التشاكل المتماثل

في الرياضيات ، وتحديدًا في علم الطوبولوجيا ، يُعرف التشاكل الموضعي ( من أصل يوناني يعني "شكل مشابه"، وقد سماه هنري بوانكاريه ) ^{[ 1 ] [ 2 ]،} ويُسمى أيضًا التشاكل الطوبولوجي أو الدالة ثنائية الاستمرارية ، بأنه دالة تقابلية مستمرة بين فضاءات طوبولوجية ، ولها دالة عكسية مستمرة . التشاكلات الموضعية هي التشاكلات في فئة الفضاءات الطوبولوجية ، أي أنها التطبيقات التي تحافظ على جميع الخصائص الطوبولوجية لفضاء معين. يُطلق على فضاءين بينهما تشاكل موضعي اسم "متماثلين موضعيًا" ، وهما متطابقان من وجهة نظر طوبولوجية.

بصورة مبسطة ، الفضاء الطوبولوجي هو شكل هندسي ، والتشاكل الموضعي ينتج عن تحويل مستمر لهذا الشكل إلى شكل جديد. لذا، المربع والدائرة متماثلان موضعياً، بينما الكرة والحلقة ليستا كذلك . مع ذلك، قد يكون هذا الوصف مُضللاً. فبعض التحويلات المستمرة لا تُنتج تشاكلات موضعية، مثل تحويل الخط إلى نقطة. وبعض التشاكلات الموضعية لا تنتج عن تحويلات مستمرة، مثل التشاكل الموضعي بين عقدة ثلاثية الفصوص ودائرة. أما التشاكل الموضعي والتشاكل الموضعي فهما تعريفان دقيقان لمفهوم التحويل المستمر .

وظيفة​${\displaystyle f:X\to Y}$يكون التماثل بين فضاءين طوبولوجيين إذا كان له الخصائص التالية:

• ${\displaystyle f}$هي دالة تقابل ( واحد لواحد وشامل ) ،
• ${\displaystyle f}$متصل ،​
• الدالة العكسية${\displaystyle f^{-1}}$متصل (${\displaystyle f}$(هو رسم خرائط مفتوح ).

يُطلق على التشاكل الموضعي أحيانًا اسم الدالة ثنائية الاستمرارية . إذا وُجدت مثل هذه الدالة،${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي متماثلة طوبولوجيًا . التماثل الذاتي هو تماثل من فضاء طوبولوجي إلى نفسه. وكونها "متماثلة طوبولوجيًا" يعني علاقة تكافؤ على الفضاءات الطوبولوجية. وتُسمى فئات التكافؤ الخاصة بها فئات التماثل .

الشرط الثالث، وهو أن${\textstyle f^{-1}}$أن تكون الدالة متصلة أمر ضروري. لنأخذ على سبيل المثال الدالة${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$( دائرة الوحدة في ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) مُعرَّف بواسطة${\textstyle f(\varphi )=(\cos \varphi ,\sin \varphi ).}$هذه الدالة تقابلية ومتصلة، ولكنها ليست تماثلاً شكلياً (${\textstyle S^{1}}$صغير الحجم ولكنه${\textstyle [0,2\pi )}$(ليس كذلك). الوظيفة${\textstyle f^{-1}}$لا تكون متصلة عند النقطة${\textstyle (1,0),}$لأنه على الرغم من${\textstyle f^{-1}}$خرائط${\textstyle (1,0)}$ل${\textstyle 0,}$أي جوار لهذه النقطة يشمل أيضًا النقاط التي ترسم الدالة بالقرب منها${\textstyle 2\pi ,}$لكن النقاط التي تُشير إليها الأرقام الواقعة بينهما تقع خارج نطاق الجوار. ^{[ 3 ]}

التشاكلات الموضعية هي التشاكلات في فئة الفضاءات الطوبولوجية . وبناءً على ذلك، فإن تركيب تشاكلين موضعيين هو تشاكل موضعي أيضًا، ومجموعة جميع التشاكلات الموضعية الذاتية هي${\textstyle X\to X}$يشكل مجموعة تسمى مجموعة التشاكل المتماثل لـ X ، ويرمز لها غالبًا بـ${\textstyle \operatorname {Homeo} (X).}$يمكن إعطاء هذه المجموعة طوبولوجيا، مثل الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة ، والتي تجعلها، في ظل افتراضات معينة، مجموعة طوبولوجية . ^{[ 4 ]}

في بعض السياقات، توجد كائنات متماثلة الشكل لا يمكن تحويلها بشكل مستمر من شكل إلى آخر. وقد تم تقديم علاقات التكافؤ والتماثل للتعامل مع مثل هذه الحالات.

وبالمثل، وكما هو معتاد في نظرية الفئات، إذا أُعطي فضاءان متماثلان تماثليًا، فإن فضاء التماثلات بينهما،${\textstyle \operatorname {Homeo} (X,Y),}$هو مُلتف لمجموعات التشاكل المتماثل${\textstyle \operatorname {Homeo} (X)}$و${\textstyle \operatorname {Homeo} (Y)،}$وبالنظر إلى تماثل محدد بين${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y,}$تم تحديد المجموعات الثلاث جميعها.

• الفاصل الزمني المفتوح${\textstyle (a,b)}$متماثلة طوبولوجيًا مع الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$لأي​${\textstyle a<b.}$(في هذه الحالة، يتم إعطاء دالة تحويل ثنائية الاستمرارية للأمام بواسطة${\textstyle f(x)={\frac {1}{ax}}+{\frac {1}{bx}}}$بينما يتم تقديم عمليات الربط الأخرى هذه بواسطة نسخ مُقاسة ومُترجمة من دالتي tan أو arg tanh ).
• قرص الوحدة المغلق${\textstyle D^{2}}$متمركزة عند نقطة الأصل والمربع${\textstyle [-1,1]^{2}}$في​${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$هي متماثلة طوبولوجيًا؛ لأن القرص الواحدي يمكن تشويهه إلى مربع واحدي. مثال على تطبيق ثنائي الاستمرارية من المربع إلى القرص، في الإحداثيات القطبية ،$${\displaystyle (\rho ,\theta )\mapsto \left({\frac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right).}$$
• يكون الرسم البياني للدالة القابلة للتفاضل متماثلاً مع مجال الدالة.
• إن التمثيل البارامتري التفاضلي لمنحنى ما هو تماثل تماثلي بين مجال التمثيل البارامتري والمنحنى.
• مخطط متعدد الشعب هو تماثل بين مجموعة فرعية مفتوحة من متعدد الشعب ومجموعة فرعية مفتوحة من فضاء إقليدي .
• الإسقاط المجسم هو تماثل شكلي بين كرة الوحدة في ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$مع إزالة نقطة واحدة ومجموعة جميع النقاط في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$( مستوى ثنائي الأبعاد).
• لو${\displaystyle G}$هي مجموعة طوبولوجية ، خريطة انعكاسها${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$هو تماثل شكلي. كذلك، لأي${\displaystyle x\in G,}$الترجمة اليسرى${\displaystyle y\mapsto xy,}$الترجمة الصحيحة${\displaystyle y\mapsto yx,}$والتماثل الذاتي الداخلي${\displaystyle y\mapsto xyx^{-1}}$هي تماثلات تماثلية.

• يتشارك فضاءان متماثلان طوبولوجيًا نفس الخصائص الطوبولوجية . على سبيل المثال، إذا كان أحدهما متراصًا ، فإن الآخر كذلك؛ وإذا كان أحدهما متصلًا ، فإن الآخر كذلك؛ وإذا كان أحدهما هاوسدورف ، فإن الآخر كذلك؛ وتتطابق مجموعتا التماثل والتجانس لهما . مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن هذا لا ينطبق على الخصائص المُعرَّفة بواسطة مقياس ؛ فهناك فضاءات مترية متماثلة طوبولوجيًا حتى وإن كان أحدهما كاملًا والآخر غير كامل.
• التشاكل الموضعي هو في نفس الوقت تطبيق مفتوح وتطبيق مغلق ؛ أي أنه يحول المجموعات المفتوحة إلى مجموعات مفتوحة والمجموعات المغلقة إلى مجموعات مغلقة.
• كل تماثل ذاتي في${\displaystyle S^{1}}$يمكن توسيعها لتشمل تماثلًا ذاتيًا للقرص بأكمله${\displaystyle D^{2}}$( خدعة ألكسندر ).

يتطلب تطبيق المعيار البديهي للتمديد والثني والقص وإعادة اللصق معًا قدرًا من الممارسة حتى يصبح صحيحًا ؛ فقد لا يكون واضحًا من الوصف السابق أن تشويه قطعة مستقيمة إلى نقطة أمر غير جائز، على سبيل المثال. لذا، من المهم إدراك أن التعريف الرسمي المذكور أعلاه هو المعيار المعتمد. في هذه الحالة، على سبيل المثال، تحتوي القطعة المستقيمة على عدد لا نهائي من النقاط، وبالتالي لا يمكن وضعها في تقابل مع مجموعة تحتوي على عدد محدود من النقاط، بما في ذلك نقطة واحدة.

غالبًا ما يؤدي هذا التوصيف للتشاكل الموضعي إلى الخلط بينه وبين مفهوم التماثل ، الذي يُعرَّف في الواقع بأنه تشويه مستمر، ولكن من دالة إلى أخرى، وليس من فضاء إلى آخر. في حالة التشاكل الموضعي، يُعدّ تصور التشويه المستمر أداة ذهنية لتتبع النقاط المقابلة في الفضاء X على Y ، حيث يتم تتبعها ببساطة أثناء تشوه X. أما في حالة التماثل، فيُعدّ التشويه المستمر من تطبيق إلى آخر جوهريًا، وهو أيضًا أقل تقييدًا، إذ لا يشترط أن تكون أي من التطبيقات المعنية أحادية أو شاملة. ويؤدي التماثل إلى علاقة على الفضاءات تُسمى تكافؤ التماثل .

يُطلق اسم على نوع التشوه الذي ينطوي عليه تصور التشاكل الموضعي. وهو (باستثناء الحالات التي تتطلب القص وإعادة اللصق) تماثل بين دالة التطابق على X والتشاكل الموضعي من X إلى Y.

• التشاكل الموضعي – دالة رياضية قابلة للانعكاس بالقرب من كل نقطة 
• التشاكل التفاضلي – تماثل المشعبات القابلة للتفاضل 
• التشاكل المنتظم – التشاكل المتجانس المستمر هو تشاكل بين فضاءات منتظمة 
• التشاكل المتساوي القياس – تحويل رياضي يحافظ على المسافة. الصفحات التي تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه هي تشاكل بين الفضاءات المترية. 
• مجموعة التشاكل المتماثل
• التواء ديهن – مصطلح في الطوبولوجيا الهندسية 
• التشاكل المتماثل (نظرية الرسم البياني) – الرسوم البيانية التي تختلف فقط عن طريق تقسيم الحواف (مرتبط ارتباطًا وثيقًا بتقسيم الرسم البياني) 
• التماثل-التماثل – التشوه المستمر بين دالتين مستمرتين 
• مجموعة فئات التعيين – مجموعة فئات التماثل لمجموعة التماثل الطوبولوجي 
• حدسية بوانكاريه – نظرية في الطوبولوجيا الهندسية 
• التشاكل الكوني

• "التماثل الموضعي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]