الموتر المتناظر

في الرياضيات ، الموتر المتناظر هو موتر غير مختلط يظل ثابتاً تحت تبديل وسائطه المتجهة:

${\displaystyle T(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r})=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\ldots ,v_{\sigma r})}$

لكل تبديل σ للرموز {1، 2، ...، r }. أو بدلاً من ذلك، فإن موترًا متناظرًا من الرتبة r ممثلًا في الإحداثيات ككمية ذات r مؤشرات يحقق ما يلي:

${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma r}}.}$

فضاء الموترات المتناظرة من الرتبة r على فضاء متجهي محدود الأبعاد V متماثل طبيعيًا مع الفضاء الثنائي لكثيرات الحدود المتجانسة من الدرجة r على V. وعلى حقول ذات خاصية صفرية ، يمكن تعريف الفضاء المتجهي المتدرج لجميع الموترات المتناظرة بشكل طبيعي مع الجبر المتناظر على V. ومن المفاهيم ذات الصلة مفهوم الموتر المضاد للتناظر أو الشكل المتناوب . وتظهر الموترات المتناظرة على نطاق واسع في الهندسة والفيزياء والرياضيات .

ليكن V فضاءً متجهيًا و

${\displaystyle T\in V^{\otimes k}}$

إذا كان T موترًا من الرتبة k ، فإن T يكون موترًا متناظرًا .

${\displaystyle \tau _{\sigma }T=T\,}$

بالنسبة لخرائط التضفير المرتبطة بكل تبديل σ على الرموز {1,2,..., k } (أو بشكل مكافئ لكل عملية تبديل على هذه الرموز).

بفرض وجود أساس { e ⁱ } للمتجه V ، يمكن كتابة أي موتر متناظر T من الرتبة k على النحو التالي:

${\displaystyle T=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}=1}^{N}T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}}$

لقائمة فريدة من المعاملات${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$( مكونات الموتر في الأساس) المتناظرة على المؤشرات. أي

${\displaystyle T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}=T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$

لكل تبديل σ .

يُرمز عادةً إلى فضاء جميع الموترات المتناظرة من الرتبة k المعرفة على V بالرمز S ^k ( V ) أو Sym ^k ( V ). وهو نفسه فضاء متجهي، وإذا كان بُعد V هو N، فإن بُعد Sym ^k ( V ) هو معامل ذات الحدين.

${\displaystyle \dim \operatorname {Sym} ^{k}(V)={N+k-1 \choose k}.}$

ثم نقوم بإنشاء Sym( V ) كمجموع مباشر لـ Symk ⁽ V ) حيث k = 0,1,2,...

${\displaystyle \operatorname {Sym} (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty}\operatorname {Sym} ^{k}(V).}$

توجد أمثلة عديدة على الموترات المتناظرة. من بينها، موتر القياس ،${\displaystyle g_{\mu \nu }}$، موتر أينشتاين ،${\displaystyle G_{\mu \nu }}$وموتر ريتشي ،${\displaystyle R_{\mu \nu }}$.

يمكن تمثيل العديد من خصائص المواد والمجالات المستخدمة في الفيزياء والهندسة كحقول موترية متناظرة؛ على سبيل المثال: الإجهاد ، والانفعال ، والتوصيلية المتباينة الخواص . كذلك، في التصوير بالرنين المغناطيسي الانتشار، تُستخدم الموترات المتناظرة غالبًا لوصف الانتشار في الدماغ أو أجزاء أخرى من الجسم.

تُعد الأشكال الإهليلجية أمثلة على التنوعات الجبرية ؛ ولذلك، بالنسبة للرتبة العامة، تُستخدم الموترات المتناظرة، في صورة كثيرات الحدود المتجانسة ، لتعريف التنوعات الإسقاطية ، وغالبًا ما تتم دراستها على هذا النحو.

بالنظر إلى متعدد الشعب الريماني${\displaystyle (M,g)}$مزودة بوصلة ليفي-سيفيتا${\displaystyle \nabla }$، موتر الانحناء المتغير هو موتر متناظر من الرتبة 2 على الفضاء المتجهي${\textstyle V=\Omega ^{2}(M)=\bigwedge ^{2}T^{*}M}$ من الأشكال التفاضلية من الدرجة الثانية. وهذا يتوافق مع حقيقة أنه عند النظر${\displaystyle R_{ijk\ell }\in (T^{*}M)^{\otimes 4}}$لدينا التناظر${\displaystyle R_{ij\,k\ell }=R_{k\ell \,ij}}$بين الزوجين الأول والثاني من الحجج بالإضافة إلى التناظر العكسي داخل كل زوج:${\displaystyle R_{jik\ell }=-R_{ijk\ell }=R_{ij\ell k}}$[ ^{1 ]​}

يفترض${\displaystyle V}$هو فضاء متجهي على حقل ذي خاصية صفرية. إذا كان T ∈ V ^{⊗ k} موترًا من الرتبة${\displaystyle k}$ثم الجزء المتناظر من${\displaystyle T}$هو الموتر المتناظر المعرف بواسطة

${\displaystyle \operatorname {Sym} \,T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}\tau _{\sigma }T,}$

المجموع الممتد على المجموعة المتناظرة على k رمزًا. بدلالة أساس، وباستخدام اصطلاح أينشتاين للمجموع ، إذا

${\displaystyle T=T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}},}$

ثم

${\displaystyle \operatorname {Sym} \,T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}.}$

غالباً ما يُرمز إلى مكونات الموتر الظاهرة على اليمين بـ

${\displaystyle T_{(i_{1}i_{2}\cdots i_{k})}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}}$

مع وضع الأقواس () حول المؤشرات التي يتم تحويلها إلى تناظر. تُستخدم الأقواس المربعة [] للإشارة إلى عكس التناظر.

إذا كان T موترًا بسيطًا، معطى كحاصل ضرب موتر بحت

${\displaystyle T=v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r}}$

إذن، الجزء المتناظر من T هو حاصل الضرب المتناظر للعوامل:

${\displaystyle v_{1}\odot v_{2}\odot \cdots \odot v_{r}:={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma r}.}$

_{بشكل عام ،} يمكننا تحويل Sym( V ) إلى جبر ^_عن طريق تعريف الضرب التبادلي والتجميعي ⊙. ^{_[ 2 ] بالنظر} إلى موترين T1 ∈ Symk1 ⁽ V ) و T2 ∈ Symk2 ( _V ) ، نستخدم عامل ^{التناظر} لتعريف:

${\displaystyle T_{1}\odot T_{2}=\operatorname {Sym} (T_{1}\otimes T_{2})\quad \left(\in \operatorname {Sym} ^{k_{1}+k_{2}}(V)\right).}$

يمكن التحقق (كما فعل كوستريكين ومانين ^{[ 2 ]} ) من أن الناتج هو في الواقع تبادلي وتجميعي. في بعض الحالات، يُحذف _{المؤثر :} T1 T2 = T1 _⊙ T2 _.

في بعض الحالات يتم استخدام الترميز الأسي:

${\displaystyle v^{\odot k}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\otimes v\otimes \cdots \otimes v} _{k{\text{ times}}}=v^{\otimes k}.}$

حيث v متجه. ومرة ​​أخرى، في بعض الحالات يتم حذف الرمز ⊙:

${\displaystyle v^{k}=\underbrace {v\,v\,\cdots \,v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}.}$

قياسًا على نظرية المصفوفات المتناظرة ، يمكن "قطرنة" موتر متناظر (حقيقي) من الرتبة 2. بتعبير أدق، لأي موتر T ∈ Sym ² ( V )، يوجد عدد صحيح r ، ومتجهات وحدة غير صفرية v ₁ ,..., v _r ∈ V ، وأوزان λ ₁ ,..., λ _r بحيث    

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}\,v_{i}\otimes v_{i}.}$

أصغر قيمة r التي تسمح بإجراء هذا التحليل هي رتبة T (المتماثلة) . تمثل المتجهات الظاهرة في هذا التعبير الأدنى المحاور الرئيسية للموتر، ولها عمومًا دلالة فيزيائية مهمة. على سبيل المثال، تحدد المحاور الرئيسية لموتر العطالة قطع بوانسو الإهليلجي الذي يمثل عزم القصور الذاتي. انظر أيضًا قانون سيلفستر للعطالة .

بالنسبة للموترات المتناظرة من الرتبة k العشوائية ، عمليات التفكيك

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}\,v_{i}^{\otimes k}}$

من الممكن أيضًا إجراء تحليلات أخرى . أصغر قيمة r التي تسمح بهذا التحليل هي الرتبة المتناظرة للموتر T. ^{[ 3 ]} يُسمى هذا التحليل الأدنى بتحليل وارينغ؛ وهو شكل متناظر لتحليل رتبة الموتر . بالنسبة للموترات من الرتبة الثانية، يتوافق هذا مع رتبة المصفوفة التي تمثل الموتر في أي أساس، ومن المعروف أن الرتبة القصوى تساوي بُعد الفضاء المتجهي الأساسي. مع ذلك، بالنسبة للرتب الأعلى، لا ينطبق هذا بالضرورة: فقد تكون الرتبة أعلى من عدد أبعاد الفضاء المتجهي الأساسي. علاوة على ذلك، قد تختلف رتبة الموتر المتناظر عن رتبته المتناظرة. ^{[ 4 ]}

• موتر مضاد للتناظر
• حساب ريتشي
• متعددة حدود شور
• كثير الحدود المتناظر
• ترانس
• شاب متناظر

• بورباكي، نيكولاس (1989)، عناصر الرياضيات، الجبر 1 ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 3-540-64243-9.
• بوربكي ، نيكولاس (1990)، عناصر الرياضيات، الجبر الثاني ، سبرينغر فيرلاغ، ISBN 3-540-19375-8.
• Greub، Werner Hildbert (1967)، الجبر المتعدد الخطوط ، Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften، Band 136، Springer-Verlag New York، Inc.، New York، MR 0224623 .
• ستيرنبرغ، شلومو (1983)، محاضرات في الهندسة التفاضلية ، نيويورك: تشيلسي، رقم ISBN 978-0-8284-0316-0.

• سيزار أو. أغيلار، بُعد موترات k المتناظرة