نشاط محدد

يُعبّر عن النشاط الإشعاعي بمعدل اضمحلال نظير مشع معين بثابت اضمحلال λ وعدد الذرات N :

$${\displaystyle -{\frac {dN}{dt}}=\lambda N.}$$

يتم وصف الحل التكاملي عن طريق التضاؤل ​​الأسي :

$${\displaystyle N=N_{0}e^{-\lambda t},}$$

حيث N ₀ هي الكمية الأولية للذرات عند الزمن t = 0.

يُعرَّف نصف العمر t _1/2 بأنه المدة الزمنية اللازمة لنصف كمية معينة من الذرات المشعة للخضوع للتحلل الإشعاعي:

$${\displaystyle {\frac {N_{0}}{2}}=N_{0}e^{-\lambda t_{1/2}}.}$$

بأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين، يُعطى نصف العمر بالصيغة التالية:

$${\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}.}$$

وعلى العكس من ذلك، يمكن اشتقاق ثابت الاضمحلال λ من نصف العمر t _1/2 كما يلي

$${\displaystyle \lambda ={\frac {\ln 2}{t_{1/2}}}.}$$

كتلة النظير المشع تُعطى بالعلاقة التالية:

$${\displaystyle {m}={\frac {N}{N_{\text{A}}}}[{\text{mol}}]\times {M}[{\text{g/mol}}],}$$

حيث M هي الكتلة المولية للنظير المشع، و NA هو ثابت أفوجادرو . عمليًا، يكون العدد الكتلي A للنظير المشع ضمن هامش خطأ لا يتجاوز جزءًا من 1 _% من الكتلة المولية المُعبر عنها بوحدة غرام/مول، ويمكن استخدامه كقيمة تقريبية. 

يُعرَّف النشاط الإشعاعي النوعي (α) بأنه النشاط الإشعاعي لكل وحدة كتلة من النظير المشع:

$${\displaystyle a[{\text{Bq/g}}]={\frac {\lambda N}{MN/N_{\text{A}}}}={\frac {\lambda N_{\text{A}}}{M}}.}$$

وبالتالي، يمكن وصف النشاط الإشعاعي المحدد أيضًا بواسطة

$${\displaystyle a={\frac {N_{\text{A}}\ln 2}{t_{1/2}\times M}}.}$$

تُبسط هذه المعادلة إلى

$${\displaystyle a[{\text{Bq/g}}]\approx {\frac {4.17\times 10^{23}[{\text{mol}}^{-1}]}{t_{1/2}[{\text{s}}]\times M[{\text{g/mol}}]}}.}$$

عندما تكون وحدة نصف العمر بالسنوات بدلاً من الثواني:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a[{\text{Bq/g}}]&={\frac {4.17\times 10^{23}[{\text{mol}}^{-1}]}{t_{1/2}[{\text{year}}]\times 365\times 24\times 60\times 60[{\text{s/year}}]\times M}}\\[1ex]&\approx {\frac {1.32\times 10^{16}[{\text{mol}}^{-1}{\cdot }{\text{s}}^{-1}{\cdot }{\text{year}}]}{t_{1/2}[{\text{year}}]\times M[{\text{g/mol}}]}}.\end{aligned}}}$$

يمكن استخدام النشاط النوعي المقاس تجريبياً لحساب نصف عمر النظير المشع.

حيث يرتبط ثابت الاضمحلال λ بالنشاط الإشعاعي المحدد a بالمعادلة التالية:

$${\displaystyle \lambda ={\frac {a\times M}{N_{\text{A}}}}.}$$

لذلك، يمكن وصف نصف العمر أيضًا بواسطة

$${\displaystyle t_{1/2}={\frac {N_{\text{A}}\ln 2}{a\times M}}.}$$

بالنسبة لكتلة معينة m (بالجرام) من نظير ذي كتلة ذرية m _a (بالجرام مول ⁻¹ ) ونصف عمر t 1/2 ₍ بالثواني)، يمكن حساب النشاط الإشعاعي باستخدام:

$${\displaystyle A_{\text{Bq}}={\frac {m}{m_{\text{a}}}}N_{\text{A}}{\frac {\ln 2}{t_{1/2}}}}$$

مع${\displaystyle N_{\text{A}}}$=6.022 140 76 × 10 ²³  mol ⁻¹ ، ثابت أفوجادرو .

منذ${\displaystyle m/m_{\text{a}}}$هو عدد المولات (${\displaystyle n}$كمية النشاط الإشعاعي${\displaystyle A}$يمكن حسابها بواسطة:

$${\displaystyle A_{\text{Bq}}=nN_{\text{A}}{\frac {\ln 2}{t_{1/2}}}}$$

فعلى سبيل المثال، يحتوي كل غرام من البوتاسيوم في المتوسط ​​على 117  ميكروغرام من نظير البوتاسيوم ^-40 (جميع النظائر الأخرى الموجودة في الطبيعة مستقرة) والذي يبلغ نصف عمره _1/21.277 × 10⁹ سنة  =^​4.030 × 10 ¹⁶  ثانية ، ^{[ 5 ]} وله كتلة ذرية تبلغ 39.964  جم/مول، ^{[ 6 ]} لذا فإن كمية النشاط الإشعاعي المرتبطة بجرام واحد من البوتاسيوم هي 30  بيكريل.