تدوين فويغت

في الرياضيات ، تُعدّ صيغة فويغت ، أو ما يُعرف أيضًا بصيغة فويغت في الجبر متعدد الخطوط ، طريقةً لتمثيل الموتر المتناظر عن طريق تقليل رتبته. ^{[ 1 ]} توجد عدة صيغ وأسماء مرتبطة بهذه الفكرة، منها : صيغة ماندل ، وصيغة ماندل-فويغت ، وصيغة ناي . أما صيغة كلفن، فهي إحياءٌ من قِبل هيلبيغ ^{[ 2 ]} لأفكار اللورد كلفن القديمة . وتكمن الاختلافات هنا في الأوزان المُخصصة لعناصر مُختارة من الموتر. وقد تختلف التسمية وفقًا لما هو مُتعارف عليه في مجال التطبيق. سُمّيت هذه الصيغة نسبةً إلى الفيزيائيين وولديمار فويغت ^{[ 1 ]} وجون ناي .

على سبيل المثال، يحتوي الموتر المتناظر X ذو الأبعاد 2 × 2 على ثلاثة عناصر مميزة فقط، اثنان منها على القطر الرئيسي والآخر خارجه. وبالتالي، يمكن تقليل رتبته بالتعبير عنه كمتجه دون فقدان أي معلومات.

$${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{12}&x_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{11}\\x_{22}\\x_{12}\end{bmatrix}}.}$$

تُستخدم رموز فويغت في علم المواد لتبسيط تمثيل موترات الإجهاد والانفعال من الرتبة الثانية، وموترات الصلابة والامتثال من الرتبة الرابعة.

يمكن كتابة موترات الإجهاد والانفعال 3 × 3 بصيغتها الكاملة على النحو التالي:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\quad }$و${\displaystyle \quad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _ {31}&\فاريبسيلون _{32}&\فاريبسيلون _{33}\end{bmatrix}}}$.

ثم تستخدم صيغة فويغت تناظر هذه المصفوفات (${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}}$وهكذا) للتعبير عنها بدلاً من ذلك كمتجه 6 × 1:

${\displaystyle {\underline {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}:={\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\quad }$و${\displaystyle \quad {\underline {\varepsilon }}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}:={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}}$

أين${\displaystyle \gamma _{12}=2\varepsilon _{12}}$،${\displaystyle \gamma _{23}=2\varepsilon _{23}}$، و${\displaystyle \gamma _{13}=2\varepsilon _{13}}$هي إجهادات القص الهندسية.

تكمن فائدة استخدام تمثيلات مختلفة للإجهاد والانفعال في ثبات القيم العددية. $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sigma _{ij}\varepsilon _{ij}={\underline {\sigma }}\cdot {\underline {\varepsilon }}}$$ يتم الحفاظ عليه.

تتيح هذه الصيغة الآن حساب الصلابة المتناظرة ثلاثية الأبعاد من الدرجة الرابعة ،${\displaystyle C}$والامتثال،${\displaystyle S}$، يتم اختزال الموترات إلى مصفوفات 6 × 6:

$${\displaystyle C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.}$$

فيما يلي قاعدة بسيطة لتذكر رموز فويغت:

• اكتب موتر الرتبة الثانية في شكل مصفوفة (في المثال، موتر الإجهاد).
• اقطع الخط القطري
• تابع في العمود الثالث
• ارجع إلى العنصر الأول في الصف الأول.

يتم ترقيم مؤشرات فويغت بشكل متسلسل من نقطة البداية إلى النهاية (في المثال، الأرقام باللون الأزرق).

يوضح الرسم البياني أدناه أيضًا ترتيب المؤشرات: $${\displaystyle {\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix}}{\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}}$$

بالنسبة لموتر متناظر من الرتبة الثانية $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$ ستة مكونات فقط متميزة، ثلاثة منها على القطر والباقي خارج القطر. وبالتالي يمكن التعبير عنها، في تدوين ماندل، ^{[ 3 ]} كمتجه $${\displaystyle {\tilde {\sigma }}^{M}=\langle \sigma _{11},\sigma _{22},\sigma _{33},{\sqrt {2}}\sigma _{23},{\sqrt {2}}\sigma _{13},{\sqrt {2}}\sigma _{12}\rangle .}$$

تتمثل الميزة الرئيسية لترميز ماندل في السماح باستخدام نفس العمليات التقليدية المستخدمة مع المتجهات، على سبيل المثال: $${\displaystyle {\tilde {\sigma }}:{\tilde {\sigma }}={\tilde {\sigma }}^{M}\cdot {\tilde {\sigma }}^{M}=\sigma _{11}^{2}+\sigma _{22}^{2}+\sigma _{33}^{2}+2\sigma _{23}^{2}+2\sigma _{13}^{2}+2\sigma _{12}^{2}.}$$

موتر متناظر من الرتبة الرابعة يحقق${\displaystyle D_{ijkl}=D_{jikl}}$و${\displaystyle D_{ijkl}=D_{ijlk}}$يحتوي على 81 مكونًا في الفضاء ثلاثي الأبعاد، ولكن 36 مكونًا فقط منها متميزة. وبالتالي، في تدوين ماندل، يمكن التعبير عنه على النحو التالي: $${\displaystyle {\tilde {D}}^{M}={\begin{pmatrix}D_{1111}&D_{1122}&D_{1133}&{\sqrt {2}}D_{1123}&{\sqrt {2}}D_{1113}&{\sqrt {2}}D_{1112}\\D_{2211}&D_{2222}&D_{2233}&{\sqrt {2}}D_{2223}&{\sqrt {2}}D_{2213}&{\sqrt {2}}D_{2212}\\D_{3311}&D_{3322}&D_{3333}&{\sqrt {2}}D_{3323}&{\sqrt {2}}D_{3313}&{\sqrt {2}}D_{3312}\\{\sqrt {2}}D_{2311}&{\sqrt {2}}D_{2322}&{\sqrt {2}}D_{2333}&2D_{2323}&2D_{2313}&2D_{2312}\\{\sqrt {2}}D_{1311}&{\sqrt {2}}D_{1322}&{\sqrt {2}}D_{1333}&2D_{1323}&2D_{1313}&2D_{1312}\\{\sqrt {2}}D_{1211}&{\sqrt {2}}D_{1222}&{\sqrt {2}}D_{1233}&2D_{1223}&2D_{1213}&2D_{1212}\\\end{pmatrix}}.}$$

وهو مفيد، على سبيل المثال، في الحسابات التي تتضمن نماذج تكوينية لمحاكاة المواد، مثل قانون هوك المعمم ، بالإضافة إلى تحليل العناصر المحدودة ، ^{[ 4 ]} والتصوير بالرنين المغناطيسي الانتشار . ^{[ 5 ]}

ينص قانون هوك على موتر صلابة متناظر من الرتبة الرابعة يتكون من 81 عنصرًا (3 × 3 × 3 × 3)، ولكن نظرًا لأن تطبيق موتر من الرتبة الرابعة على موتر متناظر من الرتبة الثانية ينتج عنه موتر متناظر آخر من الرتبة الثانية، فإن العناصر الـ 81 ليست جميعها مستقلة. يسمح ترميز فويغت بتمثيل موتر الرتبة الرابعة بمصفوفة 6 × 6. مع ذلك، لا يحافظ ترميز فويغت على مجموع المربعات، وهو ما يحمل دلالة هندسية في حالة قانون هوك. وهذا يفسر سبب استخدام الأوزان (لجعل التحويل متساوي القياس ) .

يمكن الاطلاع على مناقشة حول ثبات ترميز فويغت وترميز ماندل في هيلنوين (2001). ^{[ 6 ]}

• التحويل إلى متجهات (الرياضيات)
• قانون هوك
• المرونة الخطية#الوسط المتجانس غير المتجانس