نبذة عن فويغت

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 89 صور
الموسوعة الحرة

يُعدّ ملف تعريف فويغت ( نسبةً إلى وولديمار فويغت ) توزيعًا احتماليًا يُعطى عن طريق التفاف توزيع كوشي -لورنتز مع توزيع غاوسي . ويُستخدم غالبًا في تحليل البيانات المستقاة من التحليل الطيفي أو حيود الأشعة السينية .

تعريف

دون الإخلال بعمومية المسألة، يمكننا أن نقتصر على دراسة المنحنيات المركزية التي تبلغ ذروتها عند الصفر. ومن ثم، يكون منحنى فويغت هو

V(x;σ،γ)≡∫-∞∞جي(x′;σ)ل(x-x′;γ)دx′،{\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(xx';\gamma )\,dx',}

حيث يمثل x مقدار الإزاحة من مركز الخط،جي(x;σ){\displaystyle G(x;\sigma )}هل هو التوزيع الغاوسي المتمركز؟

جي(x;σ)≡هـ-x22σ22πσ،{\displaystyle G(x;\sigma )\equiv {\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},}

ول(x;γ){\displaystyle L(x;\gamma )}هو الملف الشخصي اللورنتزي المركزي:

ل(x;γ)≡γπ(γ2+x2).{\displaystyle L(x;\gamma )\equiv {\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+x^{2})}}.}

يمكن حساب التكامل المحدد على النحو التالي:

V(x;σ،γ)=يكرر⁡[w(z)]2πσ،{\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},}

حيث Re[ w ( z )] هو الجزء الحقيقي من دالة فادييفا المحسوبة لـ

z=x+أناγ2σ.{\displaystyle z={\frac {x+i\gamma }{{\sqrt {2}}\,\sigma }}.}

في الحالات الحدية لـσ=0{\displaystyle \sigma =0}وγ=0{\displaystyle \gamma =0}ثمV(x;σ،γ){\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )}يتبسط إلىل(x;γ){\displaystyle L(x;\gamma )}وجي(x;σ){\displaystyle G(x;\sigma )}، على التوالى.

التاريخ والتطبيقات

في علم الأطياف، ينتج شكل فويغت عن تراكب آليتي توسيع، إحداهما تُنتج وحدها شكلاً غاوسياً (عادةً نتيجة لتوسيع دوبلر )، والأخرى تُنتج شكلاً لورنتزياً (تخميد الانبعاث أو الامتصاص، كما ورد في المقالة الأصلية لفالديمار فويغت عام 1912 [ 1 ] ). تُعدّ أشكال فويغت شائعة في العديد من فروع علم الأطياف وعلم الحيود . ونظراً لتكلفة حساب دالة فادييفا ، يُقارب شكل فويغت أحياناً باستخدام شكل شبه فويغت.

ملكيات

تم تطبيع ملف تعريف فويغت:

∫-∞∞V(x;σ،γ)دx=1،{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }V(x;\sigma ,\gamma )\,dx=1,}

بما أنه عبارة عن التفاف لملفات تعريف مُعَيَّرة، فإن ملف تعريف لورنتز لا يحتوي على عزوم (باستثناء العزم الصفري)، وبالتالي فإن دالة توليد العزوم لتوزيع كوشي غير مُعَرَّفة. ويترتب على ذلك أن ملف تعريف فويغت لن يحتوي على دالة توليد عزوم أيضًا، ولكن الدالة المميزة لتوزيع كوشي مُعَرَّفة جيدًا، كما هو الحال بالنسبة للدالة المميزة للتوزيع الطبيعي . وستكون الدالة المميزة لملف تعريف فويغت (المُوَسَّط) هي حاصل ضرب الدالتين.

φو(ت;σ،γ)=هـ(هـأناxت)=هـ-σ2ت2/2-γ|ت|.{\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma )=E(e^{ixt})=e^{-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}

بما أن التوزيعات الطبيعية وتوزيعات كوشي هي توزيعات مستقرة ، فإن كل منها مغلق تحت الالتفاف (حتى تغيير المقياس)، ويترتب على ذلك أن توزيعات فويغت مغلقة أيضًا تحت الالتفاف.

دالة التوزيع التراكمي

باستخدام التعريف المذكور أعلاه لـ z ، يمكن إيجاد دالة التوزيع التراكمي (CDF) على النحو التالي:

F(x0;μ،σ)=∫-∞x0يكرر⁡(w(z))σ2πدx=يكرر⁡(1π∫z(-∞)z(x0)w(z)دz).{\displaystyle F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x_{0}}{\frac {\operatorname {Re} (w(z))}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,dx=\operatorname {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )}^{z(x_{0})}w(z)\,dz\right).}

وباستبدال تعريف دالة فادييفا ( دالة الخطأ المركب المُقاس ) نحصل على التكامل غير المحدد:

1π∫w(z)دz=1π∫هـ-z2[1-قطعة أرض⁡(-أناz)]دz،{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-z^{2}}\left[1-\operatorname {erf} (-iz)\right]\,dz,}

والتي يمكن حلها للحصول على

1π∫w(z)دz=قطعة أرض⁡(z)2+أناz2π2F2(1،1;32،2;-z2)،{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right),}

أين2F2{\displaystyle {}_{2}F_{2}}هي دالة فوق هندسية . لكي تقترب الدالة من الصفر عندما يقترب x من سالب ما لا نهاية (كما هو الحال في دالة التوزيع التراكمي)، يجب إضافة ثابت تكامل مقداره 1/2. وهذا يعطي دالة التوزيع التراكمي لفويغت:

F(x;μ،σ)=يكرر⁡[12+قطعة أرض⁡(z)2+أناz2π2F2(1،1;32،2;-z2)].{\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\operatorname {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right)\right].}

ملف تعريف فويغت غير المتمركز

إذا كان التوزيع الغاوسي متمركزًا عندμجي{\displaystyle \mu _{G}}ويتركز ملف تعريف لورنتزيان عندμل{\displaystyle \mu _{L}}، يتمركز الالتفاف عندμV=μجي+μل{\displaystyle \mu _{V}=\mu _{G}+\mu _{L}}والدالة المميزة هي:

φو(ت;σ،γ،μجي،μل)=هـأنا(μجي+μل)ت-σ2ت2/2-γ|ت|.{\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=e^{i(\mu _{\mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}

يتم ببساطة إزاحة دالة كثافة الاحتمال عن الملف الشخصي المركزي بمقدارμV{\displaystyle \mu _{V}}:

V(x;μV،σ،γ)=يكرر⁡[w(z)]σ2π،{\displaystyle V(x;\mu _{V},\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},}

أين:

z=x-μV+أناγσ2{\displaystyle z={\frac {x-\mu _{V}+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}}

يقع كل من المنوال والوسيط عندμV{\displaystyle \mu _{V}}.

المشتقات

ملف تعريف فويغت (هنا، بافتراضμV=10{\displaystyle \mu _{V}=10}،σ=1.3{\displaystyle \sigma =1.3}، وγ=2.5{\displaystyle \gamma =2.5}) ومشتقاتها الجزئية الأولى والثانية بالنسبة إلىx{\displaystyle x}(العمود الأول) والمعلمات الثلاثةμV{\displaystyle \mu _{V}}،σ{\displaystyle \sigma }، وγ{\displaystyle \gamma }(العمود الثاني والثالث والرابع على التوالي)، تم الحصول عليها تحليليًا وعدديًا.

باستخدام التعريف أعلاه لـz{\displaystyle z}وxج=x-μV{\displaystyle x_{c}=x-\mu _{V}}ويمكن التعبير عن المشتقات الأولى والثانية بدلالة دالة فادييفا كما يلي:

∂∂xV(xج;σ،γ)=-يكرر⁡[z w(z)]σ2π=-xجσ2يكرر⁡[w(z)]σ2π+γσ2أنا⁡[w(z)]σ2π=1σ32π⋅(γ⋅أنا⁡[w(z)]-xج⋅يكرر⁡[w(z)]){\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&=-{\frac {\operatorname {Re} \left[z~w(z)\right]}{\sigma ^{2}{\sqrt {\pi }}}}=-{\frac {x_{c}}{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Re} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Im} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\\&={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \operatorname {Im} \left[w(z)\right]-x_{c}\cdot \operatorname {Re} \left[w(z)\right]\right)\end{aligned}}}

و

∂2(∂x)2V(xج;σ،γ)=xج2-γ2-σ2σ4يكرر⁡[w(z)]σ2π-2xجγσ4أنا⁡[w(z)]σ2π+γσ41π=-1σ52π⋅(γ⋅(2xج⋅أنا⁡[w(z)]-σ⋅2π)+(γ2+σ2-xج2)⋅يكرر⁡[w(z)])،{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\left(\partial x\right)^{2}}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&={\frac {x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Re} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {2x_{c}\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Im} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {1}{\pi }}\\&=-{\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \left(2x_{c}\cdot \operatorname {Im} \left[w(z)\right]-\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \operatorname {Re} \left[w(z)\right]\right),\end{aligned}}}

على التوالى.

في كثير من الأحيان، يلزم مطابقة واحد أو أكثر من منحنيات فويغت و/أو مشتقاتها مع الإشارة المقاسة باستخدام طريقة المربعات الصغرى غير الخطية ، كما هو الحال في التحليل الطيفي . بعد ذلك، يمكن استخدام مشتقات جزئية إضافية لتسريع الحسابات. بدلاً من تقريب مصفوفة جاكوبي بالنسبة للمعاملاتμV{\displaystyle \mu _{V}}،σ{\displaystyle \sigma }، وγ{\displaystyle \gamma }وباستخدام الفروق المحدودة ، يمكن تطبيق التعبيرات التحليلية المقابلة.يكرر⁡[w(z)]=ℜw{\displaystyle \operatorname {Re} \left[w(z)\right]=\Re _{w}}وأنا⁡[w(z)]=ℑw{\displaystyle \operatorname {Im} \left[w(z)\right]=\Im _{w}}ويتم الحصول على هذه النتائج من خلال:

∂V∂μV=-∂V∂x=1σ32π⋅(xج⋅ℜw-γ⋅ℑw){\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(x_{c}\cdot \Re _{w}-\gamma \cdot \Im _{w}\right)\end{aligned}}}
∂V∂σ=1σ42π⋅((xج2-γ2-σ2)⋅ℜw-2xجγ⋅ℑw+γσ⋅2π){\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \sigma }}={\frac {1}{\sigma ^{4}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}\right)\cdot \Re _{w}-2x_{c}\gamma \cdot \Im _{w}+\gamma \sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)\end{aligned}}}
∂V∂γ=-1σ32π⋅(σ⋅2π-xج⋅ℑw-γ⋅ℜw){\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \gamma }}=-{\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}-x_{c}\cdot \Im _{w}-\gamma \cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}

للاطلاع على ملف تعريف فويغت الأصليV{\displaystyle V};

∂V′∂μV=-∂V′∂x=-∂2V(∂x)2=1σ52π⋅(γ⋅(2xج⋅ℑw-σ⋅2π)+(γ2+σ2-xج2)⋅ℜw){\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V'}{\partial x}}=-{\frac {\partial ^{2}V}{\left(\partial x\right)^{2}}}={\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \left(2x_{c}\cdot \Im _{w}-\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}
∂V′∂σ=3σ62π⋅(-γσxج⋅223π+(xج2-γ23-σ2)⋅γ⋅ℑw+(γ2+σ2-xج23)⋅xج⋅ℜw){\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \sigma }}={\frac {3}{\sigma ^{6}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(-\gamma \sigma x_{c}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}+\left(x_{c}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{3}}-\sigma ^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Im _{w}+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}
∂V′∂γ=1σ52π⋅(xج⋅(σ⋅2π-2γ⋅ℜw)+(γ2+σ2-xج2)⋅ℑw){\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \gamma }}={\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(x_{c}\cdot \left(\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}-2\gamma \cdot \Re _{w}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \Im _{w}\right)\end{aligned}}}

للمشتقة الجزئية من الرتبة الأولىV′=∂V∂x{\displaystyle V'={\frac {\partial V}{\partial x}}}؛ و

∂V"∂μV=-∂V"∂x=-∂3V(∂x)3=-3σ72π⋅((xج2-γ23-σ2)⋅γ⋅ℑw+(γ2+σ2-xج23)⋅xج⋅ℜw-γσxج⋅223π){\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V''}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V''}{\partial x}}=-{\frac {\partial ^{3}V}{\left(\partial x\right)^{3}}}=-{\frac {3}{\sigma ^{7}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(x_{c}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{3}}-\sigma ^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Im _{w}+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Re _{w}-\gamma \sigma x_{c}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}\right)\end{aligned}}}
∂V"∂σ=-1σ82π⋅((-3γxجσ2+γxج3-γ3xج)⋅4⋅ℑw+((2xج2-2γ2-σ2)⋅3σ2+6γ2xج2-xج4-γ4)⋅ℜw+(γ2+5σ2-3xج2)⋅γσ⋅2π){\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial V''}{\partial \sigma }}=-{\frac {1}{\sigma ^{8}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \\&\left(\left(-3\gamma x_{c}\sigma ^{2}+\gamma x_{c}^{3}-\gamma ^{3}x_{c}\right)\cdot 4\cdot \Im _{w}+\left(\left(2x_{c}^{2}-2\gamma ^{2}-\sigma ^{2}\right)\cdot 3\sigma ^{2}+6\gamma ^{2}x_{c}^{2}-x_{c}^{4}-\gamma ^{4}\right)\cdot \Re _{w}+\left(\gamma ^{2}+5\sigma ^{2}-3x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma \sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)\end{aligned}}}
∂V"∂γ=-3σ72π⋅((γ2+σ2-xج23)⋅xج⋅ℑw+(γ23+σ2-xج2)⋅γ⋅ℜw+(xج2-γ2-2σ2)⋅σ⋅23π){\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V''}{\partial \gamma }}=-{\frac {3}{\sigma ^{7}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Im _{w}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{3}}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Re _{w}+\left(x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-2\sigma ^{2}\right)\cdot \sigma \cdot {\frac {\sqrt {2}}{3{\sqrt {\pi }}}}\right)\end{aligned}}}

للمشتقة الجزئية من الرتبة الثانيةV"=∂2V(∂x)2{\displaystyle V''={\frac {\partial ^{2}V}{\left(\partial x\right)^{2}}}}. منذμV{\displaystyle \mu _{V}}وγ{\displaystyle \gamma }يلعبان دورًا مشابهًا نسبيًا في حسابz{\displaystyle z}تبدو مشتقاتها الجزئية متشابهة إلى حد كبير من حيث بنيتها، على الرغم من أنها تُنتج خصائص مشتقة مختلفة تمامًا. في الواقع، المشتقات الجزئية بالنسبة إلىσ{\displaystyle \sigma }وγ{\displaystyle \gamma }تُظهر هذه المشتقات تشابهًا أكبر نظرًا لأنها جميعًا تمثل معلمات عرض. وتتضمن جميع هذه المشتقات عمليات بسيطة فقط (الضرب والجمع) نظرًا لتكلفة العمليات الحسابية.ℜw{\displaystyle \Re _{w}}وℑw{\displaystyle \Im _{w}}يمكن الحصول عليها بسهولة عند إجراء الحساباتw(z){\displaystyle w\left(z\right)}تتيح إعادة استخدام الحسابات السابقة اشتقاقًا بأقل تكلفة. وهذا ليس هو الحال بالنسبة لتقريب تدرج الفروق المحدودة، لأنه يتطلب تقييمw(z){\displaystyle w\left(z\right)}لكل تدرج على حدة.

دوال فويغت

تُعرَّف دوال فويغت [ 2 ] U و V و H (والتي تُسمى أحيانًا دالة توسيع الخط ) كما يلي:

يو(x،ت)+أناV(x،ت)=π4تهـz2erfc⁡(z)=π4تw(أناz)،{\displaystyle U(x,t)+iV(x,t)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}e^{z^{2}}\operatorname {erfc} (z)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}w(iz),}
ح(أ،u)=يو(uأ،14أ2)πأ،{\displaystyle H(a,u)={\frac {U({\frac {u}{a}},{\frac {1}{4a^{2}}})}{{\sqrt {\pi }}\,a}},}

أين

z=1-أناx2ت،{\displaystyle z={\frac {1-ix}{2{\sqrt {t}}}},}

erfc هي دالة الخطأ التكميلية ، و w ( z ) هي دالة Faddeeva .

العلاقة بملف تعريف فويغت

V(x;σ،γ)=ح(أ،u)2πσ،{\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {H(a,u)}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},}

باستخدام متغيرات نسبية غاوسية سيجماu=x2σ{\displaystyle u={\frac {x}{{\sqrt {2}}\,\sigma }}} وأ=γ2σ.{\displaystyle a={\frac {\gamma }{{\sqrt {2}}\,\sigma }}.}

التقريبات العددية

دالة تيبر-غارسيا

دالة تيبر-غارسيا ، التي سميت على اسم عالم الفيزياء الفلكية ثور تيبر-غارسيا المولود في المكسيك والألماني الأسترالي ، هي مزيج من دالة أسية ودوال كسرية تقارب دالة اتساع الخطح(أ،u){\displaystyle H(a,u)}على نطاق واسع من معاييرها. [ 3 ] يتم الحصول عليها من توسيع متسلسلة القوى المقتطعة لدالة توسيع الخط الدقيقة.

في أكثر أشكالها كفاءةً من الناحية الحسابية، يمكن التعبير عن دالة تيبر-غارسيا على النحو التالي:

تي(أ،u)=R-(أ/πP) [R2 (4P2+7P+4+سؤال)-سؤال-1]،{\displaystyle T(a,u)=R-\left(a/{\sqrt {\pi }}P\right)~\left[R^{2}~(4P^{2}+7P+4+Q)-Q-1\right]\,,}

أينP≡u2{\displaystyle P\equiv u^{2}}،سؤال≡3/(2P){\displaystyle Q\equiv 3/(2P)}، وR≡هـ-P{\displaystyle R\equiv e^{-P}}.

وبالتالي، يمكن اعتبار دالة اتساع الخط، من الدرجة الأولى، دالة غاوسية خالصة بالإضافة إلى عامل تصحيح يعتمد خطيًا على الخصائص المجهرية للوسط الممتص (المُشفّر فيأ{\displaystyle a}ومع ذلك، نتيجةً للقطع المبكر في متسلسلة تايلور، فإن الخطأ في التقريب لا يزال من رتبةأ{\displaystyle a}، أيح(أ،u)≈تي(أ،u)+يا(أ){\displaystyle H(a,u)\approx T(a,u)+{\mathcal {O}}(a)}تبلغ دقة هذا التقريب النسبية .

ϵ≡|ح(أ،u)-تي(أ،u)|ح(أ،u)≲10-4{\displaystyle \epsilon \equiv {\frac {\vert H(a,u)-T(a,u)\vert }{H(a,u)}}\lesssim 10^{-4}}

على كامل نطاق الطول الموجي لـح(أ،u){\displaystyle H(a,u)}بشرط أنأ≲10-4{\displaystyle a\lesssim 10^{-4}}بالإضافة إلى دقتها العالية، فإن الوظيفةتي(أ،u){\displaystyle T(a,u)}يتميز بسهولة التنفيذ وسرعة الحساب. ويستخدم على نطاق واسع في مجال تحليل خطوط امتصاص الكوازار. [ 4 ]

تقريب شبه-فويغت

يُعد ملف تعريف شبه-فويغت (أو دالة شبه-فويغت) تقريبًا لملف تعريف فويغت V ( x ) باستخدام تركيبة خطية من منحنى غاوسي G ( x ) ومنحنى لورنتزي L ( x ) بدلاً من التفافهما .

تُستخدم دالة شبه-فويغت غالبًا لحساب أشكال الخطوط الطيفية التجريبية .

يُعطى التعريف الرياضي لملف تعريف شبه-فويجت المعياري بواسطة

Vص(x،و)=η⋅ل(x،و)+(1-η)⋅جي(x،و){\displaystyle V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)}مع0<η<1{\displaystyle 0<\eta <1}.

η{\displaystyle \eta }هي دالة لمعامل العرض الكامل عند نصف الحد الأقصى (FWHM).

هناك عدة خيارات ممكنة لـη{\displaystyle \eta }المعامل. [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] صيغة بسيطة، دقيقة بنسبة 1%، هي [ 9 ] [ 10 ]

η=1.36603(ول/و)-0.47719(ول/و)2+0.11116(ول/و)3،{\displaystyle \eta =1.36603(f_{L}/f)-0.47719(f_{L}/f)^{2}+0.11116(f_{L}/f)^{3},}

أين الآن؟η{\displaystyle \eta }هي دالة لورنتز (ول{\displaystyle f_{L}}), غاوسي (وجي{\displaystyle f_{G}}) والإجمالي (و{\displaystyle f}معلمات العرض الكامل عند نصف الحد الأقصى (FWHM). إجمالي FWHM (و{\displaystyle f}يتم وصف المعامل ) بواسطة:

و=[وجي5+2.69269وجي4ول+2.42843وجي3ول2+4.47163وجي2ول3+0.07842وجيول4+ول5]1/5.{\displaystyle f=[f_{G}^{5}+2.69269f_{G}^{4}f_{L}+2.42843f_{G}^{3}f_{L}^{2}+4.47163f_{G}^{2}f_{L}^{3}+0.07842f_{G}f_{L}^{4}+f_{L}^{5}]^{1/5}.}

عرض ملف تعريف فويغت

يمكن إيجاد عرض نصف الارتفاع الأقصى (FWHM) لملف تعريف فويغت من عرضي ملفي تعريف غاوس ولورنتز المرتبطين به. ويكون عرض نصف الارتفاع الأقصى لملف تعريف غاوس هو

وجي=2σ2ln⁡(2).{\displaystyle f_{\mathrm {G} }=2\sigma {\sqrt {2\ln(2)}}.}

يبلغ عرض نصف الارتفاع الأقصى (FWHM) لملف لورنتزيان ما يلي:

ول=2γ.{\displaystyle f_{\mathrm {L} }=2\gamma .}

العلاقة التقريبية (الدقيقة في حدود 1.2٪ تقريبًا) بين عرضي منحنيات فويغت، وغوسيان، ولورنتزيان هي: [ 11 ]

وV≈ول/2+ول2/4+وجي2.{\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx f_{\mathrm {L} }/2+{\sqrt {f_{\mathrm {L} }^{2}/4+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.}

بحسب التصميم، يكون هذا التعبير دقيقًا بالنسبة للدالة الغاوسية أو اللورنتزية النقية.

تم تقديم تقريب أفضل بدقة 0.02٪ بواسطة Olivero و Longbothum [ 12 ] (تم العثور عليه في الأصل بواسطة Kielkopf [ 13 ] ).

وV≈0.5343ول+0.2169ول2+وجي2.{\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx 0.5343f_{\mathrm {L} }+{\sqrt {0.2169f_{\mathrm {L} }^{2}+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.}

في نفس المنشور، [ 12 ] يمكن العثور على تعبير أكثر دقة قليلاً (في حدود 0.012٪)، ولكنه أكثر تعقيدًا بشكل ملحوظ.

في حالة التوزيع شبه الغاوسيول≪وجي{\displaystyle f_{\mathrm {L} }\ll f_{\mathrm {G} }}يمكن حساب نصف العرض من متسلسلة ماكلورين فيوجي/ول{\displaystyle f_{\mathrm {G} }/f_{\mathrm {L} }}يمكن إيجاد صيغ التكرار وجداول المعاملات في المراجع. [ 14 ] [ 15 ] في حالة شبه لورنتزيةوجي≪ول{\displaystyle f_{\mathrm {G} }\ll f_{\mathrm {L} }}يمكن التعبير عن نصف العرض كمتسلسلة تقاربية في(ول/وجي)2{\displaystyle (f_{\mathrm {L} }/f_{\mathrm {G} })^{2}}، مع إعطاء المعاملات مرة أخرى من خلال التكرار. [ 15 ]

في فيزياء الجسيمات، تُستخدم نسخة نسبية من دالة فويغت. وهي عبارة عن التفاف لتوزيع برايت-ويغنر النسبي وتوزيع غاوسي.

يمكن إنشاء دالة شبه-فويغت غير المتماثلة، والمعروفة أيضًا باسم دالة مارتينيلي، بشكل مشابه للتوزيع الطبيعي المنقسم من خلال وجود عروض مختلفة على كل جانب من موضع الذروة:

Vص(x،و)=η⋅ل(x،و)+(1-η)⋅جي(x،و){\displaystyle V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)}

مع 0<η<1{\displaystyle 0<\eta <1}حيث يمثل وزن لورنتزيان وعرضهو{\displaystyle f}كونها دالة تقسيم (و=و1{\displaystyle f=f_{1}}لx<0{\displaystyle x<0}وو=و2{\displaystyle f=f_{2}}لx≥0{\displaystyle x\geq 0}). في الحدو1→و2{\displaystyle f_{1}\rightarrow f_{2}}، تُعيد هذه الدالة دالة شبه فويغت متناظرة. وقد استُخدمت هذه الدالة لنمذجة التشتت المرن على أجهزة تشتت الأشعة السينية غير المرنة الرنانة . [ 16 ]

مراجع

  1. ^ فويغت، ولدمار، 1912، ''Das Gesetz der Intensitätsverteilung Internalhalb der Linien eines Gasspektrums''، Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften، 25، 603
  2. ↑ تيمي، ن.م. (2010)، "دالة فويغت" ، في أولفر، فرانك و.ج .؛ لوزير، دانيال م.؛ بويسفيرت، رونالد ف.؛ كلارك، تشارلز و. (محررون)، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ .
  3. ↑ تيبر-غارسيا، ثورستن (2006). "ملاءمة شكل فويغت لخطوط امتصاص الكوازار: تقريب تحليلي لدالة فويغت-هيرتينغ" . الإشعارات الشهرية للجمعية الفلكية الملكية . 369 (4): 2025-2035 . arXiv : astro-ph/0602124 . Bibcode : 2006MNRAS.369.2025T . doi : 10.1111/j.1365-2966.2006.10450.x . S2CID 16981310 . 
  4. ↑ قائمة المراجع الموجودة في نظام بيانات الفيزياء الفلكية التابع لمعهد سميثسونيان للفيزياء الفلكية/وكالة ناسا (ADS): https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2006MNRAS.369.2025T/citations
  5. ↑ ويرثيم جي كي، بتلر إم إيه، ويست كي دبليو، بوكانان دي إن (1974). "تحديد محتوى غاوس ولورنتز لأشكال الخطوط التجريبية". مراجعة الأدوات العلمية . 45 (11): 1369-1371 . Bibcode : 1974RScI...45.1369W . doi : 10.1063/1.1686503 .
  6. ↑ سانشيز-باخو، ف.؛ كومبريرا، ف. ل. (أغسطس 1997). "استخدام دالة شبه-فويجت في طريقة التباين لتحليل اتساع خطوط الأشعة السينية". مجلة علم البلورات التطبيقي . 30 (4): 427-430 . Bibcode : 1997JApCr..30..427S . doi : 10.1107/S0021889896015464 .
  7. ↑ ليو واي، لين جيه، هوانغ جي، غو واي، دوان سي (2001). "تقريب تحليلي تجريبي بسيط لملف فويغت". مجلة الجمعية البصرية الأمريكية ب . 18 (5): 666-672 . رمز Bibcode : 2001JOSAB..18..666L . doi : 10.1364/josab.18.000666 .
  8. ↑ دي روكو، إتش أو، وكروزادو، إيه (2012). "ملف فويغت كمجموع دالتين غاوسية ولورنتزية، عندما يعتمد معامل الترجيح فقط على نسبة العرض" . مجلة الفيزياء البولندية، الجزء أ . 122 (4): 666-669 . رمز Bibcode : 2012AcPPA.122..666D . doi : 10.12693/APhysPolA.122.666 . ISSN 0587-4246 . 
  9. ↑ إيدا ت، أندو م، تورايا ح (2000). "دالة شبه-فويجت الموسعة لتقريب شكل فويجت". مجلة علم البلورات التطبيقي . 33 (6): 1311-1316 . doi : 10.1107/s0021889800010219 . S2CID 55372305 . 
  10. ↑ ب . طومسون، د. إي. كوكس ، وج. ب. هاستينغز (1987). "تحسين ريتفيلد لبيانات الأشعة السينية السنكروترونية ديباي-شيرر من Al₂O₃ " . مجلة علم البلورات التطبيقي . 20 (2): 79-83 . Bibcode : 1987JApCr..20...79T . doi : 10.1107/S0021889887087090 .
  11. ↑ وايتينغ، إي إي (يونيو 1968). "تقريب تجريبي لملف فويغت". مجلة التحليل الطيفي الكمي ونقل الإشعاع . 8 (6): 1379-1384 . رمز Bibcode : 1968JQSRT...8.1379W . doi : 10.1016/0022-4073(68)90081-2 . ISSN 0022-4073 . 
  12. أوليڤيرو ، جيه جيه ؛ لونغبوثوم، آر إل (فبراير 1977). "المطابقات التجريبية لعرض خط فويغت: مراجعة موجزة". مجلة التحليل الطيفي الكمي ونقل الإشعاع . 17 (2): 233-236 . Bibcode : 1977JQSRT..17..233O . doi : 10.1016/0022-4073(77)90161-3 . ISSN 0022-4073 . 
  13. ↑ كيلكوف، جون ف. (1973). "تقريب جديد لدالة فويغت مع تطبيقات لتحليل شكل الخط الطيفي". مجلة الجمعية البصرية الأمريكية . 63 (8): 987. Bibcode : 1973JOSA...63..987K . doi : 10.1364/JOSA.63.000987 .
  14. ↑ واي. وانغ، بي. تشو، آر. تشاو، بي. وانغ، كيو. ليو، إم. داي، حساب فائق الدقة لنصف عرض منحنى فويغت، الرياضيات، 10 (2022)، العدد 210 (14 صفحة). https://doi.org/10.3390/math10020210
  15. 1 2 ج. ووتكه، متسلسلة قوى لنصف عرض دالة فويغت، معاد اشتقاقها. مجلة التحليل العددي ونظرية التقريب 54 (2025)، https://doi.org/10.33993/jnaat542-1640
  16. ↑ مارتينيلي، ليوناردو (2025). "فصل ارتباطات الشحنة الساكنة والديناميكية كما كشف عنه الإجهاد أحادي المحور في موصل فائق من النحاسيات" . مجلة Physical Review B. 112 L041124 . Bibcode : 2025PhRvB.112d1124M . doi : 10.1103/n834-dkyh .
  • https://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf ، مكتبة C الرقمية لوظائف الخطأ المعقدة ، توفر دالة voigt(x, sigma, gamma) بدقة تقريبية 13-14 رقمًا.