مقدر غير متحيز ذو تباين أدنى

في الإحصاء ، المقدر غير المتحيز ذو التباين الأدنى (MVUE) أو المقدر غير المتحيز ذو التباين الأدنى بشكل منتظم (UMVUE) هو مقدر غير متحيز ذو تباين أقل من أي مقدر غير متحيز آخر لجميع القيم الممكنة للمعلمة.

في مسائل الإحصاء التطبيقية، من المهم تحديد متوسط ​​التباين غير المتحيز (MVUE) إن وُجد، إذ يُتجنب استخدام الإجراءات غير المثلى تلقائيًا، مع ثبات العوامل الأخرى. وقد أدى ذلك إلى تطور كبير في النظرية الإحصائية المتعلقة بمشكلة التقدير الأمثل.

في حين أن الجمع بين قيد عدم التحيز ومقياس الرغبة في أقل تباين يؤدي إلى نتائج جيدة في معظم الإعدادات العملية - مما يجعل MVUE نقطة انطلاق طبيعية لمجموعة واسعة من التحليلات - قد يكون للمواصفات المستهدفة أداء أفضل لمشكلة معينة؛ وبالتالي، فإن MVUE ليس دائمًا أفضل نقطة توقف.

ضع في اعتبارك تقدير${\displaystyle g(\theta )}$استنادًا إلى البيانات${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$مستقل ومتطابق التوزيع من أحد أفراد عائلة الكثافات${\displaystyle p_{\theta },\theta \in \Omega }$، أين$أوميغا$هي فضاء المعلمات. المُقدِّر${\displaystyle \delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ل${\displaystyle g(\theta )}$يكون غير متحيز إذا${\displaystyle \operatorname {E} (\delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}))=\operatorname {E} (g(\theta ))}$علاوة على ذلك، يكون المقدر غير المتحيز مقدرًا غير متحيز وغير متحيز (UMVUE) إذا${\displaystyle \forall \theta \in \Omega }$،

$${\displaystyle \operatorname {var} (\delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}))\leq \operatorname {var} ({\tilde {\delta }}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}))}$$

بالنسبة لأي مقدر آخر غير متحيز${\displaystyle {\tilde {\delta }}.}$

إذا كان هناك مقدر غير متحيز لـ${\displaystyle g(\theta )}$إذا وُجدت قيمة MVUE، فيمكن إثبات وجود قيمة MVUE فريدة جوهريًا. ^{[ 1 ]} باستخدام نظرية راو-بلاك ويل، يمكن أيضًا إثبات أن تحديد قيمة MVUE هو ببساطة مسألة إيجاد إحصائية كافية كاملة للعائلة.${\displaystyle p_{\theta },\theta \in \Omega }$وفرض أي تقدير غير متحيز عليه.

علاوة على ذلك، وبحسب نظرية ليمان-شيفيه ، فإن المقدر غير المتحيز الذي هو دالة لإحصائية كاملة وكافية هو UMVUE.

بصورة رسمية، لنفترض${\displaystyle \delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$محايد لـ${\displaystyle g(\theta )}$وذلك${\displaystyle T}$هي إحصائية كافية وكاملة لمجموعة الكثافات. إذن

$${\displaystyle \eta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})=\operatorname {E} (\delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})\mid T)\,}$$

هو MVUE لـ${\displaystyle g(\theta ).}$

إن النظير البايزي هو مقدر بايز ، وخاصة مع الحد الأدنى لمتوسط ​​مربع الخطأ (MMSE).

ليس بالضرورة أن يوجد مُقدِّر كفء ، ولكن إذا وُجد وكان غير متحيز، فهو المُقدِّر ذو التباين الأدنى غير المُتحيز (MVUE). بما أن متوسط ​​مربع الخطأ (MSE) للمُقدِّر δ هو

$${\displaystyle \operatorname {MSE} (\delta )=\operatorname {var} (\delta )+[\operatorname {bias} (\delta )]^{2}\ }$$

يُقلل مُقدِّر التباين الأدنى غير المتحيز (MVUE) من متوسط ​​مربع الخطأ (MSE) بين المُقدِّرات غير المتحيزة . في بعض الحالات، يكون متوسط ​​مربع الخطأ للمُقدِّرات المتحيزة أقل لأن تباينها أصغر من تباين أي مُقدِّر غير متحيز؛ انظر تحيز المُقدِّر .

اعتبر البيانات بمثابة مشاهدة واحدة من توزيع متصل تمامًا على${\displaystyle \mathbb {R} }$ بكثافة

$${\displaystyle p_{\theta }(x)={\frac {\theta e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{\theta +1}}},}$$

حيث θ > 0، ونرغب في إيجاد مقدِّر UMVU لـ

$${\displaystyle g(\theta )={\frac {1}{\theta ^{2}}}}$$

أولاً، ندرك أن الكثافة يمكن كتابتها على النحو التالي

$${\displaystyle {\frac {e^{-x}}{1+e^{-x}}}\exp \left(-\theta \log(1+e^{-x})+\log(\theta )\right)}$$

وهي عائلة أسية ذات إحصائية كافية${\displaystyle T=\log(1+e^{-X})}$في الواقع، هذه عائلة أسية كاملة الرتبة، وبالتالي${\displaystyle T}$كافية تمامًا. انظر إلى عائلة الدوال الأسية للاطلاع على اشتقاق يوضح

$${\displaystyle \operatorname {E} (T)={\frac {1}{\theta }},\quad \operatorname {var} (T)={\frac {1}{\theta ^{2}}}}$$

لذلك،

$${\displaystyle \operatorname {E} (T^{2})={\frac {2}{\theta ^{2}}}}$$

نستخدم هنا نظرية ليمان-شيفيه للحصول على أفضل تقدير للقيمة المطلقة. من الواضح،${\displaystyle \delta (X)=T^{2}/2}$محايد و${\displaystyle T=\log(1+e^{-X})}$بما أن المقدر كامل وكافٍ، فإن مقدر UMVU هو

$${\displaystyle \eta (X)=\operatorname {E} (\delta (X)\mid T)=\operatorname {E} \left(\left.{\frac {T^{2}}{2}}\,\right|\,T\right)={\frac {T^{2}}{2}}={\frac {\log \left(1+e^{-X}\right)^{2}}{2}}}$$

يوضح هذا المثال أن الدالة غير المتحيزة للإحصاء الكافي الكامل ستكون UMVU، كما تنص عليه نظرية ليمان-شيفيه .

• بالنسبة للتوزيع الطبيعي ذي المتوسط ​​والتباين غير المعروفين، فإن متوسط ​​العينة وتباين العينة (غير المتحيز) هما متوسط ​​التباين غير المتحيز لمتوسط ​​المجتمع وتباين المجتمع.

  ومع ذلك، فإن الانحراف المعياري للعينة ليس غير متحيز بالنسبة للانحراف المعياري للمجتمع - انظر التقدير غير المتحيز للانحراف المعياري .

  علاوة على ذلك، بالنسبة للتوزيعات الأخرى، فإن متوسط ​​العينة وتباين العينة ليسا بشكل عام MVUEs - بالنسبة للتوزيع المنتظم ذي الحدود العليا والسفلى غير المعروفة، فإن المدى المتوسط ​​هو MVUE لمتوسط ​​المجتمع.

• إذا تم اختيار k من الأمثلة (بدون استبدال) من توزيع منتظم منفصل على المجموعة {1،  2،  ...، N } بحد أعلى غير معروف N ، فإن MVUE لـ N هو: $${\displaystyle {\frac {k+1}{k}}m-1,}$$حيث m هي القيمة القصوى للعينة . هذا تحويل مُقاس ومُزاح (وبالتالي غير متحيز) للقيمة القصوى للعينة، وهو إحصائية كافية وكاملة. انظر مسألة الدبابة الألمانية لمزيد من التفاصيل.

• متجه إلى كرامر-راو
• أفضل مقدر خطي غير متحيز (BLUE)
• المفاضلة بين التحيز والتباين
• نظرية ليمان-شيفيه
• إحصائية يو