المتسلسلات المتقاربة

في الرياضيات ، المتسلسلة هي مجموع حدود متتالية لا نهائية من الأعداد. بتعبير أدق، متتالية لا نهائية${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$يُعرّف سلسلة S التي يُرمز لها بـ

${\displaystyle S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}$

المجموع الجزئي النوني S_n هو مجموع أول n حد من المتتالية؛ أي

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}$

تكون المتسلسلة متقاربة (أو تتقارب ) إذا وفقط إذا كانت المتتابعة${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3},\dots )}$تؤول مجاميعها الجزئية إلى حدٍّ ما ، وهذا الحدّ محدود؛ وهذا يعني أنه عند إضافة واحد${\displaystyle a_{k}}$بترتيب العناصر وفقًا للمؤشرات ، نحصل على مجاميع جزئية تقترب أكثر فأكثر من عدد معين. بتعبير أدق، تتقارب المتسلسلة إذا وفقط إذا وُجد عدد${\displaystyle \ell }$بحيث يكون لكل عدد موجب صغير بشكل تعسفي${\displaystyle \varepsilon }$يوجد عدد صحيح (كبير بما فيه الكفاية)${\displaystyle N}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle n\geq N}$،

${\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right|<\varepsilon .}$

إذا كانت المتسلسلة متقاربة، فإن العدد (الفريد بالضرورة)${\displaystyle \ell }$يُطلق عليه مجموع المتسلسلة .

تدوين الحدود

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty}a_{k}}$

يُستخدم الرمز للدلالة على المتسلسلة، وإذا كانت متقاربة، يُستخدم للدلالة على مجموعها. هذا الاصطلاح مشابه للاصطلاح المستخدم في الجمع: a + b يرمز إلى عملية جمع a و b وكذلك إلى نتيجة هذا الجمع ، والتي تُسمى مجموع a و b .

أي سلسلة غير متقاربة يقال إنها متباعدة أو متباعدة.

• مقلوبات الأعداد الصحيحة الموجبة تُنتج متسلسلة متباعدة ( متسلسلة توافقية ):

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty .}$

• يؤدي تبديل إشارات مقلوب الأعداد الصحيحة الموجبة إلى إنتاج متسلسلة متقاربة ( متسلسلة توافقية متناوبة ):

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)}$

• ينتج عن مقلوبات الأعداد الأولية سلسلة متباعدة (لذا فإن مجموعة الأعداد الأولية " كبيرة "؛ انظر تباعد مجموع مقلوبات الأعداد الأولية ):

  ${\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty .}$

• مقلوبات الأعداد المثلثية تُنتج متسلسلة متقاربة:

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2.}$

• مقلوبات المضروبات تُنتج متسلسلة متقاربة (انظر هـ ):

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots =e.}$

• مقلوبات الأعداد المربعة تُنتج متسلسلة متقاربة ( مسألة بازل ):

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.}$

• مقلوب قوى العدد 2 ينتج سلسلة متقاربة (لذا فإن مجموعة قوى العدد 2 " صغيرة ").

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.}$

• مقلوب قوى أي عدد n>1 ينتج عنه متسلسلة متقاربة:

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^{2}}+{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}+{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n-1}.}$

• يؤدي تبديل إشارات مقلوب قوى العدد 2 أيضًا إلى إنتاج متسلسلة متقاربة:

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots ={2 \over 3}.}$

• يؤدي تبديل إشارات مقلوب قوى أي عدد صحيح n>1 إلى إنتاج متسلسلة متقاربة:

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^{2}}-{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}-{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n+1}.}$

• مقلوب أعداد فيبوناتشي ينتج سلسلة متقاربة (انظر ψ ):

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =\psi .}$

هناك عدد من الطرق لتحديد ما إذا كانت المتسلسلة متقاربة أم متباعدة .

اختبار المقارنة . حدود المتتابعة${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$تتم مقارنتها بتلك الخاصة بتسلسل آخر${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$إذا كان، لكل n ،${\displaystyle 0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}}$، و${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$إذا تقاربت، فإن ذلك سيحدث أيضاً${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

لكن، إذا كان، بالنسبة لجميع قيم n ،${\displaystyle 0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}}$، و${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$إذا اختلف، فسيختلف كذلك${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

اختبار النسبة . افترض أنه لجميع قيم n ،${\displaystyle a_{n}}$ليس صفرًا. لنفترض أن هناك${\displaystyle r}$بحيث

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.}$

إذا كانت قيمة r أقل من 1، فإن المتسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا. أما إذا كانت قيمة r أكبر من 1، فإن المتسلسلة متباعدة. وإذا كانت قيمة r تساوي 1، فإن اختبار النسبة غير حاسم، وقد تكون المتسلسلة متقاربة أو متباعدة.

اختبار الجذر أو اختبار الجذر النوني . لنفترض أن حدود المتتالية المعنية غير سالبة . عرّف r كما يلي:

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

حيث يشير "lim sup" إلى النهاية العليا (ربما ∞؛ إذا كانت النهاية موجودة فهي نفس القيمة).

إذا كانت قيمة r أقل من 1، فإن المتسلسلة تتقارب. إذا كانت قيمة r أكبر من 1، فإن المتسلسلة تتباعد. أما إذا كانت قيمة r تساوي 1، فإن اختبار الجذر غير حاسم، وقد تتقارب المتسلسلة أو تتباعد.

يعتمد كل من اختبار النسبة واختبار الجذر على المقارنة مع متسلسلة هندسية، ولذا فهما يعملان في حالات متشابهة. في الواقع، إذا نجح اختبار النسبة (أي أن النهاية موجودة ولا تساوي 1)، فإن اختبار الجذر ينجح أيضًا؛ أما العكس فليس صحيحًا. لذلك، يُعد اختبار الجذر أكثر عمومية، ولكن عمليًا، غالبًا ما يصعب حساب النهاية لأنواع المتسلسلات الشائعة.

اختبار التكامل . يمكن مقارنة المتسلسلة بتكامل لتحديد التقارب أو التباعد. ليكن${\displaystyle f(n)=a_{n}}$لتكن دالة موجبة ومتناقصة بشكل رتيب . إذا

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}$

عندئذٍ تتقارب المتسلسلة. أما إذا تباعد التكامل، فإن المتسلسلة تتباعد أيضاً.

اختبار المقارنة الحدية . إذا${\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0}$والحد${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$إذا كان موجودًا وليس صفرًا، فإن${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$يتقارب إذا وفقط إذا${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$يتقارب.

اختبار المتسلسلة المتناوبة . يُعرف أيضًا باسم معيار لايبنتز ، وينص اختبار المتسلسلة المتناوبة على أنه بالنسبة لمتسلسلة متناوبة من الشكل${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}}$، لو${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$إذا كانت الدالة متناقصة بشكل رتيب ، ولها نهاية تساوي صفرًا عند اللانهاية، فإن المتسلسلة تتقارب.

اختبار كوشي للتكثيف . إذا${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$إذا كانت متتالية موجبة رتيبة متناقصة، فإن ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$يتقارب إذا وفقط إذا${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}}$يتقارب.

اختبار ديريشلي

اختبار أبيل

إذا كانت السلسلة${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$إذا تقاربت، فإن السلسلة${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$يُقال إنها متقاربة تقاربًا مطلقًا . كل متسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا (حقيقية أو مركبة) هي أيضًا متقاربة ، ولكن العكس غير صحيح. متسلسلة ماكلورين للدالة الأسية متقاربة تقاربًا مطلقًا لكل قيمة مركبة للمتغير.

إذا كانت السلسلة${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$تتقارب، لكن السلسلة${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ثم تتباعد السلسلة${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$متقاربة شرطيًا . متسلسلة ماكلورين للدالة اللوغاريتمية${\displaystyle \ln(1+x)}$متقاربة شرطياً لـ x = 1 (انظر متسلسلة ميركاتور ).

تنص نظرية ريمان للمتسلسلات على أنه إذا كانت متسلسلة ما متقاربة شرطيًا، فمن الممكن إعادة ترتيب حدودها بحيث تتقارب إلى أي قيمة، أو حتى تتباعد. أما نظرية أغنيو فتصف عمليات إعادة الترتيب التي تحافظ على التقارب لجميع المتسلسلات.

يترك${\displaystyle \left\{f_{1},\ f_{2},\ f_{3},\dots \right\}}$لتكن سلسلة من الدوال.${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$يقال إن المتتالية تتقارب بانتظام إلى f إذا كانت${\displaystyle \{s_{n}\}}$من المجاميع الجزئية المحددة بواسطة

${\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)}$

يتقارب بانتظام إلى f .

يوجد نظير لاختبار المقارنة لسلاسل الدوال اللانهائية يسمى اختبار فايرشتراس إم .

ينص معيار كوشي للتقارب على أن المتسلسلة

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

تتقارب إذا وفقط إذا كانت متتالية المجاميع الجزئية متتالية كوشي . هذا يعني أنه لكل${\displaystyle \varepsilon >0,}$يوجد عدد صحيح موجب${\displaystyle N}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle n\geq m\geq N}$لدينا

${\displaystyle \left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon .}$

هذا يعادل

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\left(\sup _{n>m}\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|\right)=0.}$

• التقارب الطبيعي
• قائمة المتسلسلات الرياضية

• "سلسلة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• وايسشتاين، إريك (2005). نظرية متسلسلة ريمان . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 مايو 2005.