كثيرات حدود بيل

كثيرات حدود بيل الأسية الجزئية أو غير الكاملة هي مصفوفة مثلثية من كثيرات الحدود معطاة بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})&=\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}}\\&=n!\sum \prod _{i=1}^{n-k+1}{\frac {x_{i}^{j_{i}}}{(i!)^{j_{i}}j_{i}!}},\end{aligned}}}$

حيث يتم حساب المجموع على جميع المتتاليات j ₁ ، j ₂ ، j ₃ ، ... ، j _{n − k +1} من الأعداد الصحيحة غير السالبة بحيث يتم استيفاء هذين الشرطين:

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}$

${\displaystyle j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}$

المجموع

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\sum _{k=0}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})\\&=n!\sum _{1j_{1}+2j_{2}+\ldots =n}\prod _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{j_{i}}}{(i!)^{j_{i}}j_{i}!}}\end{aligned}}}$

يُطلق عليه اسم متعددة الحدود الأسية الكاملة من الرتبة n ^من نوع بيل .

وبالمثل، تُعرَّف متعددة الحدود الجزئية العادية لبيل بواسطة

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum {\frac {k!}{j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}}x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},}$

حيث يمتد المجموع على جميع المتتاليات j ₁ ، j ₂ ، j ₃ ، ... ، j _{n − k +1} من الأعداد الصحيحة غير السالبة بحيث

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}$

${\displaystyle j_{1}+2j_{2}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}$

بفضل الشرط الأول المتعلق بالمؤشرات، يمكننا إعادة كتابة الصيغة على النحو التالي:

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum {\binom {k}{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n-k+1}}}x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},}$

حيث استخدمنا معامل متعدد الحدود .

يمكن التعبير عن كثيرات حدود بيل العادية بدلالة كثيرات حدود بيل الأسية:

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})={\frac {k!}{n!}}B_{n,k}(1!\cdot x_{1},2!\cdot x_{2},\ldots ,(n-k+1)!\cdot x_{n-k+1}).}$

بشكل عام، تشير متعددة حدود بيل إلى متعددة حدود بيل الأسية، ما لم يُنص صراحة على خلاف ذلك.

على سبيل المثال، لدينا

${\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}}$

لأن طرق تقسيم مجموعة من 6 عناصر إلى كتلتين هي

ست طرق لتقسيم مجموعة من 6 عناصر إلى 5  +  1،

15 طريقة لتقسيم مجموعة من 6 عناصر إلى 4  +  2، و

10 طرق لتقسيم مجموعة من 6 عناصر إلى 3  +  3.

بصورة مماثلة،

${\displaystyle B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}}$

لأن طرق تقسيم مجموعة من 6 عناصر إلى 3 كتل هي

15 طريقة لتقسيم مجموعة من 6 عناصر إلى 4  +  1  +  1،

60 طريقة لتقسيم مجموعة من 6 عناصر إلى 3  +  2  +  1، و

15 طريقة لتقسيم مجموعة من 6 عناصر إلى 2  +  2  +  2.

تحتوي كثيرات الحدود الجزئية الأسية من نوع بيل على دالة توليد ثنائية المتغيرات التالية :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (t,u)&=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}}u^{k}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}\sum _{k=0}^{n}u^{k}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}).\end{aligned}}}$

وبعبارة أخرى، بنفس المقدار، عن طريق توسيع المتسلسلة للقوة k :

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}\left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}},\qquad k=0,1,2,\ldots }$

الدالة المولدة لكثير الحدود الأسي بيل معطاة${\displaystyle \Phi (t,1)}$منذ

${\displaystyle \Phi (t,1)=\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

وبالمثل، فإن الدالة المولدة لكثير الحدود الجزئي العادي لبيل هي

${\displaystyle {\hat {\Phi }}(t,u)=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}{\frac {u^{k}}{k!}}.}$

على وجه الخصوص، من خلال أخذ معامل${\displaystyle u^{k}}$لدينا:

${\displaystyle \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}.}$

انظر أيضًا تحويلات الدوال المولدة لكثيرات حدود بيل ، وتوسعات الدوال المولدة لتركيبات الدوال المولدة للمتتاليات، وقوى ، ولوغاريتمات ، وأسس الدوال المولدة للمتتاليات. كل صيغة من هذه الصيغ مذكورة في الأقسام ذات الصلة من كتاب Comtet. ^{[ 1 ]}

تحقق كثيرات حدود بيل الكاملة علاقة تكرارية :

${\displaystyle B_{n+1}(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})x_{i+1}}$

بالقيمة الأولية${\displaystyle B_{0}=1}$.

يمكن أيضًا حساب كثيرات حدود بيل الجزئية بكفاءة عن طريق علاقة تكرارية:

${\displaystyle B_{n+1,k+1}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum _{i=0}^{n-k}{\binom {n}{i}}x_{i+1}B_{n-i,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k-i+1})}$

أين

${\displaystyle B_{0,0}=1;}$

${\displaystyle B_{n,0}=0{\text{ for }}n\geq 1;}$

${\displaystyle B_{0,k}=0{\text{ for }}k\geq 1.}$

بالإضافة إلى ذلك: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle B_{n,k_{1}+k_{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n-k_{1}-k_{2}+1})={\frac {k_{1}!\,k_{2}!}{(k_{1}+k_{2})!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}B_{i,k_{1}}(x_{1},\ldots ,x_{i-k_{1}+1})B_{n-i,k_{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n-i-k_{2}+1}).}$

متى${\displaystyle 1\leq a<n}$،

${\displaystyle B_{n,n-a}(x_{1},\ldots ,x_{a+1})=\sum _{j=a+1}^{2a}{\frac {j!}{a!}}{\binom {n}{j}}x_{1}^{n-j}B_{a,j-a}{\Bigl (}{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\ldots ,{\frac {x_{2(a+1)-j}}{2(a+1)-j}}{\Bigr )}.}$

تحقق كثيرات حدود بيل الكاملة أيضًا صيغة التفاضل التكراري التالية: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n-1}}\left[\sum _{i=2}^{n}\right.&\sum _{j=1}^{i-1}(i-1){\binom {i-2}{j-1}}x_{j}x_{i-j}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {x_{i+1}}{\binom {i}{j}}}{\frac {\partial ^{2}B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{j}\partial x_{i-j}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}x_{i}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\right].\end{aligned}}}$

يتم إعطاء المشتقات الجزئية لكثيرات حدود بيل الكاملة بواسطة ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial B_{n}}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\binom {n}{i}}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i}).}$

وبالمثل، تُعطى المشتقات الجزئية لكثيرات حدود بيل الجزئية بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\frac {\partial B_{n,k}}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})={\binom {n}{i}}B_{n-i,k-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-i-k+2}).}$

إذا كانت وسائط كثيرات حدود بيل دوالًا أحادية البعد، فيمكن استخدام قاعدة السلسلة للحصول على

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(B_{n,k}(a_{1}(x),\cdots ,a_{n-k+1}(x))\right)=\sum _{i=1}^{n-k+1}{\binom {n}{i}}a_{i}'(x)B_{n-i,k-1}(a_{1}(x),\cdots ,a_{n-i-k+2}(x)).}$

قيمة متعددة حدود بيل B _{n , k} ( x ₁ , x ₂ ,...) على متتالية المضروب تساوي عددًا غير موقّع من نوع ستيرلينغ الأول :

${\displaystyle B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=c(n,k)=|s(n,k)|=\left[{n \atop k}\right].}$

مجموع هذه القيم يعطي قيمة متعددة حدود بيل الكاملة على متتالية المضروب:

${\displaystyle B_{n}(0!,1!,\dots ,(n-1)!)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=\sum _{k=1}^{n}\left[{n \atop k}\right]=n!.}$

قيمة متعددة حدود بيل B _{n , k} ( x ₁ , x ₂ ,...) على سلسلة الواحدات تساوي عدد ستيرلينغ من النوع الثاني :

${\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}.}$

مجموع هذه القيم يعطي قيمة متعددة حدود بيل الكاملة على سلسلة الآحاد:

${\displaystyle B_{n}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\right\},}$

وهو رقم الجرس رقم ن .

${\displaystyle B_{n,k}(1!,2!,\ldots ,(n-k+1)!)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}=L(n,k)}$

مما يعطي رقم لاه .

متعددة حدود توشارد${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\cdot x^{k}}$يمكن التعبير عنها كقيمة لكثير الحدود الكامل لـ Bell على جميع الوسائط x :

${\displaystyle T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x).}$

إذا عرّفنا

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}),}$

ثم لدينا العلاقة العكسية

${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(y_{1},\ldots ,y_{n-k+1}).}$

وبشكل أعم، ^{[ 5 ] [ 6 ]} بالنظر إلى دالة معينة${\displaystyle f}$قبول معكوس${\displaystyle g=f^{-1}}$،

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(a)\,B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})\quad \Leftrightarrow \quad x_{n}=\sum _{k=0}^{n}g^{(k)}{\big (}f(a){\big )}\,B_{n,k}(y_{1},\ldots ,y_{n-k+1}).}$

يمكن التعبير عن متعددة حدود بيل الكاملة على شكل محددات :

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n-1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\-1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}}$

و

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&{\frac {x_{3}}{2!}}&{\frac {x_{4}}{3!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n}}{(n-1)!}}\\\\-1&{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&{\frac {x_{3}}{2!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-1}}{(n-2)!}}\\\\0&-2&{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-2}}{(n-3)!}}\\\\0&0&-3&{\frac {x_{1}}{0!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-3}}{(n-4)!}}\\\\0&0&0&-4&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-4}}{(n-5)!}}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &-(n-1)&{\frac {x_{1}}{0!}}\end{bmatrix}}.}$

بالنسبة للمتتاليات x _n , y _n ، حيث n = 1, 2, ...، عرّف عملية الالتفاف كما يلي:

${\displaystyle (x{\mathbin {\diamondsuit }}y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}.}$

حدود الجمع هي 1 و n  −  1، وليست 0 و n .

يترك${\displaystyle x_{n}^{k\diamondsuit }\,}$ليكن الحد النوني للمتتالية

${\displaystyle \displaystyle \underbrace {x{\mathbin {\diamondsuit }}\cdots {\mathbin {\diamondsuit }}x} _{k{\text{ factors}}}.\,}$

ثم ^{[ 2 ]}

${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.\,}$

على سبيل المثال، دعونا نحسب${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})}$لدينا

${\displaystyle x=(x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}\ ,\ x_{4}\ ,\dots )}$

${\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\ ,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2}\ ,\dots )}$

${\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0\ ,\ 0\ ,\ 6x_{1}^{3}\ ,\ 36x_{1}^{2}x_{2}\ ,\dots )}$

وبالتالي،

${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x)_{4}}{3!}}=6x_{1}^{2}x_{2}.}$

يمكن صياغة صيغة فا دي برونو بدلالة كثيرات حدود بيل على النحو التالي:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}$

وبالمثل، يمكن صياغة صيغة فا دي برونو على شكل متسلسلة قوى باستخدام كثيرات حدود بيل كما يلي. لنفترض

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\qquad {\text{and}}\qquad g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}.}$

ثم

${\displaystyle g(f(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sum _{k=0}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})}{n!}}x^{n}.}$

على وجه الخصوص، تظهر كثيرات حدود بيل الكاملة في الدالة الأسية لسلسلة قوى رسمية :

${\displaystyle \exp \left(\sum _{i=1}^{\infty }{a_{i} \over i!}x^{i}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n},}$

والتي تمثل أيضًا الدالة المولدة الأسية لكثيرات حدود بيل الكاملة على سلسلة ثابتة من الوسائط${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$.

لنفترض أن دالتين f و g معبر عنهما في متسلسلات قوى رسمية كما يلي:

${\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}},\qquad {\text{and}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}},}$

بحيث يكون g هو المعكوس التركيبي لـ f المعرف بـ g ( f ( w )) = w أو f ( g ( z )) = z . إذا كان f₀ = 0 و f₁ ≠ ₀ ، فيمكن إعطاء صيغة صريحة لمعاملات المعكوس بدلالة كثيرات حدود بيل كما في ^{[ 8 ]} _.

${\displaystyle g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{\bar {k}}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{n-k}),\qquad n\geq 2,}$

مع${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},}$و${\displaystyle n^{\bar {k}}=n(n+1)\cdots (n+k-1)}$هو العامل التصاعدي ، و${\displaystyle g_{1}={\frac {1}{f_{1}}}.}$

لنفترض التكامل على الصورة

${\displaystyle I(\lambda )=\int _{a}^{b}e^{-\lambda f(x)}g(x)\,\mathrm {d} x,}$

حيث ( a , b ) فترة حقيقية (محدودة أو غير محدودة)، وλ معامل موجب كبير، والدوال f و g متصلة. لنفترض أن للدالة f قيمة صغرى واحدة في الفترة [ a , b ] عند x  = a . افترض أنه عندما x → a ⁺ ،   

${\displaystyle f(x)\sim f(a)+\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(x-a)^{k+\alpha },}$

${\displaystyle g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(x-a)^{k+\beta -1},}$

مع α > 0 و Re( β ) > 0؛ وأن مفكوك f يمكن تفاضله حدًا حدًا. ثم، تنص نظرية لابلاس-إرديلي على أن المفكوك التقاربي للتكامل I ( λ ) يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle I(\lambda )\sim e^{-\lambda f(a)}\sum _{n=0}^{\infty }\Gamma {\Big (}{\frac {n+\beta }{\alpha }}{\Big )}{\frac {c_{n}}{\lambda ^{(n+\beta )/\alpha }}}\qquad {\text{as}}\quad \lambda \rightarrow \infty ,}$

حيث يمكن التعبير عن المعاملات c _n بدلالة a _n و b _n باستخدام كثيرات حدود بيل العادية الجزئية ، كما هو موضح في صيغة كامبل-فرومان-واليس-ووجديلو:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{\alpha a_{0}^{(n+\beta )/\alpha }}}\sum _{k=0}^{n}b_{n-k}\sum _{j=0}^{k}{\binom {-{\frac {n+\beta }{\alpha }}}{j}}{\frac {1}{a_{0}^{j}}}{\hat {B}}_{k,j}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k-j+1}).}$

كثير الحدود المتناظر الأساسي${\displaystyle e_{n}}$ومجموع القوى متعددة الحدود المتناظرة${\displaystyle p_{n}}$يمكن ربطها ببعضها البعض باستخدام كثيرات حدود بيل كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{n}&={\frac {1}{n!}}\;B_{n}(p_{1},-1!p_{2},2!p_{3},-3!p_{4},\ldots ,(-1)^{n-1}(n-1)!p_{n})\\&={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\;B_{n}(-p_{1},-1!p_{2},-2!p_{3},-3!p_{4},\ldots ,-(n-1)!p_{n}),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}&={\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!\;B_{n,k}(e_{1},2!e_{2},3!e_{3},\ldots ,(n-k+1)!e_{n-k+1})\\&=(-1)^{n}\;n\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\;{\hat {B}}_{n,k}(-e_{1},\dots ,-e_{n-k+1}).\end{aligned}}}$