العدد النسبي

في الرياضيات ، العدد النسبي هو عدد يمكن التعبير عنه كحاصل قسمة أو كسر .${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$كسر من عددين صحيحين ، بسطه p ومقامه q غير صفري. ^{[ 1 ]} على سبيل المثال ،${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$هو عدد نسبي، كما هو الحال مع كل عدد صحيح (على سبيل المثال،${\displaystyle -5={\tfrac {-5}{1}}}$تُعرف مجموعة جميع الأعداد النسبية غالبًا باسم " الأعداد النسبية " ^{[ 2 ]} ، وهي مجموعة مغلقة تحت عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة على عدد نسبي غير صفري. وهي حقلٌ يخضع لهذه العمليات ، ولذلك تُسمى أيضًا حقل الأعداد النسبية ^{[ 3 ]} أو حقل الأعداد النسبية . ويُرمز لها عادةً بالرمز Q الغامق ، أو الخط الغامق على السبورة .${\displaystyle \mathbb {Q} .}$⁠

العدد النسبي هو عدد حقيقي . الأعداد الحقيقية النسبية هي تلك التي ينتهي تمثيلها العشري بعد عدد محدود من الأرقام (مثال: 3/4 = 0.75 )، أو تبدأ بتكرار نفس التسلسل المحدود من الأرقام بشكل متكرر (مثال: 9/44 = 0.20454545... ). ^{[ 4 ]} هذه العبارة صحيحة ليس فقط في النظام العشري ، بل في جميع أنظمة العد الأخرى ، مثل النظام الثنائي والنظام الست عشري (انظر: الأعداد العشرية المتكررة §  التوسع إلى أنظمة أخرى ).

يُطلق على العدد الحقيقي غير النسبي اسم العدد غير النسبي . ^{[ 5 ]} تشمل الأعداد غير النسبية الجذر التربيعي للعدد 2 (${\displaystyle {\sqrt {2}}}$) ، π ، e ، والنسبةالذهبية(φ). بما أن مجموعة الأعداد النسبيةقابلة للعد، ومجموعة الأعداد الحقيقيةغير قابلة للعد،فإن جميعالأعداد الحقيقية تقريبًا هي أعداد غير نسبية. ^{[ 1 ]}

حقل الأعداد النسبية هو الحقل الوحيد الذي يحتوي على الأعداد الصحيحة ، وهو مُحتوى في أي حقل يحتوي على الأعداد الصحيحة. بعبارة أخرى، حقل الأعداد النسبية هو حقل أولي . يكون للحقل خاصية صفرية إذا وفقط إذا كان يحتوي على الأعداد النسبية كحقل جزئي. امتدادات منتهية لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$تُسمى هذه الحقول بحقول الأعداد الجبرية ، والإغلاق الجبري لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠ هو حقل الأعداد الجبرية . ^{[ 6 ]}

في التحليل الرياضي ، تُشكّل الأعداد النسبية مجموعةً جزئيةً كثيفةً من الأعداد الحقيقية. ويمكن بناء الأعداد الحقيقية من الأعداد النسبية عن طريق الإكمال ، باستخدام متتابعات كوشي ، أو قطوع ديديكيند ، أو الأعداد العشرية اللانهائية (انظر بناء الأعداد الحقيقية ).

في الرياضيات، يُستخدم مصطلح "نسبي" غالبًا كاسم اختصار لـ "عدد نسبي". وتعني الصفة " نسبي " أحيانًا أن المعاملات أعداد نسبية. على سبيل المثال، النقطة النسبية هي نقطة ذات إحداثيات نسبية (أي نقطة إحداثياتها أعداد نسبية)؛ والمصفوفة النسبية هي مصفوفة من الأعداد النسبية، مع أنها قد تشير أحيانًا إلى مصفوفة عناصرها دوال نسبية؛ وقد تكون كثيرة الحدود النسبية كثيرة حدود ذات معاملات نسبية، مع أن مصطلح "كثيرة حدود على الأعداد النسبية" هو الأكثر شيوعًا لتجنب الخلط بين " التعبير النسبي " و" الدالة النسبية " ( فكثيرة الحدود هي تعبير نسبي وتُعرّف دالة نسبية، حتى لو لم تكن معاملاتها أعدادًا نسبية). ومع ذلك، فإن المنحنى النسبي ليس منحنى مُعرّفًا على الأعداد النسبية، بل هو منحنى يمكن تمثيله بدوال نسبية.

الكسر المستمر المحدود هو تعبير مثل

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}},}$

حيث n أعداد صحيحة. كل عدد _نسبي${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$يمكن تمثيلها ككسر مستمر محدود،ويمكن تحديد معاملاته a _n عن طريق تطبيق خوارزمية إقليدس على ( a, b ) .

• الكسر المشترك :${\displaystyle {\tfrac {8}{3}}}$⁠
• عدد مختلط :${\displaystyle 2{\tfrac {2}{3}}}$⁠
• الفاصلة العشرية الدورية باستخدام علامة الربط :${\displaystyle 2.{\overline {6}}}$
• كتابة الأعداد العشرية المتكررة باستخدام الأقواس :${\displaystyle 2.(6)}$
• الكسر المستمر باستخدام الطباعة التقليدية:${\displaystyle 2+{\tfrac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}}}}$
• الكسر المستمر في صيغة مختصرة:${\displaystyle [2;1,2]}$
• الكسر المصري :${\displaystyle 2+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}}$
• تحليل القوى الأولية :${\displaystyle 2^{3}\times 3^{-1}}$
• علامة الاقتباس :${\displaystyle 3'6}$

هناك طرق مختلفة لتمثيل نفس القيمة النسبية.

يمكن بناء الأعداد النسبية كفئات تكافؤ لأزواج مرتبة من الأعداد الصحيحة . ^{[ 13 ] [ 14 ]}

وبشكل أدق، دع${\displaystyle (\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\}))}$لتكن مجموعة أزواج الأعداد الصحيحة ( m, n ) حيث n ≠ 0. تُعرَّف علاقة تكافؤ على هذه المجموعة كمايلي :

${\displaystyle (m_{1},n_{1})\sim (m_{2},n_{2})\iff m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$^{[ 13 ] [ 14 ]}

يمكن تعريف الجمع والضرب بالقواعد التالية:

${\displaystyle (m_{1},n_{1})+(m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2}),}$

${\displaystyle (m_{1},n_{1})\times (m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}m_{2},n_{1}n_{2}).}$^{[ 13 ]}

تُعدّ علاقة التكافؤ هذه علاقة تطابق ، مما يعني أنها متوافقة مع عمليتي الجمع والضرب المعرّفتين أعلاه؛ مجموعة الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$يُعرَّف بأنه مجموعة خارج القسمة التي تحددها علاقة التكافؤ هذه ،${\displaystyle (\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \backslash \{0\}))/\sim ,}$مزودًا بعمليتي الجمع والضرب الناتجتين عن العمليات المذكورة أعلاه. (يمكن تنفيذ هذا البناء مع أي مجال تكاملي وينتج عنه حقل الكسور الخاص به .) ^{[ 13 ]}

يُرمز إلى فئة التكافؤ للزوج ( م، ن ) بـ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}.}$_ينتمي زوجان ( m1 _, n1 ₎ و ( m2 _, n2 ) إلى نفس فئة التكافؤ (أي أنهما متكافئان ) إذا وفقط إذا

${\displaystyle m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$

هذا يعني أن

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}={\frac {m_{2}}{n_{2}}}}$

إذا وفقط إذا ^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$

كل فئة تكافؤ ⁠${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$يمكن تمثيلها بعدد لا نهائي من الأزواج، لأن

${\displaystyle \cdots ={\frac {-2m}{-2n}}={\frac {-m}{-n}}={\frac {m}{n}}={\frac {2m}{2n}}=\cdots .}$

تحتوي كل فئة تكافؤ على عنصر تمثيلي معياري فريد . هذا العنصر هو الزوج الوحيد ( م، ن ) في فئة التكافؤ حيث يكون م و ن أوليين فيما بينهما ، و ن > 0. ويُسمى هذا التمثيل بأبسط صورة للعدد النسبي.

يمكن اعتبار الأعداد الصحيحة أعدادًا نسبية، حيث يتم تعريف العدد الصحيح n بالعدد النسبي .${\displaystyle {\tfrac {n}{1}}.}$⁠

يمكن تعريف ترتيب كلي على الأعداد النسبية، وهو ترتيب يمتد من الترتيب الطبيعي للأعداد الصحيحة. لدينا

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}\leq {\frac {m_{2}}{n_{2}}}}$

لو

${\displaystyle {\begin{aligned}&(n_{1}n_{2}>0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2})\\&\qquad {\text{or}}\\&(n_{1}n_{2}<0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}).\end{aligned}}}$

المجموعة​${\displaystyle \mathbb {Q} }$يشكل كل الأعداد النسبية، بالإضافة إلى عمليات الجمع والضرب الموضحة أعلاه، حقلاً . ^{[ 13 ]}

⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$لا يوجد أي تشاكل حقلي آخر غير التطابق. (يجب أن يثبت التشاكل الحقلي 0 و1؛ وبما أنه يجب أن يثبت مجموع وفرق عنصرين ثابتين، فيجب أن يثبت كل عدد صحيح؛ وبما أنه يجب أن يثبت خارج قسمة عنصرين ثابتين، فيجب أن يثبت كل عدد نسبي، وبالتالي فهو التطابق.)

⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$الحقل الأولي هو حقللا يحتوي على أي حقل جزئي آخر غير نفسه. ^{[ 15 ]} الأعداد النسبية هي أصغر حقل له خاصية صفر. كل حقل له خاصية صفر يحتوي على حقل جزئي وحيد متماثل مع الحقل الأولي.${\displaystyle \mathbb {Q} .}$⁠

وفقًا للترتيب المحدد أعلاه ،${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠ حقل مرتب ^{[ 14 ]} ليس له حقل جزئي آخر غير نفسه، وهو أصغر حقل مرتب، بمعنى أن كل حقل مرتب يحتوي على حقل جزئي فريد متماثل مع ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} .}$⁠

⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠ هو حقل كسور الأعداد الصحيحة ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} .}$[ ^{16 ]} الإغلاق الجبري لـ^​​${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$أي حقل جذور كثيرات الحدود النسبية، هو حقل الأعداد الجبرية .

الأعداد النسبية هي مجموعة مرتبة بكثافة : بين أي عددين نسبيين، يوجد عدد نسبي آخر، وبالتالي، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد النسبية الأخرى. ^{[ 13 ]} على سبيل المثال، لأي كسرين بحيث

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$

(أين${\displaystyle b,d}$(إيجابية)، لدينا

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}.}$

أي مجموعة مرتبة ترتيباً كلياً قابلة للعد، وكثيفة (بالمعنى المذكور أعلاه)، ولا تحتوي على عنصر أصغر أو أكبر، تكون متماثلة ترتيبياً مع الأعداد النسبية. ^{[ 17 ]}

قابلية العد

مجموعة الأعداد النسبية الموجبة قابلة للعد ، كما هو موضح في الشكل.

بتعبير أدق، يمكن ترتيب الكسور تصاعديًا حسب مجموع البسط والمقام، وفي حالة تساوي المجموع، يُرتب البسط أو المقام تصاعديًا. ينتج عن ذلك متتالية من الكسور يمكن من خلالها حذف الكسور القابلة للاختزال (الموضحة باللون الأحمر في الشكل)، فنحصل على متتالية تحتوي على كل عدد نسبي مرة واحدة فقط. وهذا يُنشئ تقابلًا بين الأعداد النسبية والأعداد الطبيعية، حيث يُطابق كل عدد نسبي رتبته في المتتالية.

يمكن استخدام طريقة مماثلة لترقيم جميع الأعداد النسبية (الموجبة والسالبة).

بما أن مجموعة جميع الأعداد النسبية قابلة للعد، ومجموعة جميع الأعداد الحقيقية (وكذلك مجموعة الأعداد غير النسبية) غير قابلة للعد، فإن مجموعة الأعداد النسبية هي مجموعة فارغة ، أي أن جميع الأعداد الحقيقية تقريبًا غير نسبية، بمعنى مقياس ليبيغ . ^{[ 18 ]}

الأعداد النسبية هي مجموعة جزئية كثيفة من الأعداد الحقيقية ؛ لكل عدد حقيقي أعداد نسبية قريبة منه كيفما شاء. ^{[ 13 ]} ومن الخصائص المرتبطة بذلك أن الأعداد النسبية هي الأعداد الوحيدة التي لها توسعات منتهية على شكل كسور مستمرة منتظمة . ^{[ 19 ]}

في الطوبولوجيا المعتادة للأعداد الحقيقية، لا تعتبر الأعداد النسبية مجموعة مفتوحة ولا مجموعة مغلقة . ^{[ 20 ]}

بحكم ترتيبها، تحمل الأعداد النسبية طوبولوجيا ترتيبية . كما تحمل الأعداد النسبية، باعتبارها فضاءً جزئياً من الأعداد الحقيقية، طوبولوجيا فضاء جزئي . وتشكل الأعداد النسبية فضاءً مترياً باستخدام مقياس الفرق المطلق.${\displaystyle d(x,y)=|x-y|,}$وهذا ينتج عنه بنية طوبولوجية ثالثة على${\displaystyle \mathbb {Q} .}$تتطابق جميع الطوبولوجيات الثلاث ، مما يحوّل الأعداد النسبية إلى حقل طوبولوجي . تُعدّ الأعداد النسبية مثالًا هامًا على فضاء غير متراص محليًا . تتميز الأعداد النسبية طوبولوجيًا بأنها الفضاء الوحيد القابل للعد والقياس، والذي يخلو من النقاط المعزولة . كما أن هذا الفضاء منفصل تمامًا . لا تُشكّل الأعداد النسبية فضاءً متريًا كاملًا ، بينما تُمثّل الأعداد الحقيقية إكمالًا له .${\displaystyle \mathbb {Q} }$تحت المقياس${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$أعلاه. ^{[ 14 ]}

بالإضافة إلى مقياس القيمة المطلقة المذكور أعلاه، توجد مقاييس أخرى تتحول إلى${\displaystyle \mathbb {Q} }$إلى حقل طوبولوجي:

ليكن p عددًا أوليًا ، ولكل عدد صحيح غير صفري a ، ليكن${\displaystyle |a|_{p}=p^{-n},}$حيث p ⁿ هي أعلى قوة لـ p تقسم a .

بالإضافة إلى ذلك، مجموعة${\displaystyle |0|_{p}=0.}$لأي عدد نسبي${\displaystyle {\frac {a}{b}},}$لقد حددنا

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}.}$

ثم

${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}}$

يُعرّف مقياسًا على​${\displaystyle \mathbb {Q} .}$[ ^{21 ]​}

الفضاء المتري${\displaystyle (\mathbb {Q} ,d_{p})}$⁠ غير مكتمل، وإكماله هو حقل الأعداد p -adic ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$تنص نظرية أوستروفسكي على أن أي قيمة مطلقة غير تافهةعلى الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠ يعادل إما القيمة المطلقة الحقيقية المعتادة أو القيمة المطلقة p -adic .

• عقلاني ثنائي
• الفاصلة العائمة
• دوائر فورد
• عقلاني غاوسي
• الارتفاع البسيط - ارتفاع العدد النسبي في أبسط صورة
• نظرية نيفن
• نوع البيانات العقلاني

• "العدد النسبي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• "العدد النسبي" من MathWorld - مورد ويب من Wolfram