نظرية تيتشمارش للالتفاف

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 32 صور
الموسوعة الحرة

تصف نظرية تيتشمارش للالتفاف خصائص مجال التفاف دالتين . وقد أثبتها إدوارد تشارلز تيتشمارش في عام 1926. [ 1 ]

نظرية تيتشمارش للالتفاف

لوφ(ت){\textstyle \varphi (t)\,}وψ(ت){\textstyle \psi (t)}هي دوال قابلة للتكامل، بحيث

φ*ψ=∫0xφ(ت)ψ(x-ت)دت=0{\displaystyle \varphi *\psi =\int _{0}^{x}\varphi (t)\psi (xt)\,dt=0}

في كل مكان تقريبًا خلال الفترة الزمنية0<x<κ{\displaystyle 0<x<\kappa \,}إذن، يوجدλ≥0{\displaystyle \lambda \geq 0}وμ≥0{\displaystyle \mu \geq 0}مُرضٍλ+μ≥κ{\displaystyle \lambda +\mu \geq \kappa }بحيثφ(ت)=0{\displaystyle \varphi (t)=0\,}في كل مكان تقريبًا في0<ت<λ{\displaystyle 0<t<\lambda }وψ(ت)=0{\displaystyle \psi (t)=0\,}في كل مكان تقريبًا في0<ت<μ.{\displaystyle 0<t<\mu .}

وكنتيجة لذلك، إذا كان التكامل أعلاه يساوي صفرًا لجميعx>0،{\textstyle x>0,}ثم إماφ{\textstyle \varphi \,}أوψ{\textstyle \psi }تكون قيمتها صفرًا تقريبًا في كل مكان في الفترة[0،+∞).{\textstyle [0,+\infty ).}وبالتالي فإن عملية الالتفاف بين دالتين على[0،+∞){\textstyle [0,+\infty )}لا يمكن أن تكون الدالة صفرًا تمامًا إلا إذا كانت إحدى الدالتين على الأقل صفرًا تمامًا.

وكنتيجة أخرى، إذاφ*ψ(x)=0{\displaystyle \varphi *\psi (x)=0}للجميعx∈[0،κ]{\displaystyle x\in [0,\kappa ]}وإحدى الوظائفφ{\displaystyle \varphi }أوψ{\displaystyle \psi }إذا لم تكن الدالة الأخرى معدومة تقريبًا في هذه الفترة، فيجب أن تكون معدومة تقريبًا في كل مكان.[0،κ]{\displaystyle [0,\kappa ]}.

يمكن إعادة صياغة النظرية بالشكل التالي:

يتركφ،ψ∈ل1(R){\displaystyle \varphi ,\psi \in L^{1}(\mathbb {R} )}. ثممعلوماتمكمل غذائي⁡φ*ψ=معلوماتمكمل غذائي⁡φ+معلوماتمكمل غذائي⁡ψ{\displaystyle \inf \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\inf \operatorname {supp} \varphi +\inf \operatorname {supp} \psi }إذا كان الطرف الأيسر محدودًا. وبالمثل،رشفةمكمل غذائي⁡φ*ψ=رشفةمكمل غذائي⁡φ+رشفةمكمل غذائي⁡ψ{\displaystyle \sup \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\sup \operatorname {supp} \varphi +\sup \operatorname {supp} \psi }إذا كان الجانب الأيمن محدودًا.

فوق،مكمل غذائي{\displaystyle \operatorname {supp} }يشير إلى نطاق الدالة f (أي إغلاق متممة f −1 (0)) ومعلومات{\displaystyle \inf }ورشفة{\displaystyle \sup }يرمز إلى الحد الأدنى والحد الأعلى . تنص هذه النظرية أساسًا على أن التضمين المعروفمكمل غذائي⁡φ*ψ⊂مكمل غذائي⁡φ+مكمل غذائي⁡ψ{\displaystyle \operatorname {supp} \varphi \ast \psi \subset \operatorname {supp} \varphi +\operatorname {supp} \psi }حاد عند الحدود.

تم إثبات التعميم ذي الأبعاد الأعلى من حيث الغلاف المحدب للدعامات بواسطة جاك لويس ليونز في عام 1951: [ 2 ]

لوφ،ψ∈هـ′(Rن){\displaystyle \varphi ,\psi \in {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})}، ثمج.ح.⁡مكمل غذائي⁡φ*ψ=ج.ح.⁡مكمل غذائي⁡φ+ج.ح.⁡مكمل غذائي⁡ψ{\displaystyle \operatorname {ch} \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\operatorname {ch} \operatorname {supp} \varphi +\operatorname {ch} \operatorname {supp} \psi }

فوق،ج.ح.{\displaystyle \operatorname {ch} }يرمز إلى الغلاف المحدب للمجموعة وهـ′(Rن){\displaystyle {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})}يشير إلى فضاء التوزيعات ذات الدعم المضغوط .

يستخدم البرهان الأصلي لتيتشمارش تقنيات المتغيرات المركبة ، ويستند إلى مبدأ فراغمن-ليندلوف ، ومتباينة جنسن ، ونظرية كارلمان ، ونظرية فاليرون . وقد أُثبتت النظرية عدة مرات لاحقة، عادةً باستخدام طرق المتغيرات الحقيقية [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] أو طرق المتغيرات المركبة [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] . وقد صرّح جيان كارلو روتا بأنه لم يُقدّم أي برهان حتى الآن يتناول البنية التوافقية الكامنة وراء النظرية، والتي يعتقد أنها ضرورية لفهمها فهمًا كاملًا. [ 9 ]

مراجع

  1. ↑ تيتشمارش، إي سي (1926). "أصفار بعض الدوال التكاملية" . وقائع الجمعية الرياضية بلندن . s2-25 (1): 283–302 . doi : 10.1112/plms/s2-25.1.283 .
  2. ^ ليونز ، جاك لويس (1951). "يدعم تكوين المنتجات". يحاسبنا . 232 (17): 1530- 1532.
  3. ↑ دوس، رؤوف (1988). "برهان أولي لنظرية تيتشمارش في الالتفاف" (ملف PDF) . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 104 (1).
  4. ↑ كاليش، جي كي (1962-10-01). "برهان تحليلي وظيفي لنظرية تيتشمارش حول الالتفاف" . مجلة التحليل الرياضي والتطبيقات . 5 (2): 176-183 . doi : 10.1016/S0022-247X(62)80002-X . ISSN 0022-247X . 
  5. ↑ ميكوسينسكي، ج. (1953). "برهان جديد لنظرية تيتشمارش حول الالتفاف" . ستوديا ماثيماتيكا . 13 (1): 56-58 . doi : 10.4064/sm-13-1-56-58 . ISSN 0039-3223 . 
  6. ↑ كروم، م.م. (1941). "حول محصلة دالتين" . المجلة الفصلية للرياضيات . os-12 (1): 108–111 . doi : 10.1093/qmath/os-12.1.108 . ISSN 0033-5606 . 
  7. ^ دوفريسنوي، جاك (1947). "Sur le produit de تكوين deux fonctions". يحاسبنا . 225 : 857 – 859.
  8. ↑ بواس، رالف ب. (1954). الدوال الكاملة . نيويورك: دار النشر الأكاديمية. ISBN 0-12-108150-8. OCLC 847696 . {{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  9. ^ روتا ، جيان كارلو (1998/06/01). "عشر مسائل في الرياضيات لن أتمكن من حلها أبدًا" . Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (باللغة الألمانية). 6 (2): 45-52 . دوى : 10.1515/dmvm-1998-0215 ​​. ISSN 0942-5977 . S2CID 120569917 .