التقارب المطلق المنتظم

في الرياضيات ، يُعدّ التقارب المطلق المنتظم نوعًا من أنواع التقارب لمتسلسلات الدوال . ومثل التقارب المطلق ، يتميز هذا النوع بخاصية مفيدة ، وهي أنه يبقى ثابتًا عند تغيير ترتيب الجمع.

يمكن في كثير من الأحيان إعادة ترتيب متسلسلة أعداد متقاربة بحيث تصبح المتسلسلة الجديدة متباعدة. إلا أن هذا غير ممكن بالنسبة لمتسلسلات الأعداد غير السالبة، لذا فإن مفهوم التقارب المطلق يستبعد هذه الظاهرة. عند التعامل مع متسلسلات الدوال المتقاربة بانتظام ، تحدث الظاهرة نفسها: إذ يمكن إعادة ترتيب المتسلسلة إلى متسلسلة متقاربة بشكل غير منتظم، أو إلى متسلسلة لا تتقارب حتى عند نقطة معينة. هذا مستحيل بالنسبة لمتسلسلات الدوال غير السالبة، لذا يمكن استخدام مفهوم التقارب المطلق المنتظم لاستبعاد هذه الاحتمالات.

بفرض مجموعة X ودوال${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbb {C} }$(أو إلى أي فضاء متجه معياري )، السلسلة

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$

يُطلق عليها اسم متسلسلة الدوال غير السالبة المتقاربة تقاربًا مطلقًا منتظمًا إذا كانت متسلسلة الدوال غير السالبة

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|f_{n}(x)|}$

متقاربة بشكل منتظم. ^{[ 1 ]}

يمكن أن تكون المتسلسلة متقاربة بانتظام ومتقاربة تقاربًا مطلقًا دون أن تكون متقاربة تقاربًا مطلقًا منتظمًا. على سبيل المثال، إذا كانت _fₙ ( x ) = xₙ ^/ n على الفترة المفتوحة ( −1, 0)، فإن المتسلسلة Σfₙ( x ) تتقارب _{تقاربًا} منتظمًا بمقارنة المجاميع الجزئية مع تلك الخاصة بـ Σ( −1 ) ^ₙ / n ، وتتقارب المتسلسلة Σ| fₙ ( x ₎ | تقاربًا مطلقًا عند كل نقطة باختبار المتسلسلة الهندسية، لكن Σ| fₙ ₍ x ) | لا تتقارب تقاربًا منتظمًا. ويرجع ذلك بديهيًا إلى أن التقارب المطلق يتباطأ كلما اقتربت x من −1، حيث يتحقق التقارب لكن التقارب المطلق يفشل.

إذا كانت سلسلة من الدوال متقاربة تقاربًا مطلقًا منتظمًا على جوارٍ ما لكل نقطة في فضاء طوبولوجي ، فإنها تُسمى متقاربة تقاربًا مطلقًا منتظمًا محليًا . وإذا كانت سلسلة من الدوال متقاربة تقاربًا مطلقًا منتظمًا على جميع المجموعات الجزئية المدمجة في فضاء طوبولوجي، فإنها تُسمى متقاربة تقاربًا مطلقًا (مدمجًا) منتظمًا . وإذا كان الفضاء الطوبولوجي مدمجًا محليًا ، فإن هذه المفاهيم متكافئة.

• إذا كانت سلسلة من الدوال في C (أو أي فضاء باناخ ) متقاربة بشكل مطلق منتظم، فإنها متقاربة بشكل منتظم.
• التقارب المطلق المنتظم مستقل عن ترتيب المتسلسلة. وذلك لأنه بالنسبة لمتسلسلة من الدوال غير السالبة، فإن التقارب المنتظم يكافئ الخاصية التي تنص على أنه لأي قيمة ε > 0، يوجد عدد محدود من حدود المتسلسلة بحيث يؤدي استبعاد هذه الحدود إلى متسلسلة مجموعها الكلي أقل من قيمة الدالة الثابتة ε، وهذه الخاصية لا تتعلق بالترتيب.

• أنماط التقارب (فهرس مشروح)