توزيع منتظم منفصل

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يُعرف التوزيع المنتظم المتقطع بأنه توزيع احتمالي متماثل، حيث يكون احتمال ظهور كل قيمة من بين عدد صحيح محدود n من قيم النتائج متساوياً. وبالتالي، فإن احتمال ظهور كل قيمة من قيم النتائج n هو 1/ n . وبشكل بديهي، فإن التوزيع المنتظم المتقطع هو "عدد معلوم ومحدود من النتائج، جميعها متساوية الاحتمال".

يُعدّ رمي نرد سداسي الأوجه مثالًا بسيطًا على التوزيع المنتظم المتقطع . القيم الممكنة هي 1، 2، 3، 4، 5، 6، وفي كل مرة يُرمى فيها النرد، يكون احتمال كل قيمة مُعطاة هو 1/6. إذا رُمي نردان وجُمعت قيمتاهما، فلن تكون احتمالات المجموعين متساوية، وبالتالي فإن توزيع مجموع رميتي النرد ليس منتظمًا.

على الرغم من شيوع اعتبار التوزيعات المنتظمة المنفصلة على نطاق متصل من الأعداد الصحيحة، كما في مثال النرد ذي الستة أوجه، إلا أنه يمكن تعريف التوزيعات المنتظمة المنفصلة على أي مجموعة منتهية . فعلى سبيل المثال، يمكن أن يحمل النرد ذو الستة أوجه رموزًا مجردة بدلًا من الأرقام على كل وجه من أوجهه. وبشكل أكثر تبسيطًا، فإن التبديل العشوائي هو تبديل مُوَلَّد عشوائيًا وبشكل منتظم من تباديل مجموعة معينة، والشجرة الممتدة المنتظمة للرسم البياني هي شجرة ممتدة مختارة باحتمالات منتظمة من المجموعة الكاملة للأشجار الممتدة للرسم البياني.

التوزيع المنتظم المتقطع نفسه غير معلمي . ومع ذلك، في الحالة الشائعة التي تكون فيها قيم نتائجه المحتملة هي الأعداد الصحيحة في فترة${\textstyle [a,b]}$إذن، فإن a و b هما معلمات التوزيع و${\textstyle n=b-a+1.}$في هذه الحالات، يمكن التعبير عن دالة التوزيع التراكمي (CDF) للتوزيع المنتظم المتقطع، لأي قيمة k ، على النحو التالي:

$${\displaystyle F(k;a,b)=\min \left(\max \left({\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}},0\right),1\right),}$$

أو ببساطة

$${\displaystyle F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}}$$

بشأن دعم التوزيع${\textstyle k\in [a,b].}$

مشكلة تقدير الحد الأقصى${\displaystyle N}$لتوزيع منتظم منفصل على الفترة الصحيحة${\displaystyle [1,N]}$من عينة من k من الملاحظات، تُعرف عادة باسم مشكلة الدبابات الألمانية ، وذلك بعد التطبيق العملي لمشكلة التقدير الأقصى هذه، خلال الحرب العالمية الثانية ، من قبل قوات الحلفاء التي تسعى إلى تقدير إنتاج الدبابات الألمانية.

مقدر التباين الأدنى الموحد غير المتحيز (UMVU) للحد الأقصى للتوزيع بدلالة m، الحد الأقصى للعينة ، و k، حجم العينة ، هو ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1.}$$

يمكن اعتبار هذا حالة بسيطة للغاية لتقدير أقصى مسافة بين العناصر .

وهذا له تباين قدره ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{k}}{\frac {(Nk)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ للعينات الصغيرة }}k\ll N}$$ لذا فإن الانحراف المعياري يبلغ تقريبًا${\displaystyle {\tfrac {N}{k}}}$، متوسط ​​حجم الفجوة بين العينات على مستوى السكان.

الحد الأقصى للعينة${\displaystyle m}$هو نفسه مقدر الاحتمال الأقصى لأقصى قيمة للسكان، ولكنه متحيز.

إذا لم يتم ترقيم العينات من توزيع منتظم منفصل بالترتيب ولكن يمكن التعرف عليها أو وضع علامات عليها، فيمكن للمرء بدلاً من ذلك تقدير حجم السكان من خلال طريقة وضع العلامات وإعادة الالتقاط .

انظر إلى أرقام اللقاءات للحصول على شرح لتوزيع الاحتمالات لعدد النقاط الثابتة لتبديل عشوائي موزع بشكل منتظم .

عائلة التوزيعات المنفصلة المنتظمة على نطاقات الأعداد الصحيحة مع أحد الحدود أو كليهما غير معروف لها إحصائية كافية ذات أبعاد محدودة ، وهي ثلاثية الحد الأقصى للعينة، والحد الأدنى للعينة، وحجم العينة.

لا تشكل التوزيعات المنفصلة المنتظمة على نطاقات الأعداد الصحيحة المحدودة عائلة أسية من التوزيعات لأن نطاقها يتغير بتغير معلماتها.

بالنسبة لعائلات التوزيعات التي لا تعتمد أبعادها على معاييرها، تنص نظرية بيتمان-كوبمان-دارموا على أن العائلات الأسية فقط هي التي تمتلك إحصائيات كافية ذات أبعاد محدودة مع ازدياد حجم العينة. وبالتالي، يُعد التوزيع المنتظم مثالًا بسيطًا يُبين ضرورة شروط هذه النظرية.

• توزيع ديراك دلتا
• التوزيع المنتظم المستمر