها بكتابة مقدارها وطورها بالصيغة القطبية | $Z | ∠θ .$ مع ذلك، غالبًا ما يكون تمثيلها بالأعداد المركبة في الإحداثيات الديكارتية أكثر فعالية لأغراض تحليل الدوائر الكهربائية.

يُعد مفهوم المعاوقة مفيدًا لإجراء تحليل التيار المتردد للشبكات الكهربائية ، لأنه يسمح بربط الفولتية والتيارات الجيبية بقانون خطي بسيط. في الشبكات متعددة المنافذ ، يكون تعريف المعاوقة ثنائي الأطراف غير كافٍ، ولكن تظل الفولتية المركبة عند المنافذ والتيارات المتدفقة عبرها مرتبطة خطيًا بواسطة مصفوفة المعاوقة . ^{[ 3 ]}

مقلوب المعاوقة هو السماحية ، ووحدتها في النظام الدولي للوحدات هي السيمنز .

تُسمى الأجهزة المستخدمة لقياس المعاوقة الكهربائية بأجهزة تحليل المعاوقة .

تاريخ

لعلّ أول استخدام للأعداد المركبة في تحليل الدوائر الكهربائية كان على يد يوهان فيكتور ويتليسباخ عام 1879 في تحليله لجسر ماكسويل . تجنّب ويتليسباخ استخدام المعادلات التفاضلية بالتعبير عن التيارات والفولتيات المترددة كدوال أسية ذات أسس تخيلية (انظر § صلاحية التمثيل المركب ). وجد ويتليسباخ أن الجهد المطلوب يُعطى بضرب التيار في عدد مركب (الممانعة)، مع أنه لم يُعرّف هذا العدد كمعامل عام بحد ذاته. ^{[ 4 ]}

صاغ أوليفر هيفسايد مصطلح المعاوقة في يوليو 1886. ^[⁵^]^[⁶^] أدرك هيفسايد أن "مؤثر المقاومة" (المعاوقة) في حسابه التفاضلي والتكاملي هو عدد مركب. وفي عام 1887، أثبت وجود مكافئ تيار متردد لقانون أوم . ^[⁷^]

نشر آرثر كينلي بحثًا مؤثرًا حول المعاوقة عام 1893. وقد توصل كينلي إلى تمثيل للمعاوقة باستخدام الأعداد المركبة بطريقة أكثر مباشرة من استخدام الدوال الأسية التخيلية. اتبع كينلي التمثيل البياني للمعاوقة (الذي يُظهر المقاومة والمفاعلة والمعاوقة كأطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية) الذي طوره جون أمبروز فليمنج عام 1889. وبذلك، أمكن جمع المعاوقات بشكل متجهي . أدرك كينلي أن هذا التمثيل البياني للمعاوقة يُشابه تمامًا التمثيل البياني للأعداد المركبة ( مخطط أرغاند ). وبالتالي، أمكن معالجة مسائل حساب المعاوقة جبريًا باستخدام تمثيل الأعداد المركبة. ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} وفي وقت لاحق من العام نفسه، عمم تشارلز بروتيوس شتاينمتز عمل كينلي ليشمل جميع دوائر التيار المتردد . لم يقتصر تمثيل شتاينمتز للمعاوقات بالأعداد المركبة فحسب، بل شمل أيضًا تمثيل الفولتية والتيارات. على عكس كينلي، تمكن شتاينمتز من التعبير عن مكافئات التيار المتردد لقوانين التيار المستمر مثل قانوني أوم وكيرشوف . ^{[ 10 ]} كان لعمل شتاينمتز تأثير كبير في نشر هذه التقنية بين المهندسين. ^{[ 11 ]}

مقدمة

بالإضافة إلى المقاومة كما هو الحال في دوائر التيار المستمر، تشمل المعاوقة في دوائر التيار المتردد تأثيرات حث الجهد في الموصلات بواسطة المجالات المغناطيسية ( الحث )، وتخزين الشحنة الكهروستاتيكية الناتج عن الجهد بين الموصلات ( السعة ). تُعرف المعاوقة الناتجة عن هذين التأثيرين مجتمعين بالمفاعلة ، وهي تُشكل الجزء التخيلي من المعاوقة المركبة، بينما تُشكل المقاومة الجزء الحقيقي .

المعاوقة المركبة

يتم تمثيل معاوقة عنصر دائرة ثنائي الأطراف ككمية مركبة $Z$ يُسهّل الشكل القطبي التقاط خصائص كل من السعة والطور .

$\ Z=|Z|e^{j\arg(Z)}$

حيث الحجم $|Z|$ يمثل نسبة سعة فرق الجهد إلى سعة التيار، بينما يمثل الوسيط $\arg(Z)$ (يُشار إليه عادةً بالرمز) $\theta$ يُعطي الحرف ) فرق الطور بين الجهد والتيار. في الهندسة الكهربائية، يُستخدم الحرف . $i$ يُستخدم للتيار الكهربائي ، لذا يتم تمثيل الوحدة التخيلية بالحرف $j$ [ ¹²^]^:²¹

في الصيغة الديكارتية ، تُعرَّف المعاوقة على النحو التالي:

$\ Z=R+jX$

حيث يمثل الجزء الحقيقي من المعاوقة المقاومة $R،$ ويمثل الجزء التخيلي المفاعلة $X.$

عند الحاجة إلى جمع أو طرح المعاوقات، يكون الشكل الديكارتي أكثر ملاءمة؛ ولكن عند ضرب أو قسمة الكميات، يصبح الحساب أبسط باستخدام الشكل القطبي. قد يتطلب حساب الدائرة، مثل إيجاد المعاوقة الكلية لمعاوقتين موصولتين على التوازي، التحويل بين الأشكال عدة مرات أثناء الحساب. ويخضع التحويل بين الأشكال لقواعد التحويل المعتادة للأعداد المركبة .

الجهد والتيار المركب

لتبسيط الحسابات، تُمثل موجات الجهد والتيار الجيبية عادةً كدوال ذات قيم مركبة للزمن يُرمز لها بـ $V$ و $I$ [ ¹³^]^[¹⁴^]

${\begin{aligned}V&=|V|e^{j(\omega t+\phi _{V})},\\I&=|I|e^{j(\omega t+\phi _{I})}.\end{aligned}}$

تُعرَّف معاوقة الدائرة ثنائية القطب بأنها نسبة هذه الكميات:

$Z={\frac {V}{I}}={\frac {|V|}{|I|}}e^{j(\phi _{V}-\phi _{I})}.$

وبالتالي، فإن ذلك يدل على $\theta =\phi _{V}-\phi _{I}$ لدينا

${\begin{aligned}\left|V\right|&=\left|I\right|\left|Z\right|,\\\phi _{V}&=\phi _{I}+\theta .\end{aligned}}$

معادلة المقدار هي قانون أوم المألوف المطبق على سعات الجهد والتيار، بينما تحدد المعادلة الثانية علاقة الطور.

صحة التمثيل المعقد

يمكن تبرير هذا التمثيل باستخدام الدوال الأسية المركبة من خلال ملاحظة أن (بحسب صيغة أويلر ):

$\ \cos(\omega t+\phi )={\tfrac {1}{2}}\left[e^{j(\omega t+\phi )}+e^{-j(\omega t+\phi )}\right]$

يمكن تحليل الدالة الجيبية ذات القيم الحقيقية، التي تمثل الجهد أو التيار، إلى دالتين مركبتين. وبموجب مبدأ التراكب ، يمكننا تحليل سلوك الدالة الجيبية في الطرف الأيسر من خلال تحليل سلوك الحدين المركبين في الطرف الأيمن. ونظرًا للتناظر، يكفي إجراء التحليل لأحد الحدين في الطرف الأيمن فقط، إذ تكون النتائج متطابقة للآخر. وفي نهاية أي عملية حسابية، يمكننا العودة إلى الدوال الجيبية ذات القيم الحقيقية، مع ملاحظة أن

$\ \cos(\omega t+\phi )=\operatorname {Re} \left\{e^{j(\omega t+\phi )}\right\}$

قانون أوم

{\displaystyle V} — مصدر تيار متردد يطبق جهدًا كهربائيًا $V$ عبر حمولة $Z$ ، مما يؤدي إلى توليد تيار $I$

يمكن فهم معنى المعاوقة الكهربائية من خلال استبدالها في قانون أوم. ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]} بافتراض وجود عنصر دائرة ثنائي الأطراف ذي معاوقة $Z$ إذا تم تشغيلها بواسطة جهد أو تيار جيبي كما هو مذكور أعلاه، فإن ذلك ينطبق

$V=IZ=I\left|Z\right|e^{j\arg(Z)}$

مقدار المعاوقة $|Z|$ يتصرف تمامًا مثل المقاومة، مما يؤدي إلى انخفاض سعة الجهد عبر المعاوقة $Z$ لتيار معين $I$ يُشير عامل الطور إلى أن التيار يتأخر عن الجهد بمقدار طور . $\theta =\arg(Z)$ (أي، في المجال الزمني ، يتم إزاحة الإشارة الحالية) ${\textstyle {\frac {\theta }{2\pi }}T}$ لاحقًا فيما يتعلق بإشارة الجهد).

وكما أن المعاوقة توسع قانون أوم ليشمل دوائر التيار المتردد، فإن نتائج أخرى من تحليل دوائر التيار المستمر، مثل تقسيم الجهد وتقسيم التيار ونظرية ثيفينين ونظرية نورتون ، يمكن أيضًا توسيعها لتشمل دوائر التيار المتردد عن طريق استبدال المقاومة بالمعاوقة.

الطور

يُمثَّل المتجه الطوري بعدد مركب ثابت، يُعبَّر عنه عادةً بالصيغة الأسية، ويمثل السعة المركبة (المقدار والطور) لدالة جيبية للزمن. يستخدم مهندسو الكهرباء المتجهات الطورية لتبسيط العمليات الحسابية التي تتضمن دوال جيبية (كما في دوائر التيار المتردد ^{[ 12 ]}^{: 53} )، حيث يمكنها في كثير من الأحيان اختزال مسألة معادلة تفاضلية إلى مسألة جبرية.

يمكن تعريف معاوقة عنصر الدائرة الكهربائية بأنها نسبة الجهد الطوري عبر العنصر إلى التيار الطوري المار فيه، وذلك بناءً على السعات والأطوار النسبية للجهد والتيار. وهذا التعريف مطابق لتعريف قانون أوم المذكور أعلاه، مع الأخذ في الاعتبار أن عوامل $e^{j\omega t}$ يلغي.

أمثلة على الأجهزة

المقاوم

{\displaystyle \pi /2} — تشير زوايا الطور في معادلات معاوقة المكثفات والمحاثات إلى أن الجهد عبر المكثف *يتأخر عن* التيار المار فيه بمقدار طور قدره $\pi /2$ *بينما يؤدي* فرق الجهد عبر المحث إلى زيادة التيار المار فيه بواسطة $\pi /2$ تشير سعات الجهد والتيار المتطابقة إلى أن مقدار المعاوقة يساوي واحدًا.

معاوقة المقاوم المثالي هي معاوقة حقيقية بحتة وتسمى المعاوقة المقاومة :

$\ Z_{R}=R$

في هذه الحالة، تكون أشكال موجات الجهد والتيار متناسبة ومتوافقة في الطور.

المحث والمكثف (في حالة الاستقرار)

تتمتع المحاثات والمكثفات المثالية بمقاومة تفاعلية تخيلية بحتة :

تزداد مقاومة المحاثات مع زيادة التردد؛

$Z_{L}=j\omega L$

تنخفض مقاومة المكثفات مع زيادة التردد؛

$Z_{C}={\frac {1}{j\omega C}}$

في كلتا الحالتين، عند تطبيق جهد جيبي، يكون التيار الناتج جيبيًا أيضًا، ولكنه متعامد مع الجهد بمقدار 90 درجة. ومع ذلك، فإن أطوار التيار لها إشارات متعاكسة: في المحث، يكون التيار متأخرًا ؛ وفي المكثف، يكون التيار متقدمًا .

لاحظ المتطابقات التالية للوحدة التخيلية ومقلوبها:

${\begin{aligned}j&\equiv \cos {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}+j\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}\equiv e^{j{\frac {\pi }{2}}}\\{\frac {1}{j}}\equiv -j&\equiv \cos {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}+j\sin {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}\equiv e^{j\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}\end{aligned}}$

وبالتالي، يمكن إعادة كتابة معادلات معاوقة المحث والمكثف في شكل قطبي:

${\begin{aligned}Z_{L}&=\omega Le^{j{\frac {\pi }{2}}}\\Z_{C}&={\frac {1}{\omega C}}e^{j\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}\end{aligned}}$

يعطي المقدار التغير في سعة الجهد لسعة تيار معينة عبر المعاوقة، بينما تعطي العوامل الأسية علاقة الطور.

اشتقاق المعاوقات الخاصة بالجهاز

فيما يلي اشتقاق لممانعة كل عنصر من عناصر الدائرة الأساسية الثلاثة : المقاوم، والمكثف، والمحث. مع أن الفكرة قابلة للتطبيق لتحديد العلاقة بين الجهد والتيار لأي إشارة ، إلا أن هذه الاشتقاقات تفترض إشارات جيبية . في الواقع، ينطبق هذا على أي إشارات دورية، إذ يمكن تقريبها كمجموع موجات جيبية باستخدام تحليل فورييه .

المقاوم

بالنسبة للمقاومة، توجد العلاقة التالية $v_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}=i_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}R$

وهو قانون أوم .

باعتبار إشارة الجهد $v_{\text{R}}(t)=V_{p}\sin(\omega t)$

ويترتب على ذلك أن ${\frac {v_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}}{i_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}}}={\frac {V_{p}\sin(\omega t)}{I_{p}\sin {\mathord {\left(\omega t\right)}}}}=R$

هذا يعني أن نسبة سعة جهد التيار المتردد إلى سعة التيار المتردد عبر المقاومة هي $R$ وأن جهد التيار المتردد يتقدم على التيار المار عبر المقاوم بمقدار 0 درجة.

تُعبّر هذه النتيجة عادةً عن: $Z_{\text{resistor}}=R$

المكثف (في حالة الاستقرار)

بالنسبة للمكثف، توجد العلاقة التالية: $i_{\text{C}}(t)=C{\frac {\mathrm {d} v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}$

باعتبار إشارة الجهد $v_{\text{C}}(t)=V_{p}e^{j\omega t}$

ويترتب على ذلك أن ${\frac {\mathrm {d} v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}=j\omega V_{p}e^{j\omega t}$

وبالتالي، كما في السابق، $Z_{\text{capacitor}}={\frac {v_{\text{C}}{\mathord {\left(t\right)}}}{i_{\text{C}}{\mathord {\left(t\right)}}}}={\frac {1}{j\omega C}}.$

وعلى العكس من ذلك، إذا افترضنا أن التيار المار في الدائرة جيبي، فإن تمثيله المركب هو $i_{\text{C}}(t)=I_{p}e^{j\omega t}$ ثم تكامل المعادلة التفاضلية $i_{\text{C}}(t)=C{\frac {\mathrm {d} v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}$ يؤدي إلى $v_{C}(t)={\frac {1}{j\omega C}}I_{p}e^{j\omega t}+{\text{Const.}}={\frac {1}{j\omega C}}i_{C}(t)+{\text{Const.}}$ يمثل الحد الثابت انحيازًا ثابتًا للجهد مُضافًا إلى جهد التيار المتردد الجيبي، ولا يلعب أي دور في تحليل التيار المتردد. ولهذا الغرض، يمكن افتراض أن هذا الحد يساوي صفرًا، وبالتالي تكون المعاوقة هي نفسها. $Z_{\text{capacitor}}={\frac {1}{j\omega C}}.$

المحث (في حالة الاستقرار)

بالنسبة للمحث، لدينا العلاقة (من قانون فاراداي ): $v_{\text{L}}(t)=L{\frac {\mathrm {d} i_{\text{L}}(t)}{\mathrm {d} t}}$

هذه المرة، مع الأخذ في الاعتبار أن الإشارة الحالية هي: $i_{\text{L}}(t)=I_{p}\sin(\omega t)$

ويترتب على ذلك ما يلي: ${\frac {\mathrm {d} i_{\text{L}}(t)}{\mathrm {d} t}}=\omega I_{p}\cos {\mathord {\left(\omega t\right)}}$

تُعبّر هذه النتيجة عادةً عن شكل قطبي كما يلي: $Z_{\text{inductor}}=\omega Le^{j{\frac {\pi }{2}}}$

أو باستخدام صيغة أويلر، كما $Z_{\text{inductor}}=j\omega L$

كما هو الحال مع المكثفات، يمكن اشتقاق هذه الصيغة مباشرةً من التمثيلات المركبة للجهود والتيارات، أو بافتراض جهد جيبي بين قطبي المحث. في الحالة الأخيرة، يؤدي تكامل المعادلة التفاضلية المذكورة أعلاه إلى حد ثابت للتيار، يمثل انحيازًا ثابتًا للتيار المستمر يمر عبر المحث. يُضبط هذا الحد على الصفر لأن تحليل التيار المتردد باستخدام معاوقة مجال التردد يأخذ في الاعتبار ترددًا واحدًا في كل مرة، ويمثل التيار المستمر ترددًا منفصلاً يساوي صفر هرتز في هذا السياق.

معاوقة المستوى s المعممة

تم تعريف معاوقة المكثفات والمحاثات أعلاه بدلالة $j\omega$ لكن هذا التبسيط لا ينطبق بدقة إلا على الدوائر التي تعمل بإشارات تيار متردد وتيار مستمر في حالة استقرار ، وهي حالة تُسمى حالة الاستقرار . إن مجرد تشغيل مصدر الإشارة أو إيقافه يُخلّ بحالة الاستقرار هذه. وللسماح بتقييم الاستجابة العابرة بالإضافة إلى حالة الاستقرار للدائرة، يمكن توسيع مفهوم المعاوقة ليشمل أي دائرة تعمل بأي إشارة عشوائية باستخدام التردد المركب. $s{=}\sigma {+}j\omega$ بدلاً من مجرد $j\omega$ تُعبّر الإشارات بدلالة التردد المركب عن طريق إجراء تحويل لابلاس لتعبير الإشارة في المجال الزمني . وتكون معاوقة عناصر الدائرة الأساسية في هذه الصيغة العامة كما يلي:

عنصر	تعبير المعاوقة
المقاوم	$R\,$
مغو	$sL\,$
مكثف	${\frac {1}{sC}}\,$

بالنسبة لإشارة الحالة المستقرة، $s$ يتبسط إلى $j\omega$ وهذا يُبسط الأمر أكثر إلى $s{=}0$ بالنسبة لدائرة التيار المستمر فقط، في هذه الحالة سيتصرف كل محث كدائرة قصر وسيتصرف كل مكثف كدائرة مفتوحة.

الاشتقاق الرسمي

المعاوقة $Z$ يُعرَّف معامل كفاءة المكون الكهربائي بأنه النسبة بين تحويلات لابلاس للجهد الكهربائي المطبق عليه والتيار المار فيه، أي

$Z(s)={\frac {{\mathcal {L}}\{v(t)\}}{{\mathcal {L}}\{i(t)\}}}={\frac {V(s)}{I(s)}}\qquad {\text{(general impedance)}}$

أين $s=\sigma +j\omega$ هو معامل لابلاس المركب.

مغو

باستخدام علاقة التيار والجهد للمحث $[v(t){=}L{\tfrac {\mathrm {d} i(t)}{\mathrm {d} t}}]$ ، تحويل لابلاس لجهدها هو: ${\mathcal {L}}\{v(t)\}={\mathcal {L}}\left\{L\,{\tfrac {\mathrm {d} i(t)}{\mathrm {d} t}}\right\}=sL\,{\mathcal {L}}\{i(t)\}\,.$

إعادة الترتيب بحيث ${\mathcal {L}}\{v(t)\}$ يقسم على ${\mathcal {L}}\{i(t)\}$ يوفر معاوقة المحث: $Z_{L}(s){=}sL$ .

مكثف

باستخدام علاقة التيار بالجهد للمكثف $[i(t){=}C{\tfrac {\mathrm {d} v(t)}{\mathrm {d} t}}]$ ، تحويل لابلاس لتيارها هو:

${\mathcal {L}}\{i(t)\}={\mathcal {L}}\left\{C\,{\tfrac {\mathrm {d} v(t)}{\mathrm {d} t}}\right\}=sC\,{\mathcal {L}}\{v(t)\}\,.$

إعادة الترتيب بحيث ${\mathcal {L}}\{v(t)\}$ يقسم على ${\mathcal {L}}\{i(t)\}$ يوفر مقاومة المكثف: $Z_{C}(s){=}{\tfrac {1}{sC}}$ .

العلاقة بالمتجهات الطورية

في نظام الطور (الحالة المستقرة، أي أن جميع الإشارات تُمثل رياضياً كدوال أسية مركبة بسيطة). $v(t)={\hat {V}}\,e^{j\omega t}$ و $i(t)={\hat {I}}\,e^{j\omega t}$ يتذبذب بتردد مشترك $\omega$ )، يمكن حساب المعاوقة ببساطة كنسبة الجهد إلى التيار، حيث يتم إلغاء العامل المشترك المعتمد على الزمن:

$Z(\omega )={\frac {v(t)}{i(t)}}={\frac {{\hat {V}}\,e^{j\omega t}}{{\hat {I}}\,e^{j\omega t}}}={\frac {\hat {V}}{\hat {I}}}\qquad {\text{(phasor-regime impedance)}}$

يُطلق على مجال الطور أحيانًا اسم مجال التردد، على الرغم من أنه يفتقر إلى أحد أبعاد معامل لابلاس. ^{[ 17 ]} في حالة الاستقرار، يربط الشكل القطبي للممانعة المركبة بين سعة وطور الجهد والتيار. على وجه الخصوص:

مقدار المعاوقة المركبة هو نسبة سعة الجهد إلى سعة التيار؛
طور المعاوقة المركبة هو فرق الطور الذي يتأخر به التيار عن الجهد.

تظل هاتان العلاقتان قائمتين حتى بعد أخذ الجزء الحقيقي من الدوال الأسية المركبة (انظر المتجهات الطورية )، وهو الجزء من الإشارة الذي يتم قياسه فعليًا في الدوائر الواقعية.

المقاومة مقابل المفاعلة

تحدد المقاومة والمفاعلة معًا مقدار وطور المعاوقة من خلال العلاقات التالية:

${\begin{aligned}|Z|&={\sqrt {ZZ^{*}}}={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}\\\theta &=\arctan {\left({\frac {X}{R}}\right)}\end{aligned}}$

في العديد من التطبيقات، لا تعتبر المرحلة النسبية للجهد والتيار أمرًا بالغ الأهمية، لذا فإن مقدار المعاوقة فقط هو المهم.

مقاومة

مقاومة $R$ يمثل الجزء الحقيقي من المعاوقة؛ الجهاز ذو المعاوقة المقاومة البحتة لا يُظهر أي إزاحة طور بين الجهد والتيار.

$\ R=|Z|\cos {\theta }\quad$

المفاعلة

المفاعلة $X$ يمثل الجزء التخيلي من المعاوقة؛ ويُحدث عنصر ذو مفاعلة محدودة إزاحة طورية. $\theta$ بين الجهد الكهربائي عبره والتيار المار فيه.

$\ X=|Z|\sin {\theta }\quad$

يتميز العنصر التفاعلي البحت بأن الجهد الجيبي عبره يكون متعامدًا مع التيار الجيبي المار فيه. وهذا يعني أن العنصر يمتص الطاقة من الدائرة ثم يعيدها إليها بالتناوب. أما المفاعلة البحتة فلا تبدد أي طاقة.

المفاعلة السعوية

يتميز المكثف بمقاومة تفاعلية بحتة تتناسب عكسياً مع تردد الإشارة . ويتكون المكثف من موصلين يفصل بينهما عازل ، يُعرف أيضاً باسم المادة العازلة .

$X_{\mathsf {C}}={\frac {-1}{\omega \,C}}={\frac {-1}{2\pi f\,C}}~.$

تشير علامة السالب إلى أن الجزء التخيلي من المعاوقة سالب.

عند الترددات المنخفضة، يقترب المكثف من دائرة مفتوحة فلا يمر تيار من خلاله.

يؤدي تطبيق جهد مستمر عبر مكثف إلى تراكم الشحنة على أحد جانبيه؛ ويُعدّ المجال الكهربائي الناتج عن هذه الشحنة المتراكمة مصدرًا لمقاومة التيار. وعندما يتعادل الجهد الناتج عن الشحنة تمامًا مع الجهد المطبق، ينعدم التيار.

عند تشغيل المكثف بتيار متردد، فإنه يخزن شحنة محدودة فقط قبل أن يتغير فرق الجهد وتتلاشى الشحنة. وكلما زاد التردد، قلّت الشحنة المتراكمة وقلّت مقاومة التيار.

المفاعلة الحثية

المفاعلة الحثية $X_{L}$ يتناسب مع تردد الإشارة $f$ والحث $L$ .

$X_{L}=\omega L=2\pi fL\quad$

يتكون المحث من موصل ملفوف. ينص قانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي على القوة الدافعة الكهربائية العكسية. ${\mathcal {E}}$ (الجهد المعاكس للتيار) نتيجة لمعدل تغير كثافة التدفق المغناطيسي $B$ من خلال حلقة تيار.

${\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt}\quad$

بالنسبة للمحث الذي يتكون من ملف مع $N$ ينتج عن ذلك ما يلي:

${\mathcal {E}}=-N{d\Phi _{B} \over dt}\quad$

القوة الدافعة الكهربائية العكسية هي مصدر مقاومة تدفق التيار. التيار المستمر الثابت له معدل تغير صفري، ويعتبر المحث بمثابة دائرة قصر (عادةً ما يُصنع من مادة ذات مقاومة منخفضة ). أما التيار المتردد فله معدل تغير متوسط زمني يتناسب مع التردد، وهذا ما يسبب زيادة المفاعلة الحثية مع ازدياد التردد.

المفاعلة الكلية

تُعطى المفاعلة الكلية بالعلاقة التالية:

${X=X_{L}+X_{C}}$ ( $X_{C}$ (سلبي)

بحيث تكون المعاوقة الكلية

$\ Z=R+jX$

دمج المعاوقات

يمكن حساب المعاوقة الكلية للعديد من الشبكات البسيطة المكونة من عناصر باستخدام قواعد دمج المعاوقات في التوصيل على التوالي والتوازي. هذه القواعد مطابقة لتلك المستخدمة في دمج المقاومات، باستثناء أن الأرقام المستخدمة عادةً ما تكون أعدادًا مركبة . ومع ذلك، تتطلب الحالة العامة تحويلات معاوقة مكافئة بالإضافة إلى التوصيل على التوالي والتوازي.

سلسلة متصلة

بالنسبة للمكونات المتصلة على التوالي، يكون التيار المار عبر كل عنصر من عناصر الدائرة هو نفسه؛ المعاوقة الكلية هي مجموع معاوقات المكونات.

$\ Z_{\text{eq}}=Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{n}\quad$

أو بشكل صريح بعبارات واقعية وخيالية: $\ Z_{\text{eq}}=R+jX=(R_{1}+R_{2}+\cdots +R_{n})+j(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})\quad$

التوليف المتوازي

بالنسبة للمكونات المتصلة على التوازي، يكون الجهد عبر كل عنصر من عناصر الدائرة هو نفسه؛ نسبة التيارات عبر أي عنصرين هي النسبة العكسية لمعاوقاتهما.

وبالتالي فإن المعاوقة الكلية العكسية هي مجموع معكوسات معاوقات المكونات: ${\frac {1}{Z_{\text{eq}}}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{Z_{n}}}$

أو عندما يكون n = 2: ${\frac {1}{Z_{\text{eq}}}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}={\frac {Z_{1}+Z_{2}}{Z_{1}Z_{2}}}$ $\ Z_{\text{eq}}={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}$

المعاوقة المكافئة $Z_{\text{eq}}$ يمكن حسابها بدلالة المقاومة التسلسلية المكافئة $R_{\text{eq}}$ والمفاعلة $X_{\text{eq}}$ [ ¹⁸^]

${\begin{aligned}Z_{\text{eq}}&=R_{\text{eq}}+jX_{\text{eq}}\\R_{\text{eq}}&={\frac {(X_{1}R_{2}+X_{2}R_{1})(X_{1}+X_{2})+(R_{1}R_{2}-X_{1}X_{2})(R_{1}+R_{2})}{(R_{1}+R_{2})^{2}+(X_{1}+X_{2})^{2}}}\\X_{\text{eq}}&={\frac {(X_{1}R_{2}+X_{2}R_{1})(R_{1}+R_{2})-(R_{1}R_{2}-X_{1}X_{2})(X_{1}+X_{2})}{(R_{1}+R_{2})^{2}+(X_{1}+X_{2})^{2}}}\end{aligned}}$

قياس

يُعد قياس معاوقة الأجهزة وخطوط النقل مشكلة عملية في تكنولوجيا الراديو وغيرها من المجالات. يمكن إجراء قياسات المعاوقة عند تردد واحد، أو قد يكون من المهم دراسة تغير معاوقة الجهاز عبر نطاق من الترددات. يمكن قياس المعاوقة أو عرضها مباشرةً بالأوم، أو عرض قيم أخرى متعلقة بها؛ على سبيل المثال، في هوائي الراديو ، قد تكون نسبة الموجة الموقوفة أو معامل الانعكاس أكثر فائدة من المعاوقة وحدها. يتطلب قياس المعاوقة قياس مقدار الجهد والتيار، وفرق الطور بينهما. غالبًا ما تُقاس المعاوقة باستخدام طرق "الجسر" ، المشابهة لجسر ويتستون للتيار المستمر ؛ حيث تُضبط معاوقة مرجعية معايرة لموازنة تأثير معاوقة الجهاز قيد الاختبار. قد يتطلب قياس المعاوقة في أجهزة إلكترونيات الطاقة القياس المتزامن وتزويد الجهاز العامل بالطاقة.

يمكن حساب معاوقة الجهاز بتقسيم الجهد والتيار إلى معادلة مركبة. ويمكن حسابها بتطبيق جهد جيبي على الجهاز موصولاً على التوالي مع مقاومة، ثم قياس الجهد عبر المقاومة وعبر الجهاز. ويُتيح إجراء هذا القياس بتغيير ترددات الإشارة المطبقة الحصول على طور المعاوقة وقيمتها. ^{[ 19 ]}

يمكن استخدام استجابة النبضة بالتزامن مع تحويل فورييه السريع (FFT) لقياس المعاوقة الكهربائية لمختلف الأجهزة الكهربائية بسرعة. ^{[ 19 ]}

يقيس مقياس LCR محاثة (L) وسعة (C) ومقاومة (R) المكون؛ ومن هذه القيم، يمكن حساب المعاوقة عند أي تردد.

مثال

لنفترض وجود دائرة رنين LC متوازية . المعاوقة المركبة للدائرة هي $Z(\omega )={\frac {j\omega L}{1-\omega ^{2}LC}}.$ يتضح على الفور أن قيمة ${\textstyle {1 \over |Z|}}$ تكون القيمة الدنيا (تساوي صفرًا في هذه الحالة) كلما $\omega ^{2}LC=1.$ لذلك، فإن التردد الزاوي للرنين الأساسي هو $\omega ={1 \over {\sqrt {LC}}}.$

المعاوقة المتغيرة

بشكل عام، لا تتغير كل من المعاوقة والموصلية مع الزمن، لأنهما مُعرّفتان للدوال الأسية المركبة حيث $-\infty < t < +\infty$ . إذا تغيرت نسبة الجهد إلى التيار في الدالة الأسية المركبة مع الزمن أو السعة، فلا يمكن وصف عنصر الدائرة باستخدام مجال التردد. مع ذلك، قد تُظهر العديد من المكونات والأنظمة (مثل المكثفات المتغيرة المستخدمة في موالفات الراديو ) نسب جهد إلى تيار غير خطية أو متغيرة مع الزمن، والتي تبدو خطية ثابتة مع الزمن (LTI) للإشارات الصغيرة وضمن فترات رصد قصيرة، لذا يمكن وصفها تقريبًا كما لو كانت ذات معاوقة متغيرة مع الزمن. هذا الوصف تقريبي: فخلال تقلبات الإشارة الكبيرة أو فترات الرصد الواسعة، لن تكون علاقة الجهد بالتيار خطية ثابتة مع الزمن، ولا يمكن وصفها بالمعاوقة.

انظر أيضاً

تحليل المعاوقة البيولوجية الكهربائية – طريقة لتقدير تكوين الجسم
المعاوقة المميزة - خاصية من خصائص الدائرة الكهربائية
الخصائص الكهربائية لمكبرات الصوت الديناميكية
مقاومة عالية – عقدة في دائرة كهربائية تحد من تدفق التيار
المعاوقة - مقياس مشترك للممانعة والقبول
محلل المعاوقة - نوع من معدات الاختبار الإلكترونية
جسر المعاوقة - يقيس الحمل جهد المصدر دون التأثير عليه
تخطيط القلب الكهربائي بالمعاوقة
التحكم في المعاوقة – التحكم في قوة خرج الآلية استجابةً لحركة الإدخال
مطابقة المعاوقة - ضبط معاوقات الإدخال/الإخراج لدائرة كهربائية لغرض معين
علم الأحياء الدقيقة القائم على المعاوقة الكهربائية – قياس الكثافة الميكروبية في العينة من خلال خصائصها الكهربائية
محول المعاوقة السالبة – دائرة فعالة تقوم بحقن الطاقة في الدوائر
مسافة المقاومة – مقياس بياني للمقاومة الكهربائية بين العقد
معاوقة خط النقل
استجابة عازلة عالمية

مراجع

↑ سلورزبيرغ؛ أوسترهيلد (1950). أساسيات الكهرباء للراديو والتلفزيون . الطبعة الثانية. ماكجرو هيل. الصفحات 360-362
↑ كاليجارو، ل. (2012). المعاوقة الكهربائية: المبادئ والقياس والتطبيقات. مطبعة سي آر سي، ص 5
↑ كاليجارو، القسم 1.6
↑ كلاين، رونالد ر.، شتاينمتز: مهندس واشتراكي ، مطبعة جامعة جونز هوبكنز، 1992، رقم ISBN 9780801842986، ص 78.
↑ مجلة العلوم ، صفحة 18، 1888
↑ أوليفر هيفسايد، الكهربائي ، ص 212، 23 يوليو 1886، أعيد طبعه بعنوان أوراق كهربائية، المجلد الثاني ، ص 64، مكتبة AMS، رقم ISBN 0-8218-3465-7
↑ كلاين، ص 79.
↑ كلاين، ص 81-2.
↑ كينلي، آرثر، "المقاومة" ، معاملات المعهد الأمريكي للمهندسين الكهربائيين ، المجلد 10، الصفحات 175-232، 18 أبريل 1893.
↑ كلاين، ص 85.
↑ كلاين، ص 90-1.
1 2 غروس، تشارلز أ. (2012). أساسيات الهندسة الكهربائية . ثاديوس آدم روبيل. بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. ISBN 978-1-4398-9807-9. OCLC 863646311 .
↑ المعاوقة المركبة ، الفيزياء الفائقة
↑ هورويتز، بول؛ هيل، وينفيلد (1989). "1" . فن الإلكترونيات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 31-32 . ISBN 978-0-521-37095-0.
↑ قانون أوم للتيار المتردد ، الفيزياء الفائقة
↑ هورويتز، بول؛ هيل، وينفيلد (1989). "1" . فن الإلكترونيات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 32-33 . ISBN 978-0-521-37095-0.
↑ ألكسندر، تشارلز؛ ساديكو، ماثيو (2006). أساسيات الدوائر الكهربائية (3، طبعة منقحة). ماكجرو هيل. ص 387-389 . ISBN 978-0-07-330115-0.
↑ تعابير المعاوقة المتوازية ، الفيزياء الفائقة
1 2 جورج لويس الابن؛ جورج ك. لويس الأب وويليام أولبريشت (أغسطس 2008). "دائرة قياس مطيافية المعاوقة الكهربائية واسعة النطاق فعالة من حيث التكلفة وتحليل الإشارة للمواد الكهروإجهادية ومحولات الطاقة فوق الصوتية" . علم وتكنولوجيا القياس . 19 (10) 105102. Bibcode : 2008MeScT..19j5102L . doi : 10.1088/0957-0233/19/10/105102 . PMC 2600501. PMID 19081773 .

كلاين، رونالد ر.، شتاينمتز: مهندس واشتراكي ، مطبعة بلانكيت ليك، 2019 (طبعة إلكترونية معاد طباعتها من مطبعة جامعة جونز هوبكنز، 1992، رقم ISBN) 9780801842986).

روابط خارجية

ECE 209: مراجعة الدوائر كنظم LTI مؤرشفة في 2009-03-19 في Wayback Machine – شرح موجز لتحليل الدوائر في مجال لابلاس؛ يتضمن تعريفًا للممانعة.

[1] سلورزبيرغ؛ أوسترهيلد (1950). أساسيات الكهرباء للراديو والتلفزيون . الطبعة الثانية. ماكجرو هيل. الصفحات 360-362

[2] كاليجارو، ل. (2012). المعاوقة الكهربائية: المبادئ والقياس والتطبيقات. مطبعة سي آر سي، ص 5

[3] كاليجارو، القسم 1.6

[4] كلاين، رونالد ر.، شتاينمتز: مهندس واشتراكي ، مطبعة جامعة جونز هوبكنز، 1992، رقم ISBN 9780801842986، ص 78.

[5] مجلة العلوم ، صفحة 18، 1888

[6] أوليفر هيفسايد، الكهربائي ، ص 212، 23 يوليو 1886، أعيد طبعه بعنوان أوراق كهربائية، المجلد الثاني ، ص 64، مكتبة AMS، رقم ISBN 0-8218-3465-7

[7] كلاين، ص 79.

[8] كلاين، ص 81-2.

[9] كينلي، آرثر، "المقاومة" ، معاملات المعهد الأمريكي للمهندسين الكهربائيين ، المجلد 10، الصفحات 175-232، 18 أبريل 1893.

[10] كلاين، ص 85.

[11] كلاين، ص 90-1.

[:0-12] 1 2 غروس، تشارلز أ. (2012). أساسيات الهندسة الكهربائية . ثاديوس آدم روبيل. بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. ISBN 978-1-4398-9807-9. OCLC 863646311 .

[13] المعاوقة المركبة ، الفيزياء الفائقة

[HH2-14] هورويتز، بول؛ هيل، وينفيلد (1989). "1" . فن الإلكترونيات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 31-32 . ISBN 978-0-521-37095-0.

[15] قانون أوم للتيار المتردد ، الفيزياء الفائقة

[HH1-16] هورويتز، بول؛ هيل، وينفيلد (1989). "1" . فن الإلكترونيات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 32-33 . ISBN 978-0-521-37095-0.

[17] ألكسندر، تشارلز؛ ساديكو، ماثيو (2006). أساسيات الدوائر الكهربائية (3، طبعة منقحة). ماكجرو هيل. ص 387-389 . ISBN 978-0-07-330115-0.

[18] تعابير المعاوقة المتوازية ، الفيزياء الفائقة

[LewisJr-19] 1 2 جورج لويس الابن؛ جورج ك. لويس الأب وويليام أولبريشت (أغسطس 2008). "دائرة قياس مطيافية المعاوقة الكهربائية واسعة النطاق فعالة من حيث التكلفة وتحليل الإشارة للمواد الكهروإجهادية ومحولات الطاقة فوق الصوتية" . علم وتكنولوجيا القياس . 19 (10) 105102. Bibcode : 2008MeScT..19j5102L . doi : 10.1088/0957-0233/19/10/105102 . PMC 2600501. PMID 19081773 .

[

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[

[

[

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

13

[

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

18

[ 19 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗