تحليل الطيف (التحليل الوظيفي)

ليكن X فضاء باناخ ، و B ( X ) عائلة المؤثرات المحدودة على X ، و T ∈ B ( X ) . بحسب التعريف ، يكون العدد المركب λ في طيف T ، ويرمز له بـ σ ( T )، إذا لم يكن لـ T − λ معكوس في B ( X ).

إذا كانت الدالة T − λ تقابلية وشاملة ، أي تقابلية ، فإن معكوسها يكون محدودًا؛ وهذا يتبع مباشرةً من نظرية التطبيقات المفتوحة في التحليل الوظيفي. لذا، فإن λ تنتمي إلى طيف T إذا وفقط إذا لم تكن T − λ تقابلية أو شاملة. ويمكن تمييز ثلاث حالات منفصلة:

1. المصفوفة T − λ ليست. أي أنه يوجد عنصران مختلفان x و y في X بحيث يكون ( T − λ )( x ) = ( T − λ )( y ) . عندئذٍ يكون z = x − y متجهًا غير صفري بحيث يكون T ( z ) = λz . بعبارة أخرى، λ قيمة ذاتية للمصفوفة T في سياق الجبر الخطي . في هذه الحالة،يُقال إن λ ينتمي إلى طيف النقاط للمصفوفة T ، ويُرمز له _بـ σp ( T ) .
2. الدالة T − λ أحادية، ومدى تطبيقها مجموعة جزئية كثيفة R من X ، لكنها لا تشمل X بأكملها. بعبارة أخرى، يوجد عنصر x في X بحيث يمكن أن يكون ( T − λ )( y ) قريبًا من x قدر الإمكان، مع العلم أن y ينتمي إلى X ، لكنها لا تساوي x أبدًا . يمكن إثبات أنه في هذه الحالة، T − λ غير محدودة من الأسفل (أي أنها تُقرّب عناصر X المتباعدة جدًا من بعضها). وبالمثل، فإن المؤثر الخطي العكسي ( T − λ ) ^⁻¹ ، المعرّف على المجموعة الجزئية الكثيفة R ، ليس مؤثرًا محدودًا ،وبالتالي لا يمكن تمديده ليشمل X بأكملها . عندئذٍ، يُقال إن λ ينتمي _إلى الطيف المتصل σc ( T ) لـ T.
3. الدالة T − λ أحادية، لكن مداها ليس كثيفًا. أي، يوجد عنصر x في X وجوار N لـ x بحيثلا ينتمي ( T − λ )( y ) إلى N أبدًا . في هذه الحالة، قد تكون الدالة ( T − λ ) ^⁻¹ x → x محدودة أو غير محدودة، لكنها في كلتا الحالتين لا تقبل امتدادًا وحيدًا إلى دالة خطية محدودة على كامل X. عندئذٍ، _يُقال إن λ ينتمي إلى الطيف المتبقي لـ T ، σr ( T ) .

إذن، σ ( T ) هو الاتحاد المنفصل لهذه المجموعات الثلاث، $${\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{p}(T)\cup \sigma _{c}(T)\cup \sigma _{r}(T).}$$مكمل الطيف${\displaystyle \sigma (T)}$يُعرف باسم مجموعة الحلول${\displaystyle \rho (T)}$إنه${\displaystyle \rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$.

بالإضافة إلى ذلك، عندما لا يكون لـ T − λ نطاق كثيف، سواء كان محقنًا أم لا، يُقال حينها أن λ يقع في طيف انضغاط T، σ cp ( T ) _. يتكون طيف الانضغاط من الطيف المتبقي الكامل وجزء من طيف النقطة.

يمكن تقسيم طيف عامل غير محدود إلى ثلاثة أجزاء بنفس الطريقة كما في الحالة المحدودة، ولكن نظرًا لأن العامل غير معرف في كل مكان، فإن تعريفات المجال والمعكوس وما إلى ذلك تكون أكثر تعقيدًا.

يُقدّم هذا القسم الفرعي لمحةً موجزةً عن تطور هذا الحساب. وتتلخص الفكرة في تأسيس حساب الدوال المتصلة أولاً، ثم الانتقال إلى الدوال القابلة للقياس عبر نظرية تمثيل ريز-ماركوف-كاكتاني . أما بالنسبة لحساب الدوال المتصلة، فإنّ العناصر الأساسية هي التالية:

1. إذا كان T ذاتي الترافق، فإن معيار المؤثر لأي متعدد حدود P يحقق ما يلي:$${\displaystyle \|P(T)\|=\sup _{\lambda \in \sigma (T)}|P(\lambda )|.}$$
2. تنص نظرية ستون -ويرستراس على أن عائلة كثيرات الحدود (ذات المعاملات المركبة) كثيفة في C ( σ ( T ))، الدوال المستمرة على σ ( T ).

تُعتبر العائلة C ( σ ( T )) جبر باناخ عند تزويدها بالمعيار المنتظم. لذا فإن التطبيق $${\displaystyle P\rightarrow P(T)}$$ هو تماثل متساوي القياس من مجموعة جزئية كثيفة من C ( σ ( T )) إلى B ( H ). بتمديد التطبيق بالاستمرارية، نحصل على _f ( T ) لـ f ∈ C( σ ( T )): ليكن Pn كثيرات حدود بحيث Pn → f بانتظام _، ولنُعرّف f ( T ) = lim Pn ( _T ) . هذا هو حساب الدوال المستمرة.

بالنسبة لقيمة ثابتة لـ h ∈ H ، نلاحظ أن $${\displaystyle f\rightarrow \langle h,f(T)h\rangle }$$ هي دالة خطية موجبة على C ( σ ( T )). وفقًا لنظرية تمثيل ريز-ماركوف-كاكوتاني، يوجد مقياس وحيد _μh على σ ( T ) بحيث $${\displaystyle \int _{\sigma (T)}f\,d\mu _{h}=\langle h,f(T)h\rangle .}$$

يُطلق على هذا المقياس أحيانًا اسم المقياس الطيفي المرتبط بـ h . يمكن استخدام المقاييس الطيفية لتوسيع حساب الدوال المتصلة ليشمل دوال بوريل المحدودة. بالنسبة لدالة محدودة g قابلة للقياس وفقًا لبوريل، نُعرّف، لدالة g ( T ) المقترحة،$${\displaystyle \int _{\sigma (T)}g\,d\mu _{h}=\langle h,g(T)h\rangle .}$$

من خلال متطابقة الاستقطاب ، يمكن للمرء أن يستعيد (بما أن H يفترض أنه مركب) $${\displaystyle \langle k,g(T)h\rangle .}$$ وبالتالي فإن g ( T ) h لأي قيمة h عشوائية .

في السياق الحالي، تعطي المقاييس الطيفية، بالإضافة إلى نتيجة من نظرية القياس، تحليلًا لـ σ ( T ).

ليكن h ∈ H و μ _h هو مقياسه الطيفي المقابل على σ ( T ). وفقًا لتحسين لنظرية تفكيك ليبيغ ، يمكن تفكيك μ _{h إلى ثلاثة أجزاء شاذة متبادلة:}$${\displaystyle \mu _{h}=\mu _{\mathrm {ac} }+\mu _{\mathrm {sc} }+\mu _{\mathrm {pp} }}$$ حيث أن μ _ac دالة متصلة تمامًا بالنسبة لمقياس ليبيغ، وμ _sc دالة شاذة بالنسبة لمقياس ليبيغ وخالية من الذرات، و μ _pp مقياس نقطي بحت. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

جميع أنواع القياسات الثلاثة ثابتة تحت العمليات الخطية. ليكن H _{_ac} الفضاء الجزئي المكون من متجهات تكون قياساتها الطيفية متصلة اتصالاً مطلقًا بالنسبة لقياس ليبيغ . عرّف H_{_pp} و H _{_sc} بطريقة مماثلة. هذه الفضاءات الجزئية ثابتة تحت T. على سبيل المثال، إذا كان h ∈ H _{_ac} و k = T_h، ولتكن χ الدالة المميزة لمجموعة بوريل ما في σ ( T )، فإن $${\displaystyle \langle k,\chi (T)k\rangle =\int _{\sigma (T)}\chi (\lambda )\cdot \lambda ^{2}d\mu _{h}(\lambda )=\int _{\sigma (T)}\chi (\lambda )\;d\mu _{k}(\lambda ).}$$ لذا $${\displaystyle \lambda ^{2}d\mu _{h}=d\mu _{k}}$$ و k ∈ H _ac . علاوة على ذلك، فإن تطبيق نظرية الطيف يعطي $${\displaystyle H=H_{\mathrm {ac}}\oplus H_{\mathrm {sc} }\oplus H_{\mathrm {pp} }.}$$

وهذا يؤدي إلى التعريفات التالية:

1. يُطلق على طيف T المقيد بـ H _ac اسم الطيف المستمر المطلق لـ T ، σ _ac ( T ).
2. يُطلق على طيف T المقيد بـ H _sc اسم الطيف المفرد ، σ _sc ( T ).
3. تسمى مجموعة القيم الذاتية لـ T طيف النقطة النقية لـ T ، σ _pp ( T ).

إن إغلاق القيم الذاتية هو طيف T المقيد بـ H _pp . ^{[ 3 ] [ ملاحظة 1 ]} لذا $${\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{\mathrm {ac} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {sc} }(T)\cup {{\bar {\sigma }}_{\mathrm {pp} }(T)}.}$$

إن المؤثر الذاتي المرافق المحدود على فضاء هيلبرت هو، من باب أولى، مؤثر محدود على فضاء باناخ. لذلك، يمكن أيضًا تطبيق تفكيك الطيف الذي تم تحقيقه أعلاه للمؤثرات المحدودة على فضاء باناخ على T. على عكس صياغة فضاء باناخ، فإن الاتحاد $${\displaystyle \sigma (T)={{\bar {\sigma }}_{\mathrm {pp} }(T)}\cup \sigma _{\mathrm {ac} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {sc} }(T)}$$ ليس بالضرورة أن تكون منفصلة. تكون منفصلة عندما يكون للمؤثر T تعددية منتظمة، ولتكن m ، أي إذا كان T مكافئًا وحدويًا للضرب في λ على المجموع المباشر $${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{m}L^{2}(\mathbb {R} ,\mu _{i})}$$ بالنسبة لبعض مقاييس بوريل${\displaystyle \mu _{i}}$عندما يظهر أكثر من مقياس واحد في التعبير أعلاه، نلاحظ أنه من الممكن ألا يكون اتحاد الأنواع الثلاثة من الأطياف منفصلاً. إذا كان λ ∈ σ _ac ( T ) ∩ σ _pp ( T ) ، يُطلق على λ أحيانًا اسم القيمة الذاتية المضمنة في الطيف المتصل تمامًا.

عندما يكون T مكافئًا بشكل وحدوي للضرب في λ على $${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mu ),}$$ إن تحليل σ ( T ) من حساب بوريل الوظيفي هو تحسين لحالة فضاء باناخ.

يمكن تعميم التعليقات السابقة على المؤثرات الذاتية المرافقة غير المحدودة لأن ريز-ماركوف ينطبق على فضاءات هاوسدورف المدمجة محليًا .

في ميكانيكا الكم ، تعتبر الكميات القابلة للرصد عبارة عن عوامل ذاتية الترافق (غالباً غير محدودة) وأطيافها هي النتائج المحتملة للقياسات.

يتوافق طيف النقطة النقية مع الحالات المقيدة بالطريقة التالية:

• تكون الحالة الكمومية حالة مقيدة إذا وفقط إذا كانت قابلة للتطبيع بشكل محدود لجميع الأزمنة${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$[ ^{4 ]​}
• يكون للكمية القابلة للرصد طيف نقطي نقي إذا وفقط إذا كانت حالاتها الذاتية تشكل أساسًا متعامدًا .${\displaystyle H}$[ ^{5 ]​}

يُقال إن الجسيم في حالة ارتباط إذا ظل "مُتمركزًا" في منطقة محدودة من الفضاء. ^{[ 6 ]} قد يظن المرء بديهيًا أن "تقطع" الطيف مرتبط ارتباطًا وثيقًا بكون الحالات المقابلة "مُتمركزة". ومع ذلك، يُظهر تحليل رياضي دقيق أن هذا ليس صحيحًا بشكل عام. ^{[ 7 ]} على سبيل المثال، لننظر إلى الدالة

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}n&{\text{if }}x\in \left[n,n+{\frac {1}{n^{4}}}\right]\\0&{\text{else}}\end{cases}},\quad \forall n\in \mathbb {N} .}$

هذه الدالة قابلة للتطبيع (أي${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$) مثل

${\displaystyle \int _{n}^{n+{\frac {1}{n^{4}}}}n^{2}\,dx={\frac {1}{n^{2}}}\Rightarrow \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$

تُعرف هذه المتسلسلة باسم مسألة بازل ، وهي تتقارب إلى${\textstyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$. حتى الآن،${\displaystyle f}$يزداد مع${\displaystyle x\to \infty }$أي أن الحالة "تتلاشى إلى ما لا نهاية". تصف ظاهرتا التوطين الأندرسوني والتوطين الديناميكي متى تكون الدوال الذاتية متمركزة فيزيائيًا. يعني التوطين الأندرسوني أن الدوال الذاتية تتلاشى أُسّيًا.${\displaystyle x\to \infty }$. أما التوطين الديناميكي فهو أكثر تعقيداً في تعريفه.

أحيانًا، عند إجراء قياسات ميكانيكا الكم، يُصادف المرء " حالات ذاتية " غير موضعية، مثل الحالات الكمومية التي لا تقع في ^فضاء L² ( R ). هذه حالات حرة تنتمي إلى الطيف المتصل تمامًا. في نظرية الطيف للمؤثرات الذاتية المرافقة غير المحدودة ، تُسمى هذه الحالات "متجهات ذاتية معممة" لكمية قابلة للرصد ذات "قيم ذاتية معممة" لا تنتمي بالضرورة إلى طيفها. بدلاً من ذلك، إذا أصررنا على أن مفهوم المتجهات الذاتية والقيم الذاتية يبقى قائمًا حتى بعد تطبيق المنهج الدقيق، فيمكننا النظر في المؤثرات على فضاءات هيلبرت المُجهزة . ^{[ 8 ]}

من الأمثلة على الكميات القابلة للرصد التي يكون طيفها متصلاً اتصالاً تاماً، مؤثر موضع جسيم حر يتحرك على كامل خط الأعداد الحقيقية. كذلك، ولأن مؤثر الزخم مكافئٌ وحدوياً لمؤثر الموضع، عبر تحويل فورييه ، فإنه يمتلك طيفاً متصلاً اتصالاً تاماً أيضاً.

يتوافق الطيف الشاذ مع نتائج مستحيلة فيزيائيًا. ساد الاعتقاد لفترة من الزمن بأن الطيف الشاذ هو شيء اصطناعي. ومع ذلك، فقد أظهرت أمثلة مثل مؤثر ماثيو شبه الكامل ومؤثرات شرودنغر العشوائية أن جميع أنواع الأطياف تنشأ بشكل طبيعي في الفيزياء. ^{[ 9 ] [ 10 ]}