دالة الخطأ

دالة الخطأ هي دالة كاملة ؛ ليس لها نقاط شاذة (باستثناء اللانهاية) ومتسلسلة تايلور الخاصة بها تتقارب دائمًا.${\displaystyle x\gg 1}$ومع ذلك، فإن إلغاء الحدود الرئيسية يجعل توسيع تايلور غير عملي.

لا يمكن حساب التكامل المحدد بصيغة مغلقة بدلالة الدوال الأولية (انظر نظرية ليوفيل )، ولكن عن طريق توسيع الدالة المراد تكاملها.${\displaystyle e^{-z^{2}}}$في متسلسلة ماكلورين الخاصة بها ، مع دمج كل حد على حدة، ^{[ 5 ]} وباستخدام حقيقة أن${\displaystyle \operatorname {erf} (0)=0}$، ومن ثم نحصل على متسلسلة ماكلورين لدالة الخطأ على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (z)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\cdots \right)\end{aligned}}}$$ وهذا ينطبق على كل عدد مركب${\displaystyle z}$تشكل حدود المقام المتتالية A007680 في OEIS . هذه حالة خاصة من دالة كومر .

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}\,{}_{1}F_{1}{\bigg (}{\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-z^{2}{\bigg )}.}$

لإجراء حسابات تكرارية للسلسلة المذكورة أعلاه، قد يكون من المفيد استخدام الصيغة البديلة التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (z)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}},\end{aligned}}}$$ لأن

${\displaystyle {\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}}$

يعبّر عن المضاعف لتحويل${\displaystyle k}$الحد النوني في${\displaystyle (k+1)}$الحد النوني (مع الأخذ في الاعتبار${\displaystyle z}$(كمصطلح أول).

دالة الخطأ التخيلي لها متسلسلة ماكلورين مماثلة: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfi} (z)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}+{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$$ وهذا ينطبق على كل عدد مركب${\displaystyle z}$.

مشتقة دالة الخطأ تتبع مباشرة من تعريفها: $${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}.}$$ ومن هذا، فإن مشتق دالة الخطأ التخيلي يكون مباشراً أيضاً: $${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {erfi} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{z^{2}}.}$$تُعطى المشتقات من الرتب العليا بواسطة $${\displaystyle \operatorname {erf} ^{(k)}(z)={\frac {2(-1)^{k-1}}{\sqrt {\pi }}}{\mathit {H}}_{k-1}(z)e^{-z^{2}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {d^{k-1}}{dz^{k-1}}}{\big (}e^{-z^{2}}{\big )},}$$ حيث${\displaystyle H_{k}}$هي كثيرات حدود هيرميت الفيزيائية . ^{[ 6 ]}

الدالة الأصلية لدالة الخطأ، والتي يمكن الحصول عليها عن طريق التكامل بالتجزئة ، هي $${\displaystyle \int \operatorname {erf} (z)dz=z\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+C.}$$ الدالة الأصلية لدالة الخطأ التخيلي، والتي يمكن الحصول عليها أيضًا عن طريق التكامل بالتجزئة، هي $${\displaystyle \int \operatorname {erfi} (z)dz=z\operatorname {erfi} (z)-{\frac {e^{z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+C.}$$

توسع يتقارب بسرعة أكبر لجميع القيم الحقيقية لـ${\displaystyle x}$يتم الحصول على توسيع تايلور ^{[ 7 ]} باستخدام نظرية بورمان : ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x)\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{12}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)-{\frac {7}{480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{2}-{\frac {5}{896}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{3}-\cdots \right)\\[10pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x)\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e^{-kx^{2}}\right)\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \operatorname {sgn} }$هي دالة الإشارة . بالاحتفاظ بالمعاملين الأولين فقط واختيار${\displaystyle c_{1}=31/200}$و${\displaystyle c_{2}=-341/8000}$، ويُظهر التقريب الناتج أكبر خطأ نسبي له عند${\displaystyle x=\pm 1.40587}$، حيث يكون أقل من${\displaystyle 0.0034361}$: $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x)\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {31}{200}}e^{-x^{2}}-{\frac {341}{8000}}e^{-2x^{2}}\right).}$$

بفرض عدد مركب${\displaystyle z}$لا يوجد عدد مركب فريد${\displaystyle w}$مُرضٍ${\displaystyle \operatorname {erf} (w)=z}$لذا فإن الدالة العكسية الحقيقية ستكون متعددة القيم. ومع ذلك، بالنسبة لـ${\displaystyle -1<x<1}$يوجد عدد حقيقي فريد يُرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)}$مُرضٍ

${\displaystyle \operatorname {erf} \left(\operatorname {erf} ^{-1}(x)\right)=x.}$

عادةً ما يتم تعريف دالة الخطأ العكسية بمجال${\displaystyle (-1,1)}$ويقتصر ذلك على هذا النطاق في العديد من أنظمة الجبر الحاسوبي . ومع ذلك، يمكن توسيعه ليشمل القرص.${\displaystyle |z|<1}$في المستوى المركب، باستخدام متسلسلة ماكلورين ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},}$$ أين${\displaystyle c_{0}=1}$و $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{k}&=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}\\[1ex]&=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},{\frac {4369}{2520}},{\frac {34807}{16200}},\ldots \right\}.\end{aligned}}}$$

إذن لدينا متسلسلة تايلور (تم حذف العوامل المشتركة من البسط والمقام):

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right).}$

(بعد الاختزال، تكون قيم البسط والمقام في (التسلسل A092676 في OEIS ) و (التسلسل A092677 في OEIS ) على التوالي؛ وبدون اختزال، تكون قيم البسط في (التسلسل A002067 في OEIS ) .) قيمة دالة الخطأ عند${\displaystyle \pm \infty }$يساوي${\displaystyle \pm 1}$.

ل${\displaystyle |z|<1}$لدينا${\displaystyle \operatorname {erf} (\operatorname {erf} ^{-1}(z))=z}$.

تُعرَّف دالة الخطأ التكميلية العكسية على النحو التالي:$${\displaystyle \operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}(z).}$$ لريال مدريد${\displaystyle x}$يوجد عدد حقيقي فريد${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$مُرضٍ${\displaystyle \operatorname {erfi} (\operatorname {erfi} ^{-1}(x))=x}$تُعرَّف دالة الخطأ التخيلي العكسي على النحو التالي :${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$[ ^{10 ]​}

لأي شخص حقيقي${\displaystyle x}$يمكن استخدام طريقة نيوتن لحساب${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$و لـ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$، تتقارب متسلسلة ماكلورين التالية:

${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},}$

أين${\displaystyle c_{k}}$يتم تعريفها كما سبق.

توسيع تقاربي مفيد لدالة الخطأ التكميلية (وبالتالي أيضًا لدالة الخطأ) للأعداد الحقيقية الكبيرة${\displaystyle x}$يكون $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{\left(2x^{2}\right)^{n}}}\right)\\[6pt]&={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2x^{2}\right)^{n}}},\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle (2n-1)!!}$هو مضروب العدد 1${\displaystyle 2n-1}$أي حاصل ضرب جميع الأعداد الفردية حتى${\displaystyle 2n-1}$تتباعد هذه السلسلة لكل عدد محدود${\displaystyle x}$ومعناها كتوسع تقاربي هو أنه لأي عدد صحيح${\displaystyle N\geq 1}$يمتلك المرء

${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2x^{2}\right)^{n}}}+R_{N}(x),}$

حيث الباقي هو

${\displaystyle R_{N}(x):={\frac {(-1)^{N}\,(2N-1)!!}{{\sqrt {\pi }}\cdot 2^{N-1}}}\int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,dt,}$

والذي يتبع بسهولة بالاستقراء، كتابة

${\displaystyle e^{-t^{2}}=-{\frac {1}{2t}}\,{\frac {d}{dt}}e^{-t^{2}}}$

والتكامل بالتجزئة. السلوك التقاربي لحد الباقي هو

${\displaystyle R_{N}(x)=O{\Big (}x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}{\Big )}}$

مثل${\displaystyle x\to \infty }$يمكن العثور على ذلك عن طريق

${\displaystyle R_{N}(x)\propto \int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,dt=e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }(t+x)^{-2N}e^{-t^{2}-2tx}\,dt\leq e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }x^{-2N}e^{-2tx}\,dt\propto x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}.}$

بالنسبة لقيم كبيرة بما فيه الكفاية من${\displaystyle x}$، لا يلزم سوى الحدود القليلة الأولى من هذا التوسع التقاربي للحصول على تقريب جيد لـ${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$(بينما بالنسبة للقيم غير الكبيرة جدًا لـ${\displaystyle x}$(يوفر توسيع تايلور المذكور أعلاه عند 0 تقاربًا سريعًا جدًا).

تم التوصل إلى توسيع كسري مستمر لدالة الخطأ التكميلية بواسطة لابلاس : ^{[ 11 ] [ 12 ]}$${\displaystyle \operatorname {erfc} (z)={\frac {z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}{\cfrac {1}{z^{2}+{\cfrac {a_{1}}{1+{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+{\cfrac {a_{3}}{1+\dotsb }}}}}}}}}$$ أين${\displaystyle a_{m}={\frac {m}{2}}}$.

متسلسلة العامل العكسي

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (z)&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}Q_{n}}{{\left(z^{2}+1\right)}^{(n)}}}\\[1ex]&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\left[1-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{(z^{2}+1)}}+{\frac {1}{4}}{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)\left(z^{2}+2\right)}}-\cdots \right]\end{aligned}}}$

يتقارب لـ${\displaystyle \operatorname {Re} (z^{2})>0}$. هنا

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{n}&={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }\tau (\tau -1)\cdots (\tau -n+1)\tau ^{-{\frac {1}{2}}}e^{-\tau }\,d\tau \\[1ex]&=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)\left({\frac {1}{2}}\right)^{(k)}=\sum _{k=0}^{n}s(n,k){\frac {(2k-1)!!}{2^{k}}}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle z^{(n)}}$يرمز إلى العامل التصاعدي ، و${\displaystyle s(n,k)}$يرمز إلى عدد ستيرلينغ الموقّع من النوع الأول . ^{[ 13 ] [ 14 ]} يمكن كتابة متسلسلة تايلور بدلالة المضروب المزدوج :

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-2)^{n}(2n-1)!!}{(2n+1)!}}z^{2n+1}.}$

يقدم أبراموفيتز وستيجون عدة تقريبات متفاوتة الدقة (المعادلات 7.1.25-28). وهذا يتيح اختيار التقريب الأسرع والأنسب لتطبيق معين. وهي مرتبة حسب تزايد الدقة كما يلي: $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-{\frac {1}{\left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}\right)^{4}}},\qquad x\geq 0}$$ (الحد الأقصى للخطأ:5 × 10 ⁻⁴ )

حيث a1 = 0.278393 ، و _a2 = 0.230389 ، و _a3 = 0.000972 ، _و a4 = _0.078108

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}},\qquad x\geq 0}$$ (الحد الأقصى للخطأ:2.5 × 10 ⁻⁵ )

حيث p = 0.47047 ، و _a1 = 0.3480242 ، و _a2 = −0.0958798 ، و _a3 = 0.7478556

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-{\frac {1}{\left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{6}x^{6}\right)^{16}}},\qquad x\geq 0}$$ (الحد الأقصى للخطأ:3 × 10 ⁻⁷ )

حيث a1 = 0.0705230784 ، و _a2 = 0.0422820123 ، _و a3 = 0.0092705272 ، _و a4 = 0.0001520143 ، _و a5 = 0.0002765672 _، و a6 ₌ 0.0000430638

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{5}t^{5}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}}}$$ (الحد الأقصى للخطأ:1.5 × 10 ⁻⁷ )

حيث p = 0.3275911 ، و _a1 = 0.254829592 ، و _a2 = −0.284496736 ، و _a3 = 1.421413741 ، و _a4 = −1.453152027 ، و _a5 = 1.061405429

يمكن تحسين دقة تقريب A&S عن طريق توسيعه بثلاثة معلمات إضافية، $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{5}t^{5}+a_{6}t^{6}+a_{7}t^{7}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+p_{1}x+p_{2}x^{2}}}}$$ حيث p1 = 0.406742016006509، وp2 = 0.0072279182302319، وa1 = 0.316879890481381، وa2 = -0.138329314150635، وa3 = 1.08680830347054، وa4 = -1.11694155120396، وa5 = 1.20644903073232، وa6 = -0.393127715207728، وa7 = 0.0382613542530727. يبلغ الحد الأقصى للخطأ في هذا التقريب حوالي2 × 10 ⁻⁹ . يتم الحصول على المعلمات عن طريق مطابقة التقريب الموسع مع القيم الدقيقة لدالة الخطأ باستخدام كود بايثون التالي.

استوردنا مكتبة NumPy باسم np ، ومكتبة Math من خلال استيراد الدوال erf و exp و sqrt ، ومكتبة scipy.optimize من خلال استيراد الدالة least_squares .# تقريب A&S الموسع: # erf(x) ≈ 1 − t * exp(−x^2) * (a1 + a2*t + a3*t^2 + ... + a7*t^6) # حيث الآن # t = 1 / (1 + p1*x + p2*x^2) # نقوم بضبط المعاملات p1، p2، ​​a1..a7 على x في [0، 10]. #def approx_erf ( params , x ): p1 = params [ 0 ] p2 = params [ 1 ] a = params [ 2 :]t = 1.0 / ( 1.0 + p1 * x + p2 * x * x )poly = np.zeros_like ( x ) tt = np.ones_like ( x ) # t ^ 0​# متعددة الحدود: a1*t^0 + a2*t^1 + ... + a7*t^6 لكل ak في a : متعددة الحدود += ak * tt tt *= tإرجاع 1.0 - t * np . exp ( - x * x ) * polyدالة residuals ( params , xs , ys ): تُرجع approx_erf ( params , xs ) - ysإعداد البيانات للمطابقةN = 300 xmin = 0 xmax = 10 xs = np.linspace ( xmin , xmax , N ) ys = np.array ( [ erf ( x ) for x in xs ] , dtype = float )​​تقدير أولي للمعاملات ابدأ من قيم A&S الأصلية وقم بتوسيعها بشكل متحفظp1_0 = 0.3275911 # قيمة A&S الأصلية p2_0 = 0.0 # معامل المقام الجديد# معاملات A&S الأصلية 5، إضافة اثنين => 7 في المجموع a0 = [ 0.254829592 , - 0.284496736 , 1.421413741 , - 1.453152027 , 1.061405429 , 0.0 , # حد جديد 0.0 , # حد جديد آخر ]params0 = np.array ( [ p1_0 , p2_0 ] + a0 , dtype = float )​التوفيق باستخدام طريقة المربعات الصغرى غير الخطية (ليفنبرغ- ماركوارت )result = least_squares ( residuals , params0 , args = ( xs , ys ), xtol = 1e-14 , ftol = 1e-14 , gtol = 1e-14 , max_nfev = 5000 )params = result . x p1_fit = params [ 0 ] p2_fit = params [ 1 ] a_fit = params [ 2 :]طباعة المعلمات المُجهزةprint ( " \n المعاملات المُلائمة:" ) print ( f "p1 = { p1_fit : .15g } ,"" ) print ( f "p2 = { p2_fit : .15g } ,"" ) for i , ai in enumerate ( a_fit , 1 ): print ( f "a { i } = { ai : .15g } ,"" )تقييم خطأ التقريبapprox_vals = approx_erf ( params , xs ) abs_err = np . abs ( approx_vals - ys )print ( f " \n أقصى خطأ مطلق على [ { xmin } , { xmax } ]:" , np.max ( abs_err )) print ( " خطأ الجذر التربيعي المتوسط:" , np.sqrt ( np.mean ( abs_err ** 2 ) )) print ( " تم . " )

جميع هذه التقريبات صالحة لـ x ≥ 0. لاستخدام هذه التقريبات لـ x السالبة ، استخدم حقيقة أن erf( x ) دالة فردية، لذا erf( x ) = −erf( −x ) .

يتم إعطاء الحدود الأسية والتقريب الأسي البحت لدالة الخطأ التكميلية بواسطة ^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&\leq {\frac {1}{2}}e^{-2x^{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-x^{2}}\leq e^{-x^{2}},&&x>0\\[1.5ex]\operatorname {erfc} (x)&\approx {\frac {1}{6}}e^{-x^{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {4}{3}}x^{2}},&&x>0.\end{aligned}}}$$

تم تعميم ما سبق إلى مجاميع N من الدوال الأسية [ 16 ] بدقة متزايدة بدلالة N بحيث يمكن تقريب أو تحديد erfc( x ) بدقة بواسطة 2Q̃ ( √2x ) ، حيث $${\displaystyle {\tilde {Q}}(x)=\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}}.}$$ على وجه الخصوص، توجد منهجية منهجية لحل المعاملات العددية {( a n  , b n )}  n = 1 والتي تُعطي تقريبًا أو حدًا أدنى لدالة Q المرتبطة بها ارتباطًا وثيقًا : Q ( x ) ≈ Q̃ ( x ) ، أو Q ( x ) ≤ Q̃ ( x ) ، أو Q ( x ) ≥ Q̃ ( x ) لـ x ≥ 0. وقد أُتيحت المعاملات {( a n , bn  )} n  = 1 للعديد من صيغ التقريبات الأسية والحدود حتى N = 25 للوصول المفتوح كمجموعة بيانات شاملة. [ 17 ]

قدم كاراغيانديس وليومباس (2007) ^{[ 18 ]} تقريبًا دقيقًا لدالة الخطأ التكميلية لـ x ∈ [0,∞)، حيث أظهرا أنه عند الاختيار المناسب للمعاملات { A , B }، فإن $${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)\approx {\frac {\left(1-e^{-Ax}\right)e^{-x^{2}}}{B{\sqrt {\pi }}x}}.}$$ حددوا أن { A , B } = {1.98, 1.135} ، وهو ما أعطى تقريبًا جيدًا لجميع قيم x ≥ 0. كما تتوفر معاملات بديلة لتخصيص الدقة لتطبيق معين أو لتحويل التعبير إلى حد دقيق. ^{[ 19 ]}

الحد الأدنى ذو الحد الواحد هو ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)\geq {\sqrt {\frac {2e}{\pi }}}{\frac {\sqrt {\beta -1}}{\beta }}e^{-\beta x^{2}},\qquad x\geq 0,\quad \beta >1,}$$ حيث يمكن اختيار المعامل β لتقليل الخطأ في الفترة التقريبية المطلوبة.

وقدّم سيرجي وينيتسكي تقريبًا آخر باستخدام "تقريبات باديه العالمية": ^{[ 21 ] [ 22 ] : 2-3}$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-\exp \left(-x^{2}{\frac {{\frac {4}{\pi }}+ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)}}}$$ أين $${\displaystyle a={\frac {8(\pi -3)}{3\pi (4-\pi )}}\approx 0.140012.}$$ صُمم هذا النموذج ليكون دقيقًا للغاية في نطاق القيم القريبة من الصفر واللانهاية، ويكون الخطأ النسبي أقل من 0.00035 لجميع قيم x الحقيقية . وباستخدام القيمة البديلة a ≈ 0.147، ينخفض ​​الحد الأقصى للخطأ النسبي إلى حوالي 0.00013. ^{[ 23 ]}

التقريب العالمي الموسع لـ "بادي"، $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4+0.880877880079853x^{2}+0.144026670907584x^{4}+0.0077581300270021x^{6}}{\pi +0.786235558186528x^{2}+0.128368576906837x^{4}+0.00773380006014367x^{6}}}\right)}}\,,}$$ يوفر هامش خطأ أقصى يبلغ حوالي2 × 10 ⁻⁹ ، كما هو موضح في نص بايثون التالي.

استورد numpy و math من scipy.optimize استورد least_squares# تقريب لدالة الخطأ erf(x)دالة approx_erf ( p , x ): frac = ( 4 + p [ 0 ] * x ** 2 + p [ 1 ] * x ** 4 + p [ 2 ] * x ** 6 ) / ( math . pi + p [ 3 ] * x ** 2 + p [ 4 ] * x ** 4 + p [ 5 ] * x ** 6 ) return numpy . sign ( x ) * numpy . sqrt ( 1 - numpy . exp ( - x * x * frac ))دالة residuals ( params , xs , ys ): تُرجع approx_erf ( params , xs ) - ysبيانات للمطابقةN = 200 xmin = 0 xmax = 9 xs = numpy.linspace ( xmin , xmax , N ) ys = numpy.array ( [ math.erf ( x ) for x in xs ] , dtype = float ) params0 = numpy.array ( [ 0.9 , 0.1 , 0.008 , 0.8 , 0.1 , 0.008 ] , dtype = float )​​​​مناسبالنتيجة = المربعات الصغرى ( البواقي ، المعاملات 0 ، الوسائط = ( xs ، ys )، xtol = 1e-14 ، ftol = 1e-14 ، gtol = 1e-14 ، max_nfev = 5000 ) المعاملات = النتيجة . xطباعة المعايير المُلائمةprint ( " \n المعاملات المُلائمة:" ) for i , pi in enumerate ( params , 0 ): print ( f "p { i } = { pi : .15g } ,"" )# تقييم خطأ التقريبapprox_vals = approx_erf ( params , xs ) abs_err = numpy . abs ( approx_vals - ys )print ( f " \n أقصى خطأ مطلق على [ { xmin } , { xmax } ] :" , numpy.max ( abs_err )) print ( " خطأ الجذر التربيعي المتوسط:" , numpy.sqrt ( numpy.mean ( abs_err ** 2 ) )) print ( " تم. " )

يمكن عكس تقريب وينيتزكي للحصول على تقريب لدالة الخطأ العكسية: $${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {{\sqrt {\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right)^{2}-{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{a}}}}-\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right)}}.}$$

تقريب بخطأ أقصى قدره1.2 × 10 ⁻⁷ لأي وسيط حقيقي هو: ^{[ 24 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\begin{cases}1-\tau ,&x\geq 0\\\tau -1,&x<0\end{cases}}\\\tau &=t\cdot \exp \left(-x^{2}-1.26551223+1.00002368t+0.37409196t^{2}+0.09678418t^{3}-0.18628806t^{4}\right.\\&\left.\qquad \qquad \qquad +0.27886807t^{5}-1.13520398t^{6}+1.48851587t^{7}-0.82215223t^{8}+0.17087277t^{9}\right)\\t&={\frac {1}{1+{\frac {1}{2}}|x|}}\end{aligned}}}$$

تقريب لـ${\displaystyle \operatorname {erfc} }$مع حد أقصى للخطأ النسبي أقل من${\displaystyle 2^{-53}}$${\displaystyle \left(\approx 1.1\times 10^{-16}\right)}$بالقيمة المطلقة هي: ^{[ 25 ]} لـ${\displaystyle x\geq 0}$،$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} \left(x\right)&=\left({\frac {0.56418958354775629}{x+2.06955023132914151}}\right)\left({\frac {x^{2}+2.71078540045147805x+5.80755613130301624}{x^{2}+3.47954057099518960x+12.06166887286239555}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+3.47469513777439592x+12.07402036406381411}{x^{2}+3.72068443960225092x+8.44319781003968454}}\right)\left({\frac {x^{2}+4.00561509202259545x+9.30596659485887898}{x^{2}+3.90225704029924078x+6.36161630953880464}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+5.16722705817812584x+9.12661617673673262}{x^{2}+4.03296893109262491x+5.13578530585681539}}\right)\left({\frac {x^{2}+5.95908795446633271x+9.19435612886969243}{x^{2}+4.11240942957450885x+4.48640329523408675}}\right)e^{-x^{2}}\\\end{aligned}}}$$ ولـ${\displaystyle x<0}$$${\displaystyle \operatorname {erfc} \left(x\right)=2-\operatorname {erfc} \left(-x\right)}$$

يمكن إجراء تقريب بسيط للوسائط ذات القيم الحقيقية من خلال الدوال الزائدية : $${\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)\approx z(x)=\tanh \left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x+{\frac {11}{123}}x^{3}\right)\right)}$$ مما يحافظ على الفرق المطلق${\displaystyle \left|\operatorname {erf} \left(x\right)-z(x)\right|<0.000358,\,\forall x}$.

بما أن دالة الخطأ ودالة Q الغاوسية مرتبطتان ارتباطًا وثيقًا من خلال التطابق${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=2Q({\sqrt {2}}x)}$أو ما يعادل ذلك${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}$يمكن تكييف الحدود المطورة لدالة Q لتقريب دالة الخطأ التكميلية. يوجد زوج من الحدود الدنيا والعليا الدقيقة لدالة Q الغاوسية للقيم الموجبة.${\displaystyle x\in [0,\infty )}$تم تقديمها بواسطة Abreu (2012) ^{[ 26 ]} بناءً على تعبير جبري بسيط يحتوي على حدين أسيين فقط: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&\geq 0\\{\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)&\geq {\frac {1}{12}}e^{-x^{2}}+{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(x+1)}}e^{-x^{2}/2}\\&\leq {\frac {1}{50}}e^{-x^{2}}+{\frac {1}{2(x+1)}}e^{-x^{2}/2}\\{\frac {1}{25}}e^{-2x^{2}}+{\frac {1}{x+1}}e^{-x^{2}}\geq \operatorname {erfc} (x)&\geq {\frac {1}{6}}e^{-2x^{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2\pi }}(x+1)}}e^{-x^{2}}\end{aligned}}}$$

تنبع هذه الحدود من شكل موحد$${\displaystyle Q_{\mathrm {B} }(x;a,b)={\frac {\exp(-x^{2})}{a}}+{\frac {\exp(-x^{2}/2)}{b(x+1)}},}$$حيث المعلمات${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$يتم اختيارها لضمان خصائص التحديد: بالنسبة للحد الأدنى،${\displaystyle a_{\mathrm {L} }=12}$و${\displaystyle b_{\mathrm {L} }={\sqrt {2\pi }}}$وبالنسبة للحد الأعلى،${\displaystyle a_{\mathrm {U} }=50}$و${\displaystyle b_{\mathrm {U} }=2}$تحافظ هذه التعبيرات على البساطة والدقة، مما يوفر توازناً عملياً بين الدقة وسهولة الحساب. وهي ذات قيمة خاصة في السياقات النظرية، مثل نظرية الاتصالات عبر قنوات التلاشي، حيث تظهر كلتا الدالتين بشكل متكرر. بالإضافة إلى ذلك، يمكن توسيع حدود دالة Q الأصلية لتشمل${\displaystyle Q^{n}(x)}$للأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle n}$عبر نظرية ذات الحدين ، مما يشير إلى إمكانية التكيف مع قوى${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$، على الرغم من أن هذا الأمر أقل شيوعًا في تطبيقات وظائف الخطأ.

تُعرَّف دالة الخطأ التكميلية، التي يُرمز لها بـ erfc، على النحو التالي :$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&=1-\operatorname {erf} (x)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt\\&=e^{-x^{2}}\operatorname {erfcx} (x),\end{aligned}}}$$ وهذا يُعرّف أيضًا دالة الخطأ التكميلية المُقاسة erfcx [ ^{27 ] (} والتي يُمكن استخدامها بدلًا من erfc لتجنب التجاوز الحسابي ^{[ 27 ] [ 28 ]} ). وهناك شكل آخر لـ erfc x لـ x ≥ 0 يُعرف بصيغة كريج، نسبةً إلى مكتشفها: ^{[ 29 ]}$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x\mid x\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)\,d\theta .}$$ هذا التعبير صالح فقط للقيم الموجبة لـ x ، ولكن يمكن استخدامه مع erfc( x ) = 2 − erfc( −x ) للحصول على erfc( x ) للقيم السالبة. تتميز هذه الصيغة بأن نطاق التكامل ثابت ومحدود. ويمكن الاطلاع على امتداد لهذا التعبير لحساب erfc لمجموع متغيرين غير سالبين في المرجع ^{[ 30 ].}$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x+y\mid x,y\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}-{\frac {y^{2}}{\cos ^{2}\theta }}\right)\,d\theta .}$$

تُعرَّف دالة الخطأ التخيلي، التي يُرمز لها بـ erfi، على النحو التالي :$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfi} (x)&=-i\operatorname {erf} (ix)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{x^{2}}D(x),\end{aligned}}}$$ حيث D ( x ) هي دالة داوسون (والتي يمكن استخدامها بدلاً من erfi لتجنب تجاوز الحساب ^{[ 27 ]} ).