تعبير محدد جيدًا

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرَّف التعبير الرياضي بأنه تعبيرٌ يُحدد تعريفه تفسيرًا أو قيمةً فريدة. وإلا، يُقال إن التعبير غير مُعرَّف جيدًا أو غامض . [ 1 ] تكون الدالة مُعرَّفة جيدًا إذا أعطت النتيجة نفسها عند تغيير تمثيل المُدخل دون تغيير قيمته. على سبيل المثال، إذاو{\displaystyle f}تأخذ أعدادًا حقيقية كمدخلات، وإذاو(0.5){\displaystyle f(0.5)}لا يساويو(1/2){\displaystyle f(1/2)}ثمو{\displaystyle f}غير مُعرَّف جيدًا (وبالتالي ليس دالة). [ 2 ] يمكن أيضًا استخدام مصطلح "مُعرَّف جيدًا" للإشارة إلى أن التعبير المنطقي واضح لا لبس فيه أو غير متناقض.

الدالة غير المُعرَّفة جيدًا ليست هي نفسها الدالة غير المُعرَّفة . على سبيل المثال، إذاو(x)=1x{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}، ثم على الرغم منو(0){\displaystyle f(0)}إذا كانت الدالة غير معرفة، فهذا لا يعني أنها غير معرفة جيدًا؛ بل يعني أن الصفر ليس ضمن نطاق تعريفها.و{\displaystyle f}.

مثال

يتركأ0،أ1{\displaystyle A_{0},A_{1}}لتكن مجموعات، ولتكنأ=أ0∪أ1{\displaystyle A=A_{0}\cup A_{1}}و"تحديد"و:أ→{0،1}{\displaystyle f:A\rightarrow \{0,1\}}مثلو(أ)=0{\displaystyle f(a)=0}لوأ∈أ0{\displaystyle a\in A_{0}}وو(أ)=1{\displaystyle f(a)=1}لوأ∈أ1{\displaystyle a\in A_{1}}.

ثمو{\displaystyle f}يكون تعريفها جيداً إذاأ0∩أ1=∅{\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset \!}على سبيل المثال، إذاأ0:={2،4}{\displaystyle A_{0}:=\{2,4\}}وأ1:={3،5}{\displaystyle A_{1}:=\{3,5\}}، ثمو(أ){\displaystyle f(a)}سيكون محددًا جيدًا ومساويًا لـتعديل⁡(أ،2){\displaystyle \operatorname {mod} (a,2)}.

لكن إذاأ0∩أ1≠∅{\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }، ثمو{\displaystyle f}لن يكون تعريفها جيداً لأنو(أ){\displaystyle f(a)}"غامض" لـأ∈أ0∩أ1{\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}على سبيل المثال، إذاأ0:={2}{\displaystyle A_{0}:=\{2\}}وأ1:={2}{\displaystyle A_{1}:=\{2\}}، ثمو(2){\displaystyle f(2)}سيكون من الضروري أن تكون قيمته 0 و1 في آن واحد، مما يجعله غامضًا. ونتيجة لذلك، فإن الأخيرو{\displaystyle f}ليس تعريفًا جيدًا، وبالتالي فهو ليس دالة.

"التعريف" كتوقع للتعريف

لتجنب استخدام علامات الاقتباس حول كلمة "define" في المثال البسيط السابق، فإن "تعريف"و{\displaystyle f}يمكن تقسيمها إلى خطوتين منطقيتين:

  1. تعريف العلاقة الثنائية . في المثال:
    و:={(أ،أنا)|أنا∈{0،1}∧أ∈أأنا}،{\displaystyle f:={\bigl \{}(a,i)\mid i\in \{0,1\}\wedge a\in A_{i}{\bigr \}},}
    (وهو حتى الآن ليس سوى مجموعة فرعية معينة من الضرب الديكارتي)أ×{0،1}{\displaystyle A\times \{0,1\}}.)
  2. التأكيد . العلاقة الثنائيةو{\displaystyle f}هي دالة؛ في المثال:
    و:أ→{0،1}.{\displaystyle f:A\rightarrow \{0,1\}.}

بينما تمت صياغة التعريف في الخطوة 1 بحرية أي تعريف، وهو فعال بالتأكيد (دون الحاجة إلى تصنيفه على أنه "محدد جيدًا")، إلا أن الادعاء في الخطوة 2 يحتاج إلى إثبات. أي،و{\displaystyle f}تكون دالة إذا وفقط إذاأ0∩أ1=∅{\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset }وفي هذه الحالةو{\displaystyle f}- كدالة - محددة جيدًا.

من ناحية أخرى، إذاأ0∩أ1≠∅{\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }ثم لـأ∈أ0∩أ1{\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}، سيكون لدينا ذلك(أ،0)∈و{\displaystyle (a,0)\in f}و(أ،1)∈و{\displaystyle (a,1)\in f}مما يجعل العلاقة ثنائيةو{\displaystyle f}ليست وظيفية (كما هو مُعرَّف في العلاقات الثنائية §  أنواع العلاقات الثنائية )، وبالتالي لا تُعرَّف جيدًا كدالة. ويُطلق عليها عامةً اسم "الدالة".و{\displaystyle f}ويُطلق عليه أيضًا اسم غامض عند نقطةأ{\displaystyle a}(على الرغم من أنه لا يوجد بحكم التعريف "وظيفة غامضة")، فإن "التعريف" الأصلي لا طائل منه.

على الرغم من هذه المشاكل المنطقية الدقيقة، فمن الشائع جدًا استخدام مصطلح التعريف (بدون علامات اقتباس) للدلالة على "التعريفات" من هذا النوع، وذلك لثلاثة أسباب:

  1. يوفر هذا اختصارًا مفيدًا للنهج المكون من خطوتين.
  2. إن الاستدلال الرياضي ذي الصلة (أي الخطوة 2) هو نفسه في كلتا الحالتين.
  3. في النصوص الرياضية، يكون التأكيد صحيحًا بنسبة "تصل إلى 100%".

استقلالية الممثل

كثيرًا ما تُثار تساؤلات حول مدى دقة تعريف الدالة عندما لا تشير معادلة تعريفها إلى الوسائط نفسها فحسب، بل إلى عناصرها التي تُمثلها . وهذا أمرٌ لا مفر منه أحيانًا عندما تكون الوسائط مجموعات مشاركة ، وعندما تشير المعادلة إلى عناصر هذه المجموعات. وبالتالي، يجب ألا تعتمد نتيجة تطبيق الدالة على اختيار العنصر المُمثل.

الدوال ذات الوسيط الواحد

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك الدالة التالية:

و:Z/8Z→Z/4Zن¯8↦ن¯4،{\displaystyle {\begin{matrix}f:&\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{8}&\mapsto &{\overline {n}}_{4},\end{matrix}}}

أينن∈Z،م∈{4،8}{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,m\in \{4,8\}}وZ/مZ{\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }هي الأعداد الصحيحة بتردد m ون¯م{\displaystyle {\overline {n}}_{m}}يشير إلى فئة التطابق لـ n mod m .

ملاحظة:ن¯4{\displaystyle {\overline {n}}_{4}}هو إشارة إلى العنصرن∈ن¯8{\displaystyle n\in {\overline {n}}_{8}}، ون¯8{\displaystyle {\overline {n}}_{8}}هذا هو جوهر الحجةو{\displaystyle f}.

الوظيفةو{\displaystyle f}محدد جيدًا، لأن:

ن≡ن′تعديل8⇔8 يقسم (ن-ن′)⇒4 يقسم (ن-ن′)⇔ن≡ن′تعديل4.{\displaystyle n\equiv n'{\bmod {8}}\;\Leftrightarrow \;8{\text{ يقسم }}(nn')\Rightarrow \;4{\text{ يقسم }}(nn')\;\Leftrightarrow \;n\equiv n'{\bmod {4}}.}

كمثال مضاد، التعريف العكسي:

ز:Z/4Z→Z/8Zن¯4↦ن¯8،{\displaystyle {\begin{matrix}g:&\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{4}&\mapsto &{\overline {n}}_{8},\end{matrix}}}

لا يؤدي ذلك إلى دالة محددة جيدًا، على سبيل المثال1¯4{\displaystyle {\overline {1}}_{4}}يساوي5¯4{\displaystyle {\overline {5}}_{4}}فيZ/4Z{\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }لكن الأولى سيتم رسم خريطتها بواسطةز{\displaystyle g}ل1¯8{\displaystyle {\overline {1}}_{8}}بينما سيتم ربط الثاني بـ5¯8{\displaystyle {\overline {5}}_{8}}، و1¯8{\displaystyle {\overline {1}}_{8}}و5¯8{\displaystyle {\overline {5}}_{8}}غير متساوين فيZ/8Z{\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }.

العمليات

يُستخدم مصطلح "مُعرَّف جيدًا" تحديدًا فيما يتعلق بالعمليات (الثنائية) على المجموعات المشاركة. في هذه الحالة، يمكن اعتبار العملية دالةً لمتغيرين، وتكون خاصية كونها مُعرَّفة جيدًا مماثلةً لخاصية تعريف الدالة. على سبيل المثال، يمكن تعريف عملية جمع الأعداد الصحيحة بتردد معين n بشكل طبيعي بدلالة عملية جمع الأعداد الصحيحة.

[أ]⊕[ب]=[أ+ب]{\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+b]}

إن كون هذا الأمر محددًا جيدًا ينبع من حقيقة أنه يمكننا كتابة أي تمثيل لـ[أ]{\displaystyle [a]}مثلأ+كن{\displaystyle a+kn}، أينك{\displaystyle k}هو عدد صحيح. لذلك،

[أ]⊕[ب]=[أ+كن]⊕[ب]=[(أ+كن)+ب]=[(أ+ب)+كن]=[أ+ب];{\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+kn]\oplus [b]=[(a+kn)+b]=[(a+b)+kn]=[a+b];}

ينطبق الأمر نفسه على أي ممثل لـ[ب]{\displaystyle [b]}وبذلك يصبح[أ+ب]{\displaystyle [a+b]}الأمر سيان، بغض النظر عن اختيار الممثل.

تدوين محدد جيدًا

بالنسبة للأعداد الحقيقية، يكون الناتجأ×ب×ج{\displaystyle a\times b\times c}لا لبس فيه لأن(أ×ب)×ج=أ×(ب×ج){\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}لذا يُقال إن الترميز مُعرَّف جيدًا . [ 1 ] تضمن هذه الخاصية، المعروفة أيضًا باسم تجميعية الضرب، أن النتيجة لا تعتمد على تسلسل عمليات الضرب؛ لذلك، يمكن حذف تحديد التسلسل. عملية الطرح غير تجميعية؛ على الرغم من ذلك، هناك اصطلاح ينص على أنأ-ب-ج{\displaystyle abc}هو اختصار لـ(أ-ب)-ج{\displaystyle (ab)-c}لذا يُعتبر "محددًا جيدًا". من ناحية أخرى، القسمة غير تجميعية، وفي حالةأ/ب/ج{\displaystyle a/b/c}، قواعد وضع الأقواس ليست راسخة بشكل جيد؛ لذلك، غالباً ما يعتبر هذا التعبير غير محدد بشكل جيد.

على عكس الدوال، يمكن التغلب على الغموض في الرموز باستخدام تعريفات إضافية (مثل قواعد الأسبقية ، وتجميعية المعامل). على سبيل المثال، في لغة البرمجة C ، يكون معامل -الطرح تجميعيًا من اليسار إلى اليمين ، أي أن a-b-cيُعرَّف على أنه (a-b)-c، ويكون معامل =الإسناد تجميعيًا من اليمين إلى اليسار ، أي أن a=b=cيُعرَّف على أنه a=(b=c). [ 3 ] أما في لغة البرمجة APL، فهناك قاعدة واحدة فقط: من اليمين إلى اليسار - ولكن الأقواس أولًا.

استخدامات أخرى للمصطلح

يُقال إن حل المعادلة التفاضلية الجزئية مُعرَّف جيدًا إذا كان يتحدد باستمرار بواسطة الشروط الحدية عند تغيير تلك الشروط الحدية. [ 1 ]

انظر أيضاً

مراجع

ملحوظات

  1. 1 2 3 وايسشتاين، إريك دبليو. "محدد جيدًا" . من MathWorld - مورد ويب من Wolfram . تم الاسترجاع في 2 يناير 2013 .
  2. ↑ جوزيف ج. روتمان، نظرية المجموعات: مقدمة ، ص 287 "... الدالة "أحادية القيمة"، أو كما نفضل أن نقول ... الدالة معرفة جيدًا ."، ألين وبيكون، 1965.
  3. ↑ "أسبقية المعاملات والترابط في لغة C" . GeeksforGeeks . 2014-02-07 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2019-10-18 .

مصادر

  • الجبر المجرد المعاصر ، جوزيف أ. غاليان، الطبعة السادسة، هوغلين ميفلين، 2006، رقم ISBN 0-618-51471-6.
  • الجبر: الفصل 0 ، باولو ألوفي، رقم ISBN 978-0821847817الصفحة 16.
  • الجبر المجرد ، دوميت وفوت، الطبعة الثالثة، رقم ISBN 978-0471433347الصفحة 1.