كثيرات حدود توشارد

القيمة عند 1 لكثير الحدود من نوع توشارد رقم n هي عدد بيل رقم n ، أي عدد تقسيمات مجموعة بحجم n :

${\displaystyle T_{n}(1)=B_{n}.}$

إذا كان X متغيرًا عشوائيًا يتبع توزيع بواسون بقيمة متوقعة λ، فإن عزمه النوني هو E( Xn ⁾ = Tn (λ)، _مما يؤدي إلى التعريف التالي:

${\displaystyle T_{n}(x)=e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}}.}$

باستخدام هذه الحقيقة، يمكن إثبات بسرعة أن هذه المتتالية متعددة الحدود من النوع ذي الحدين ، أي أنها تحقق متتالية المتطابقات التالية:

${\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(\lambda )T_{nk}(\mu ).}$

تشكل كثيرات حدود توشارد التسلسل الوحيد لكثيرات الحدود من النوع ذي الحدين حيث يكون معامل x مساوياً لـ 1 في كل كثيرة حدود.

تحقق كثيرات حدود توشارد الصيغة الشبيهة بصيغة رودريغز:

${\displaystyle T_{n}\left(e^{x}\right)=e^{-e^{x}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\;e^{e^{x}}.}$

تحقق كثيرات حدود توشارد علاقة التكرار

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(T_{n}(x)+T'_{n}(x)\right)}$

و

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).}$

في حالة x = 1، فإن هذا يختزل إلى صيغة التكرار لأعداد بيل .

إن تعميم كل من هذه الصيغة والتعريف هو تعميم لصيغة سبيفي ^{[ 6 ].}

$${\displaystyle T_{n+m}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}\sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}k^{mj}T_{j}(x)}$$

باستخدام الترميز الظلي T ⁿ ( x )= T _n ( x )، تصبح هذه الصيغ كما يلي:

${\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\left(T(\lambda )+T(\mu )\right)^{n},}$

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+T(x)\right)^{n}.}$

الدالة المولدة لكثيرات حدود توشارد هي

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{x\left(e^{t}-1\right)},}$

وهو ما يتوافق مع الدالة المولدة لأعداد ستيرلينغ من النوع الثاني .

كثيرات الحدود Touchard لها تمثيل كفافي متكامل :

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{x({e^{t}}-1)}}{t^{n+1}}}\,dt.}$

جميع أصفار كثيرات حدود توشارد حقيقية وسالبة. وقد لاحظ هذه الحقيقة إل إتش هاربر في عام 1967. ^{[ 7 ]}

القيمة المطلقة للصفر الأيسر محدودة من الأعلى بواسطة ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{n}}{\binom {n}{2}}+{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {{\binom {n}{2}}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}\left({\binom {n}{3}}+3{\binom {n}{4}}\right)}},}$

على الرغم من أنه يُفترض أن الصفر الأيسر ينمو خطيًا مع الدليل n .

مقياس مالر${\displaystyle M(T_{n})}$يمكن تقدير كثيرات حدود توشارد على النحو التالي: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\frac {\lbrace \textstyle {n \atop \Omega _{n}}\rbrace }{\binom {n}{\Omega _{n}}}}\leq M(T_{n})\leq {\sqrt {n+1}}\left\{{n \atop K_{n}}\right\},}$

أين${\displaystyle \Omega _{n}}$و${\displaystyle K_{n}}$هي أصغر مؤشرين k من بين المؤشرين k الأقصى بحيث ${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace /{\binom {n}{k}}}$و${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace }$ وهي القيم القصوى، على التوالي.