أنبوب ليمّا

في الرياضيات ، وخاصة الطوبولوجيا ، تعتبر نظرية الأنبوب ، والتي تسمى أيضًا نظرية والاس، أداة مفيدة لإثبات أن حاصل ضرب عدد محدود من الفضاءات المدمجة هو فضاء مدمج.

تستخدم هذه المبرهنة المصطلحات التالية:

• لو${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي فضاءات طوبولوجية و${\displaystyle X\times Y}$هي مساحة المنتج، المزودة بطوبولوجيا المنتج ، وهي شريحة في${\displaystyle X\times Y}$هي مجموعة من الشكل${\displaystyle \{x\}\times Y}$ل${\displaystyle x\in X}$.
• أنبوب في​${\displaystyle X\times Y}$هي مجموعة جزئية من الشكل${\displaystyle U\times Y}$أين${\displaystyle U}$هي مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle X}$يحتوي على جميع الشرائح${\displaystyle \{x\}\times Y}$ل${\displaystyle x\in U}$.

باستخدام مفهوم الخرائط المغلقة ، يمكن إعادة صياغة ذلك بإيجاز على النحو التالي: إذا${\displaystyle X}$أي فضاء طوبولوجي و${\displaystyle Y}$مساحة صغيرة، ثم خريطة الإسقاط${\displaystyle X\times Y\to X}$مغلق.

1. ضع في اعتبارك${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$في طوبولوجيا المنتج، أي المستوى الإقليدي ، والمجموعة المفتوحة${\displaystyle N=\{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ~:~|xy|<1\}.}$ المجموعة المفتوحة${\displaystyle N}$يتضمن${\displaystyle \{0\}\times \mathbb {R} ,}$لكنها لا تحتوي على أنبوب، لذا في هذه الحالة تفشل معضلة الأنبوب. في الواقع، إذا${\displaystyle W\times \mathbb {R} }$هو أنبوب يحتوي على${\displaystyle \{0\}\times \mathbb {R} }$والموجودة في${\displaystyle N,}$${\displaystyle W}$يجب أن تكون مجموعة فرعية من${\displaystyle \left(-1/x,1/x\right)}$للجميع${\displaystyle x>0}$وهذا يعني${\displaystyle W=\{0\}}$يتناقض مع حقيقة أن${\displaystyle W}$مفتوح في${\displaystyle \mathbb {R} }$(لأن${\displaystyle W\times \mathbb {R} }$(أنبوب). وهذا يدل على أن فرضية التراص ضرورية.

2. يمكن استخدام نظرية الأنبوب لإثبات أنه إذا${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$إذا كانت المساحات صغيرة،${\displaystyle X\times Y}$وهو مضغوط على النحو التالي:

يترك${\displaystyle \{G_{a}\}}$كن غطاءً مفتوحًا لـ${\displaystyle X\times Y}$لكل${\displaystyle x\in X}$غطّي الشريحة${\displaystyle \{x\}\times Y}$بواسطة عدد محدود من عناصر${\displaystyle \{G_{a}\}}$(هذا ممكن لأن${\displaystyle \{x\}\times Y}$مضغوطة، كونها متماثلة الشكل مع${\displaystyle Y}$). أطلق على اتحاد هذه العناصر المحدودة اسم${\displaystyle N_{x}.}$ بحسب نظرية الأنبوب، توجد مجموعة مفتوحة على الشكل التالي${\displaystyle W_{x}\times Y}$يحتوي على${\displaystyle \{x\}\times Y}$والموجودة في${\displaystyle N_{x}.}$ مجموعة الكل${\displaystyle W_{x}}$ل${\displaystyle x\in X}$هو غلاف مفتوح لـ${\displaystyle X}$وبالتالي فإن لها غطاءً جزئياً محدوداً${\displaystyle \{W_{x_{1}},\dots ,W_{x_{n}}\}}$وبالتالي فإن المجموعة المحدودة${\displaystyle \{W_{x_{1}}\times Y,\dots ,W_{x_{n}}\times Y\}}$أغطية${\displaystyle X\times Y}$باستخدام حقيقة أن كل${\displaystyle W_{x_{i}}\times Y}$موجود في${\displaystyle N_{x_{i}}}$وكل${\displaystyle N_{x_{i}}}$هو الاتحاد المحدود لعناصر من${\displaystyle \{G_{a}\}}$، يحصل المرء على مجموعة فرعية محدودة من${\displaystyle \{G_{a}\}}$وهذا يشمل${\displaystyle X\times Y}$.

3. من خلال الجزء 2 والاستقراء، يمكن للمرء أن يثبت أن الناتج المحدود للفضاءات المدمجة هو فضاء مدمج.

4. لا يمكن استخدام نظرية الأنبوب لإثبات نظرية تيكونوف ، التي تعمم ما سبق إلى المنتجات اللانهائية.

تُستنتج مبرهنة الأنبوب من مبرهنة الأنبوب المعممة عن طريق أخذ${\displaystyle A=\{x\}}$و${\displaystyle B=Y.}$ لذلك يكفي إثبات مبرهنة الأنبوب المعممة. بحسب تعريف طوبولوجيا الضرب، لكل${\displaystyle (a,b)\in A\times B}$توجد مجموعات مفتوحة${\displaystyle U_{a,b}\subseteq X}$و${\displaystyle V_{a,b}\subseteq Y}$بحيث${\displaystyle (a,b)\in U_{a,b}\times V_{a,b}\subseteq N.}$ لأي${\displaystyle a\in A,}$${\displaystyle \left\{V_{a,b}~:~b\in B\right\}}$هو غطاء مفتوح للمجموعة المدمجة${\displaystyle B}$إذن، لهذا الغلاف غلاف فرعي محدود؛ أي أن هناك مجموعة محدودة${\displaystyle B_{0}(a)\subseteq B}$بحيث${\displaystyle V_{a}:=\bigcup _{b\in B_{0}(a)}V_{a,b}}$يتضمن${\displaystyle B,}$أين${\displaystyle V_{a}}$مفتوح في${\displaystyle Y.}$ لكل${\displaystyle a\in A,}$يترك${\displaystyle U_{a}:=\bigcap _{b\in B_{0}(a)}U_{a,b},}$وهي مجموعة مفتوحة في${\displaystyle X}$منذ${\displaystyle B_{0}(a)}$محدود. علاوة على ذلك، فإن بناء${\displaystyle U_{a}}$و${\displaystyle V_{a}}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle \{a\}\times B\subseteq U_{a}\times V_{a}\subseteq N.}$ نكرر الآن بشكل أساسي الحجة للتخلي عن الاعتماد على${\displaystyle a.}$ يترك${\displaystyle A_{0}\subseteq A}$لتكن مجموعة جزئية منتهية بحيث${\displaystyle U:=\bigcup _{a\in A_{0}}U_{a}}$يتضمن${\displaystyle A}$وضبط${\displaystyle V:=\bigcap _{a\in A_{0}}V_{a}.}$ وبناءً على ما سبق، فإن ذلك يستتبع أن${\displaystyle A\times B\subseteq U\times V\subseteq N}$، و${\displaystyle U\subseteq X}$و${\displaystyle V\subseteq Y}$وهي مفتوحة على التوالي، مما يكمل البرهان.

• نظرية ألكسندر للقواعد الفرعية – مجموعة من المجموعات الفرعية التي تولد بنية طوبولوجية. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• الحي الأنبوبي - حي من متعدد الشعب الفرعي 
• نظرية تيكونوف – حاصل ضرب أي مجموعة من الفضاءات الطوبولوجية المدمجة هو مجموعة مدمجة. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه 

• جيمس مونكرز (1999). الطوبولوجيا (  الطبعة الثانية). برنتيس هول . ISBN 0-13-181629-2.
• جوزيف ج. روتمان (1988). مقدمة في الطوبولوجيا الجبرية . سبرينغر. ISBN 0-387-96678-1.(انظر الفصل 8، اللمة 8.9)