تحديد كمية التفرد

في الرياضيات والمنطق ، يشير مصطلح "التفرد" إلى خاصية كون الشيء هو الشيء الوحيد الذي يحقق شرطًا معينًا. ^{[ 1 ]} يُعرف هذا النوع من التحديد الكمي بالتحديد الكمي للتفرد أو التحديد الكمي الوجودي الفريد ، ويُرمز إليه غالبًا بالرمز " ∃ !" ^{[ 2 ]} أو "∃ ₌₁ ". ويُعرّف بأنه يعني وجود كائن واحد يمتلك الخاصية المحددة، وأن جميع الكائنات التي تمتلك هذه الخاصية متساوية .

على سبيل المثال، البيان الرسمي

${\displaystyle \exists !n\in \mathbb {N} \,(n-2=4)}$

يمكن قراءتها على أنها "يوجد عدد طبيعي واحد فقط"${\displaystyle n}$بحيث​${\displaystyle n-2=4}$" .

تتمثل الطريقة الأكثر شيوعًا لإثبات الوجود الفريد لشيء ما في إثبات وجود الكيان أولاً بالشرط المطلوب، ثم إثبات أن أي كيانين من هذا النوع (على سبيل المثال،${\displaystyle a}$و​${\displaystyle b}$يجب أن تكون القيم متساوية ( أي ${\displaystyle a=b}$) .

على سبيل المثال، لإظهار أن المعادلة${\displaystyle x+2=5}$إذا كان للمعادلة حل واحد فقط، فسيبدأ المرء أولاً بإثبات وجود حل واحد على الأقل، وهو 3؛ وإثبات هذا الجزء هو ببساطة التحقق من صحة المعادلة أدناه:

${\displaystyle 3+2=5.}$

لإثبات تفرد الحل، ينبغي افتراض وجود حلين، وهما:${\displaystyle a}$و​${\displaystyle b}$، مُرضٍ​${\displaystyle x+2=5}$أي​

${\displaystyle a+2=5{\text{ و }}b+2=5.}$

وبما أن المساواة علاقة متعدية ،

${\displaystyle a+2=b+2.}$

بطرح 2 من كلا الطرفين نحصل على

${\displaystyle a=b,}$

وهذا يُكمل البرهان على أن 3 هو الحل الوحيد لـ${\displaystyle x+2=5}$.

بشكل عام، يجب إثبات كل من الوجود (يوجد على الأقل كائن واحد) والتفرد (يوجد على الأكثر كائن واحد)، من أجل استنتاج أنه يوجد كائن واحد فقط يحقق شرطًا معينًا.

ثمة طريقة بديلة لإثبات التفرد وهي إثبات وجود كائن${\displaystyle a}$تحقيق الشرط، ثم إثبات أن كل كائن يحقق الشرط يجب أن يكون مساوياً لـ${\displaystyle a}$⁠ .

يمكن التعبير عن تحديد التفرد من حيث المحددات الوجودية والكلية لمنطق المسند ، وذلك بتعريف الصيغة التالية :${\displaystyle \exists !x(P(x))}$بمعنى ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x)),}$

وهو ما يعادل منطقياً ما يلي

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\wedge \forall y\,(P(y)\to y=x)).}$

التعريف المكافئ الذي يفصل بين مفهومي الوجود والتفرد في جزأين، على حساب الإيجاز، هو

${\displaystyle \exists x\,P(x)\wedge \forall y\,\forall z\,[(P(y)\wedge P(z))\to y=z].}$

يمكن تعميم التحديد الكمي للتفرد إلى التحديد الكمي للعد (أو التحديد الكمي العددي ^{[ 4 ]} ). يشمل ذلك التحديد الكمي على النحو التالي: "يوجد بالضبط k عنصرًا بحيث  ..."، وكذلك "يوجد عدد لا نهائي من العناصر بحيث  ..."، و"يوجد عدد محدود فقط من العناصر بحيث  ...". يمكن التعبير عن الصيغة الأولى باستخدام المحددات الكمية العادية، لكن الصيغتين الأخيرتين لا يمكن التعبير عنهما باستخدام منطق الرتبة الأولى العادي . ^{[ 5 ]}

تعتمد التفردية على مفهوم المساواة . ويؤدي تخفيف هذا المفهوم إلى علاقة تكافؤ أوسع إلى تحديد كمية التفردية حتى ذلك التكافؤ (في هذا الإطار، التفردية المنتظمة هي "التفردية حتى المساواة"). ويُطلق على هذا اسم التفردية الجوهرية . على سبيل المثال، تُعرَّف العديد من المفاهيم في نظرية الفئات بأنها فريدة حتى التشاكل .

علامة التعجب${\displaystyle$ يمكن استخدام علامة التعجب (!) أيضًا كرمز كمي منفصل، لذا${\displaystyle (\exists !xP(x))\leftrightarrow ((\exists xP(x))\land (!xP(x)))}$، حيث​${\displaystyle (!xP(x)):=(\forall a\forall bP(a)\land P(b)\rightarrow a=b)}$على سبيل المثال ، يمكن استخدامه بأمان في بديهية الاستبدال ، بدلاً من${\displaystyle \exists$ !} .

• فريد من نوعه بشكل أساسي
• التمديد بحكم التعريف
• واحد ساخن
• سينغلتون (الرياضيات)
• نظرية التفرد

• كلين، ستيفن (1952). مقدمة في ما وراء الرياضيات . دار إيشي للنشر الدولية. ص  199.
• أندروز، بيتر ب. (2002). مقدمة في المنطق الرياضي ونظرية الأنواع إلى الحقيقة من خلال البرهان (  الطبعة الثانية). دوردريخت: كلوير أكاديميك للنشر. ص  233. ISBN 1-4020-0763-9.