الجبر متعدد الخطوط

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

الجبر متعدد الخطوط هو دراسة الدوال ذات الوسائط المتعددة المتجهة ، حيث تكون هذه الدوال عبارة عن تحويلات خطية بالنسبة لكل وسيط. يشمل هذا المجال مفاهيم مثل المصفوفات ، والموترات ، والمتجهات المتعددة ، وأنظمة المعادلات الخطية ، والفضاءات متعددة الأبعاد ، والمحددات ، والضرب الداخلي والخارجي ، والفضاءات الثنائية . وهو أداة رياضية تُستخدم في الهندسة ، والتعلم الآلي ، والفيزياء ، والرياضيات . [ 1 ]

أصل

بينما تتضمن العديد من المفاهيم والتطبيقات النظرية متجهات مفردة ، فقد درس علماء رياضيات مثل هيرمان غراسمان بنى تتضمن أزواجًا وثلاثيات ومتجهات متعددة تُعمم المتجهات . ومع تعدد الاحتمالات التوافقية، يتسع فضاء المتجهات المتعددة إلى 2^ n بُعد، حيث n هو بُعد فضاء المتجهات ذي الصلة. [ 2 ] ويمكن صياغة المحدد بشكل مجرد باستخدام بنى الجبر متعدد الخطية.

يظهر الجبر متعدد الخطوط في دراسة الاستجابة الميكانيكية للمواد للإجهاد والانفعال، ويتضمن معاملات مرونة مختلفة . ويصف مصطلح " الموتر " العناصر داخل الفضاء متعدد الخطوط نظرًا لبنيته الإضافية. على الرغم من عمل غراسمان المبكر عام 1844 في كتابه " نظرية الانفعال " ، والذي أعيد نشره أيضًا عام 1862، لم يكن الموضوع مفهومًا على نطاق واسع في البداية، حيث كان حتى الجبر الخطي العادي يطرح العديد من التحديات في ذلك الوقت.

تجد مفاهيم الجبر متعدد الخطوط تطبيقات في بعض دراسات حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات والمتشعبات ، لا سيما فيما يتعلق بمصفوفة جاكوبي . تُحوَّل التفاضلات المتناهية الصغر التي تُصادف في حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير إلى أشكال تفاضلية في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، ويتم التعامل معها باستخدام الجبر الخارجي . [ 3 ]

بعد غراسمان، شهد الجبر متعدد الخطوط تطوراتٍ ملحوظة على يد فيكتور شليغل عام 1872 بنشره الجزء الأول من كتابه " نظام نظرية الفضاء" [ 4 ] ، وكذلك على يد إلفين برونو كريستوفيل . ومن الجدير بالذكر أن أعمال غريغوريو ريتشي-كورباسترو وتوليو ليفي-سيفيتا [ 5 ] حققت تقدماً كبيراً، لا سيما في شكل حساب التفاضل المطلق ضمن الجبر متعدد الخطوط. وقد عرّف مارسيل غروسمان وميشيل بيسو ألبرت أينشتاين بهذا الشكل ، وفي عام 1915، رسّخ أينشتاين مكانة الجبر متعدد الخطوط والموترات كأدوات رياضية أساسية في الفيزياء، وذلك من خلال نشره لنظرية النسبية العامة التي تشرح ترنح حضيض عطارد .

في عام 1958، أدرج نيكولاس بورباكي فصلاً عن الجبر متعدد الخطوط بعنوان " Algèbre Multilinéaire " ضمن سلسلة " Éléments de mathématique "، وتحديداً في كتاب الجبر. ويتناول الفصل مواضيع مثل الدوال الثنائية الخطية، وحاصل الضرب الموتري لوحدتين ، وخصائص حاصل الضرب الموتري. [ 6 ]

التطبيقات

تجد مفاهيم الجبر متعدد الخطوط تطبيقات في مجالات متنوعة، بما في ذلك:

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ باندي، ديفيانشو؛ فينوجوبال، أديتيا؛ ليب، هاري (2024). " الجبر الخطي إلى متعدد الخطية والأنظمة باستخدام الموترات" . مجلة فرونتيرز في الرياضيات التطبيقية والإحصاء . 9. arXiv : 2304.10658 . doi : 10.3389/fams.2023.1259836 . ISSN 2297-4687 . 
  2. ↑ غراسمان، هيرمان (2000) [1862]. نظرية التمديد [ Die Ausdehnungslehre ] . ترجمة كاننبرغ، لويد. الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 978-0-8218-9049-3.
  3. ↑ فليمنج، ويندل هـ. (1977). "الجبر الخارجي وحساب التفاضل والتكامل" . دوال لعدة متغيرات . نصوص جامعية في الرياضيات ( الطبعة الثانية). سبرينغر. ص 275-320 . doi : 10.1007/978-1-4684-9461-7_7 . ISBN   978-1-4684-9461-7. OCLC 2401829 . 
  4. ^ شليجل ، فيكتور (2018). System der Raumlehre: Nach den Prinzipien der Grassmann'schen Ausdehnungslehre und als Einleitung in Dieselbe؛ الهندسة؛ Die Gebiete des Punktes، der Geraden، der Ebene . الكتب المنسية. رقم ISBN 978-0-364-22177-8.
  5. ^ ريتشي كورباسترو، جريجوريو ؛ ليفي سيفيتا، توليو (1900). "طرق الحساب المطلق والتطبيقات الخاصة بنا" . الرياضيات أنالين . 54 (1): 125-201 . دوى : 10.1007 / BF01454201 . ردمك 1432-1807 . S2CID 120009332 .  
  6. ^ نيكولا بورباكي (1958) الجبر متعدد الخطوط ، الفصل 3 من الكتاب 2 الجبر ، في عناصر الرياضيات ، باريس: هيرمان