الفضاء الفرعي النموذجي

في نظرية المعلومات الكمومية ، يلعب مفهوم الفضاء الجزئي النموذجي دورًا هامًا في براهين العديد من نظريات الترميز (وأبرز مثال على ذلك هو ضغط شوماخر ). ويُشابه دوره دور المجموعة النموذجية في نظرية المعلومات الكلاسيكية .

لنفترض وجود مؤثر كثافة${\displaystyle \rho }$مع التحليل الطيفي التالي :

${\displaystyle \rho =\sum _{x}p_{X}(x)\vert x\rangle \langle x\vert .}$

يُعرَّف الفضاء الجزئي النموذجي الضعيف بأنه امتداد جميع المتجهات التي تحقق إنتروبيا العينة${\displaystyle {\overline {H}}(x^{n})}$إن تصنيفهم الكلاسيكي قريب من الإنتروبيا الحقيقية${\displaystyle H(X)}$توزيع​${\displaystyle p_{X}(x)}$:

${\displaystyle T_{\delta }^{X^{n}}\equiv {\text{span}}\left\{\left\vert x^{n}\right\rangle$ :\left\vert {\overline {H}}(x^{n})-H(X)\right\vert \leq \delta \right\},}

أين

${\displaystyle {\overline {H}}(x^{n})\equiv -{\frac {1}{n}}\log(p_{X^{n}}(x^{n})),}$

${\displaystyle H(X)\equiv -\sum _{x}p_{X}(x)\log p_{X}(x).}$

جهاز العرض${\displaystyle \Pi _{\rho ,\delta }^{n}}$على الفضاء الفرعي النموذجي لـ${\displaystyle \rho }$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\equiv \sum _{x^{n}\in T_{\delta }^{X^{n}}}\vert x^{n}\rangle \langle x^{n}\vert ,}$

حيث قمنا "بتحميل" الرمز بشكل زائد ${\displaystyle T_{\delta }^{X^{n}}}$للإشارة أيضًا إلى مجموعة${\displaystyle \delta }$-التسلسلات النموذجية:

${\displaystyle T_{\delta }^{X^{n}}\equiv \left\{x^{n}:\left\vert {\overline {H}}\left(x^{n}\right)-H(X)\right\vert \leq \delta \right\}.}$

الخصائص الثلاث المهمة لجهاز العرض النموذجي هي كما يلي:

${\displaystyle {\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho ^{\otimes n}\right\}\geq 1-\epsilon ,}$

${\displaystyle {\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\leq 2^{n\left[H\left(X\right)+\delta \right]},}$

${\displaystyle 2^{-n\left[H(X)+\delta \right]}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho ^{\otimes n}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq 2^{-n\left[H(X)-\delta \right]}\Pi _{\rho ,\delta }^{n},}$

حيث تنطبق الخاصية الأولى على أي${\displaystyle \epsilon ,\delta >0}$وكبير بما فيه الكفاية${\displaystyle n}$.

لنفترض وجود مجموعة موسيقية${\displaystyle \left\{p_{X}(x),\rho _{x}\right\}_{x\in {\mathcal {X}}}}$من الولايات. لنفترض أن كل ولاية${\displaystyle \rho _{x}}$له التحليل الطيفي التالي :

${\displaystyle \rho _{x}=\sum _{y}p_{Y|X}(y|x)\vert y_{x}\rangle \langle y_{x}\vert .}$

لنفترض وجود مؤثر كثافة${\displaystyle \rho _{x^{n}}}$وهو مشروط بتسلسل كلاسيكي${\displaystyle x^{n}\equiv x_{1}\cdots x_{n}}$:

${\displaystyle \rho _{x^{n}}\equiv \rho _{x_{1}}\otimes \cdots \otimes \rho _{x_{n}}.}$

نُعرّف الفضاء الجزئي النموذجي الشرطي الضعيف بأنه امتداد المتجهات (الشرطية على المتتالية)${\displaystyle x^{n}}$) بحيث تكون الإنتروبيا الشرطية للعينة ${\displaystyle {\overline {H}}(y^{n}|x^{n})}$إن أحد تصنيفاتهم الكلاسيكية قريب من الإنتروبيا الشرطية الحقيقية${\displaystyle H(Y|X)}$توزيع​${\displaystyle p_{Y|X}(y|x)p_{X}(x)}$:

${\displaystyle T_{\delta }^{Y^{n}|x^{n}}\equiv {\text{span}}\left\{\left\vert y_{x^{n}}^{n}\right\rangle$ :\left\vert {\overline {H}}(y^{n}|x^{n})-H(Y|X)\right\vert \leq \delta \right\},}

أين

${\displaystyle {\overline {H}}(y^{n}|x^{n})\equiv -{\frac {1}{n}}\log \left(p_{Y^{n}|X^{n}}(y^{n}|x^{n})\right),}$

${\displaystyle H(Y|X)\equiv -\sum _{x}p_{X}(x)\sum _{y}p_{Y|X}(y|x)\log p_{Y|X}(y|x).}$

جهاز العرض${\displaystyle \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }}$على الفضاء الفرعي النموذجي الشرطي الضعيف لـ${\displaystyle \rho _{x^{n}}}$وهو كالتالي:

${\displaystyle \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\equiv \sum _{y^{n}\in T_{\delta }^{Y^{n}|x^{n}}}\vert y_{x^{n}}^{n}\rangle \langle y_{x^{n}}^{n}\vert ,}$

حيث قمنا مرة أخرى بتحميل الرمز بشكل زائد${\displaystyle T_{\delta }^{Y^{n}|x^{n}}}$للإشارة إلى مجموعة المتتاليات النموذجية الشرطية الضعيفة:

${\displaystyle T_{\delta }^{Y^{n}|x^{n}}\equiv \left\{y^{n}:\left\vert {\overline {H}}\left(y^{n}|x^{n}\right)-H(Y|X)\right\vert \leq \delta \right\}.}$

الخصائص الثلاث المهمة للمسقط النموذجي الشرطي الضعيف هي كما يلي:

${\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}},\delta }\rho _{X^{n}}\right\}\right\}\geq 1-\epsilon ,}$

${\displaystyle {\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\right\}\leq 2^{n\left[H(Y|X)+\delta \right]},}$

${\displaystyle 2^{-n\left[H(Y|X)+\delta \right]}\ \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\leq \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\ \rho _{x^{n}}\ \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\leq 2^{-n\left[H(Y|X)-\delta \right]}\ \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta },}$

حيث تنطبق الخاصية الأولى على أي${\displaystyle \epsilon ,\delta >0}$وكبير بما فيه الكفاية${\displaystyle n}$والتوقع يتعلق بالتوزيع${\displaystyle p_{X^{n}}(x^{n})}$.

• القدرة الكلاسيكية
• نظرية المعلومات الكمومية

• وايلد، مارك م.، 2017، نظرية المعلومات الكمومية، مطبعة جامعة كامبريدج ، متاح أيضًا على موقع arXiv الإلكتروني: 1106.1145