مقلوب الأعداد الأولية

حظيت مقلوبات الأعداد الأولية باهتمام علماء الرياضيات لأسباب عديدة. فهي لا تملك مجموعًا منتهيًا ، كما أثبت ليونارد أويلر في عام 1737.

باعتبارها أعدادًا نسبية ، فإن مقلوبات الأعداد الأولية لها تمثيلات عشرية دورية . في سنواته الأخيرة، انصب اهتمام جورج سالمون (1819-1904) على الدورات الدورية لهذه التمثيلات العشرية لمقلوبات الأعداد الأولية. ^{[ 1 ]}

في الوقت نفسه، قام ويليام شانكس (1812-1882) بحساب العديد من مقلوبات الأعداد الأولية وفتراتها الدورية، ونشر ورقتين بحثيتين بعنوان "حول فترات مقلوبات الأعداد الأولية" في عامي 1873 ^{[ 2 ]} و1874. ^{[ 3 ]} وفي عام 1874، نشر أيضًا جدولًا للأعداد الأولية وفترات مقلوباتها حتى 20000 (بمساعدة القس جورج سالمون، وبإبلاغه)، وأشار إلى الأخطاء في جداول سابقة لثلاثة مؤلفين آخرين. ^{[ 4 ]}

الجزء الأخير من جدول شانكس للأعداد الأولية وفترات تكرارها لعام ١٨٧٤. في الصف العلوي، يجب أن يكون العدد ٦٩٥٢ هو ٦٥٩٢ (يسهل اكتشاف الخطأ، لأن دورة العدد الأولي p تقسم p − ١ ). في تقريره الذي وسّع فيه الجدول إلى ٣٠٠٠٠ في العام نفسه، لم يذكر شانكس هذا الخطأ، لكنه ذكر أنه في العمود نفسه، مقابل ١٩٨٤١، يجب أن يكون ١٩٨٤ هو ٦٤. *خطأ آخر ربما تم تصحيحه منذ نشر عمله هو مقابل ١٩٤٢٣ - يتكرر مقلوبه كل ٦٤٧٤ رقمًا، وليس كل ٣٢٣٧.

وضع جيمس ويتبريد لي جلايشر قواعد لحساب دورات الأعداد العشرية الدورية من الكسور النسبية في عام 1878. ^{[ 5 ]} بالنسبة لعدد أولي p ، فإن دورة مقلوبه تقسم p − 1. ^{[ 6 ]}

يظهر تسلسل فترات التكرار للأعداد الأولية المقلوبة (التسلسل A002371 في OEIS ) في كتيب تسلسلات الأعداد الصحيحة لعام 1973.

* الأعداد الأولية المتكررة بالكاملمكتوبة بخط مائل. †الأعداد الأولية الفريدة مميزة.

العدد الأولي المتكرر الكامل ، أو العدد الأولي الصحيح ^{[ 7 ] : 166} أو العدد الأولي الطويل في الأساس b، هو عدد أولي فردي p بحيث يكون حاصل قسمة فيرما

${\displaystyle q_{p}(b)={\frac {b^{p-1}-1}{p}}}$

(حيث لا يقسم p العدد b ) يعطي عددًا دوريًا مكونًا من p - 1 رقمًا. لذلك، فإن توسيع الأساس b لـ  ${\displaystyle 1/p}$يكرر أرقام العدد الدوري المقابل إلى ما لا نهاية.

يُسمى العدد الأولي p (حيث p ≠ 2 أو 5 عند استخدام النظام العشري) عددًا فريدًا إذا لم يوجد عدد أولي آخر q بحيث يكون طول دورة مقلوبه العشري ، 1/ p ، مساويًا لطول دورة مقلوب q ، 1/ q . ^{[ 8 ]} على سبيل المثال، 3 هو العدد الأولي الوحيد ذو الدورة 1، و11 هو العدد الأولي الوحيد ذو الدورة 2، و37 هو العدد الأولي الوحيد ذو الدورة 3، و101 هو العدد الأولي الوحيد ذو الدورة 4، لذا فهي أعداد أولية فريدة. العدد الأولي الفريد الأكبر التالي هو 9091 ذو الدورة 10، بينما العدد ذو الدورة الأكبر التالي هو 9 (عدده الأولي هو 333667). وصف صموئيل ييتس الأعداد الأولية الفريدة في عام 1980. ^{[ 9 ]} يكون العدد الأولي p فريدًا إذا وفقط إذا وُجد عدد أولي n بحيث

${\displaystyle {\frac {\Phi _{n}(10)}{\gcd(\Phi _{n}(10),n)}}}$

هي قوة لـ p ، حيث${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$يشير إلى${\displaystyle n}$متعددة الحدود الدائرية رقم 1 التي تم تقييمها عند${\displaystyle b}$إذن ، قيمة n هي دورة التوسع العشري لـ 1/ p . ^{[ 10 ]}

يُعرف حاليًا أكثر من خمسين عددًا أوليًا فريدًا أو عددًا أوليًا محتملًا في النظام العشري. ومع ذلك، لا يوجد سوى ثلاثة وعشرين عددًا أوليًا فريدًا أقل من 10^ ¹⁰⁰ .

الأعداد الأولية الفريدة العشرية هي

3، 11، 37، 101، 9091، 9901، 333667، 909091، ... (التسلسل A040017 في OEIS ) .

• باركر، مات (14 مارس 2022). "مقلوبات الأعداد الأولية - نامبرفايل" . يوتيوب .