متوسط ​​المدى

في الإحصاء ، يعتبر المدى المتوسط ​​أو المدى المتوسط ​​مقياسًا للنزعة المركزية لعينة ما، ويُعرف بأنه المتوسط ​​الحسابي للقيم القصوى والدنيا لمجموعة البيانات : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle M={\frac {\max x+\min x}{2}}.}$

يرتبط المدى المتوسط ​​ارتباطًا وثيقًا بالمدى ، وهو مقياس للتشتت الإحصائي يُعرَّف بأنه الفرق بين القيمتين القصوى والدنيا. ويُكمِّل هذان المقياسان بعضهما بعضًا، فإذا عُرف المدى المتوسط ​​والمدى، أمكن إيجاد القيمتين القصوى والدنيا للعينة.

نادرًا ما يُستخدم المدى المتوسط ​​في التحليل الإحصائي العملي، نظرًا لافتقاره إلى الكفاءة كمُقدِّر لمعظم التوزيعات ذات الأهمية، لأنه يتجاهل جميع النقاط الوسيطة، كما يفتقر إلى المتانة ، إذ تُغيِّره القيم الشاذة بشكل كبير. في الواقع، يُعدّ من أقل الإحصاءات كفاءةً ومتانةً للعديد من التوزيعات. مع ذلك، يُستخدم في بعض الحالات الخاصة: فهو المُقدِّر الأمثل لمركز التوزيع المنتظم، وتُعالج المدى المتوسط ​​المُقَصَّص المتانة، وباعتباره مُقدِّرًا من نوع L ، فهو سهل الفهم والحساب.

يُعدّ المدى المتوسط ​​شديد الحساسية للقيم المتطرفة، ويتجاهل جميع نقاط البيانات باستثناء نقطتين. ولذلك، فهو إحصائية غير قوية ، إذ تبلغ نقطة انهياره صفرًا، ما يعني أن أي قيمة مُلاحظة واحدة يُمكن أن تُغيّره بشكلٍ عشوائي. علاوة على ذلك، يتأثر بشدة بالقيم المتطرفة: فزيادة الحد الأقصى للعينة أو تقليل الحد الأدنى لها بمقدار x يُغيّر المدى المتوسط ​​بمقدار x.${\displaystyle x/2,}$بينما يغير ذلك متوسط ​​العينة، الذي له أيضًا نقطة انهيار عند الصفر، بمقدار واحد فقط${\displaystyle x/n.}$وبالتالي، فإن فائدته ضئيلة في الإحصاءات العملية، إلا إذا تم التعامل مع القيم المتطرفة بالفعل.

يُعرف المدى المتوسط ​​المُقَصَّر باسمالملخص المتوسط ​​–يُمثل متوسط ​​المدى المُقَلَّص بنسبةnn% و(100-n%)، وهو أكثر دقةً نظرًا لوجودنقطة فاصلةعندn%. يقع في منتصف هذه القيم نقطةالمنتصف، وهي الملخص المتوسط ​​بنسبة 25%.الوسيطعلى أنه متوسط ​​المدى المُقَلَّص بالكامل (50%)؛ وهذا يتوافق مع الاصطلاح القائل بأن وسيط عدد زوجي من النقاط هو متوسط ​​النقطتين الوسطيتين.

تُعدّ هذه المتوسطات المُقَصَّصة ذات أهمية أيضاً كإحصاءات وصفية أو كمُقدِّرات L للموقع المركزي أو الالتواء : إذ تُعطي فروق الملخصات المتوسطة، مثل الفرق بين نقطة المنتصف والوسيط، مقاييس للالتواء عند نقاط مختلفة في الذيل. ^{[ 2 ]}

على الرغم من عيوبه، إلا أنه مفيد في بعض الحالات: المدى المتوسط ​​هو مقدر فعال للغاية لـ μ، بالنظر إلى عينة صغيرة من توزيع مسطح بشكل كافٍ ، ولكنه غير فعال بالنسبة للتوزيعات متوسطة التفرطح ، مثل التوزيع الطبيعي.

على سبيل المثال، في حالة التوزيع المنتظم المستمر ذي القيمتين العظمى والصغرى غير المعروفتين، يُعدّ المدى المتوسط ​​هو مُقدِّر التباين الأدنى المنتظم غير المتحيز (UMVU) للمتوسط. تُشكّل القيمتان العظمى والصغرى للعينة، بالإضافة إلى حجم العينة، إحصائية كافية للقيمتين العظمى والصغرى للمجتمع الإحصائي. أما توزيع العينات الأخرى، المشروط بقيمة عظمى وصغرى مُعطاة، فهو ببساطة التوزيع المنتظم بين القيمتين العظمى والصغرى، وبالتالي لا يُضيف أي معلومات. انظر مسألة الدبابة الألمانية لمزيد من التفاصيل. وهكذا، فإن المدى المتوسط، وهو مُقدِّر غير متحيز وكافٍ لمتوسط ​​المجتمع الإحصائي، هو في الواقع مُقدِّر التباين الأدنى المنتظم غير المتحيز (UMVU): استخدام متوسط ​​العينة يُضيف تشويشًا بناءً على التوزيع غير المُفيد للنقاط ضمن هذا المدى.

في المقابل، بالنسبة للتوزيع الطبيعي، يُعدّ متوسط ​​العينة مُقدِّر UMVU للمتوسط. لذا، بالنسبة للتوزيعات المُسطَّحة، والتي يُمكن اعتبارها غالبًا بين التوزيع المنتظم والتوزيع الطبيعي، تتفاوت أهمية نقاط العينة الوسطى مُقارنةً بالقيم القصوى من "متساوية" في التوزيع الطبيعي إلى "غير مُفيدة" في التوزيع المنتظم، وبالنسبة للتوزيعات المختلفة، قد يكون أحدهما (أو مزيج منهما) هو الأكثر كفاءة. ويُعدّ المتوسط ​​الثلاثي نظيرًا قويًا ، حيث يُحسب متوسط ​​نقطة المنتصف (بعد اقتطاع 25% من المدى الأوسط) والوسيط.

بالنسبة لعينة بحجم n من التوزيع الطبيعي القياسي ، فإن المدى المتوسط ​​M غير متحيز، وله تباين معطى بواسطة: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \operatorname {var} (M)={\frac {\pi ^{2}}{24\ln(n)}}.}$

بالنسبة لعينة بحجم n من توزيع لابلاس القياسي ، فإن متوسط ​​المدى M غير متحيز، وله تباين معطى بواسطة: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \operatorname {var} (M)={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$

وعلى وجه الخصوص، فإن التباين لا ينخفض ​​إلى الصفر مع نمو حجم العينة.

بالنسبة لعينة بحجم n من توزيع منتظم مركزه الصفر ، فإن متوسط ​​المدى M غير متحيز، و nM له توزيع تقاربي وهو توزيع لابلاس . ^{[ 7 ]}

بينما يقلل متوسط ​​مجموعة من القيم من مجموع مربعات الانحرافات ، ويقلل الوسيط من متوسط ​​الانحراف المطلق ، فإن المدى المتوسط ​​يقلل من أقصى انحراف (المُعرَّف على أنه${\displaystyle \max \left|x_{i}-m\right|}$): إنه حل لمسألة حساب التفاضل والتكامل .

• النطاق (الإحصائيات)
• ميدهينج