مجموعة مشتركة

{\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} } — $G$ هي المجموعة $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$ ، الأعداد الصحيحة بتردد 8 تحت عملية الجمع. تحتوي المجموعة الجزئية $H$ على العددين 0 و4 فقط. توجد أربع مجموعات مشاركة يسارية للمجموعة $H$ : $H$ نفسها، و $1 + H$ ، و $2 + H$ ، و $3 + H$ (مكتوبة باستخدام الترميز الجمعي لأنها المجموعة الجمعية ). تقسم هذه المجموعات المجموعة $G$ بأكملها إلى مجموعات متساوية الحجم وغير متداخلة. دليل المجموعة $[G : H]$ هو 4.

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الزمر ، يمكن استخدام زمرة جزئية $H$ من زمرة $G$ لتقسيم المجموعة الأساسية لـ $G$ إلى مجموعات جزئية منفصلة ومتساوية الحجم تُسمى المشاركات . توجد مشاركات يسرى ومشاركات يمنى . تحتوي المشاركات (اليسرى واليمنى) على نفس عدد العناصر ( العدد الأصلي ) مثل $H.$ علاوة على ذلك، فإن $H$ نفسها مشاركة يسرى ومشاركة يمنى. عدد المشاركات اليسرى لـ $H$ في $G$ يساوي عدد المشاركات اليمنى لـ $H$ في $G.$ تُسمى هذه القيمة المشتركة دليل H في $G$ $،$ ويُرمز لها عادةً بـ $[$ $G$ $:$ $H$ $]$ .

تُعدّ المشاركات أداةً أساسيةً في دراسة الزمر؛ فعلى سبيل المثال، تلعب دورًا محوريًا في نظرية لاغرانج التي تنص على أنه لأي زمرة منتهية $G$ ، فإن عدد عناصر كل زمرة جزئية $H$ من $G$ يقسم عدد عناصر $G.$ ويمكن استخدام المشاركات لنوع معين من الزمر الجزئية ( الزمرة الجزئية الطبيعية ) كعناصر لزمرة أخرى تُسمى زمرة القسمة أو زمرة العوامل . كما تظهر المشاركات في مجالات أخرى من الرياضيات، مثل الفضاءات المتجهة ورموز تصحيح الأخطاء .

تعريف

لتكن $H$ زمرة جزئية من الزمرة $G$ التي تُكتب عمليتها ضربيًا (يرمز إلى عملية الزمرة بالتجاور). بفرض وجود عنصر $g$ من $G$ ، فإن المجموعات المشاركة اليسرى لـ $H$ في $G$ هي المجموعات الناتجة عن ضرب كل عنصر من $H$ بعنصر ثابت $g$ من $G$ (حيث $g$ هو العامل الأيسر). وتُرمز هذه المجموعات بالرموز كما يلي:

gH = {gh : h عنصر من H}

لـ

g

في

G

.

تُعرَّف المجموعات المشاركة اليمنى بشكل مماثل، باستثناء أن العنصر $g$ أصبح الآن عاملاً يمينياً، أي

Hg = {hg : h عنصر من H}

لـ

g

في

G

.

مع تغير قيمة $g$ عبر المجموعة، قد يبدو أنه سيتم توليد العديد من المجموعات المشاركة (اليمنى أو اليسرى). ومع ذلك، يتضح أن أي مجموعتين مشاركتين يساريتين (أو مجموعتين مشاركتين يمينيتين) إما منفصلتين أو متطابقتين كمجموعات. ^{[ 1 ]}

إذا تمت كتابة عملية المجموعة بشكل جمعي، كما هو الحال غالبًا عندما تكون المجموعة تبديلية ، فإن الترميز المستخدم يتغير إلى $g + H$ أو $H + g$ على التوالي.

يُستخدم الرمز G / H أحيانًا للدلالة على مجموعة المشاركات (اليسرى) { gH : g عنصر من G } (انظر أدناه لتوسيع نطاقه ليشمل المشاركات اليمنى والمشاركات المزدوجة). مع ذلك، يخصص بعض المؤلفين (بمن فيهم دوميت وفوت وروتمان) هذا الرمز تحديدًا لتمثيل زمرة القسمة المتكونة من المشاركات في حالة كون H زمرة جزئية طبيعية من G.

المثال الأول

لتكن $G$ الزمرة ثنائية السطوح من الرتبة السادسة . يمكن تمثيل عناصرها بالصيغة ${I, a, a 2, b, ab, a 2 b}$ . في هذه الزمرة، $a 3 = b 2 = I$ و $ba = a 2 b$ . هذه المعلومات كافية لملء جدول كايلي بالكامل .

*	$أنا$	$أ$	$2 $	$ب$	$أب$	$أ 2 ب$
$أنا$	$أنا$	$أ$	$2 $	$ب$	$أب$	$أ 2 ب$
$أ$	$أ$	$2 $	$أنا$	$أب$	$أ 2 ب$	$ب$
$2 $	$2 $	$أنا$	$أ$	$أ 2 ب$	$ب$	$أب$
$ب$	$ب$	$أ 2 ب$	$أب$	$أنا$	$2 $	$أ$
$أب$	$أب$	$ب$	$أ 2 ب$	$أ$	$أنا$	$2 $
$أ 2 ب$	$أ 2 ب$	$أب$	$ب$	$2 $	$أ$	$أنا$

لتكن $T$ المجموعة الجزئية ${I, b}$ . المجموعات المشاركة اليسرى (المختلفة) لـ $T$ هي:

$IT = T = {I, b}$ ,
$aT = {a, ab}$ , و
$a 2 T = {a 2, a 2 b}$ .

بما أن جميع عناصر المجموعة $G$ قد ظهرت الآن في إحدى هذه المجموعات المشاركة، فإن توليد المزيد منها لا يمكن أن يُنتج مجموعات مشاركة جديدة؛ إذ يجب أن تشترك أي مجموعة مشاركة جديدة في عنصر مع إحدى هذه المجموعات، وبالتالي ستكون مطابقة لها. على سبيل المثال، $abT = {ab, a} = aT$ .

المجموعات المشاركة اليمنى لـ $T$ هي:

$TI = T = {I, b}$ ,
$تا = {أ, با} = {أ, أ 2 ب}$ , و
$تا 2 = {أ 2, با 2} = {أ 2, أب}$ .

في هذا المثال، باستثناء $T$ ، لا توجد مجموعة مشاركة يسارية هي أيضًا مجموعة مشاركة يمينية.

ليكن $H$ الزمرة الجزئية ${I, a, a²} .$ المشاركات اليسرى لـ $H$ هي $IH = H$ و $bH = {b, ba, ba²} .$ المشاركات اليمنى لـ $H$ $هي$ HI $= H و$ Hb $= {b, ab, a²b} = {b, ba², ba} . في هذه الحالة ،$ كل مشاركة يسرى لـ $H$ هي أيضًا مشاركة يمنى لـ $H.$ ^{[ 2 ]}

ليكن $H$ زمرة جزئية من زمرة $G،$ $ولنفترض$ أن ^g1 $و$ g2 $\in G. العبارات$ التالية متكافئة: $[$ ^{3 ]}

$g 1 H = g 2 H$
$Hg 1 -1 = Hg 2 -1$
$g 1 H \subset g 2 H$
$g 2 \in g 1 H$
$g 1 -1 g 2 \in H$

ملكيات

إن انفصال المجموعات المشاركة غير المتطابقة ناتج عن حقيقة أنه إذا كان $x$ ينتمي إلى $gH،$ فإن $gH = xH$ . فإذا كان $x \in gH$ ، فلا بد من وجود $a \in H$ بحيث يكون $ga = x$ . وبالتالي، $xH = (ga) H = g (aH)$ . علاوة على ذلك، بما أن H $زمرة$ ، فإن الضرب من اليسار في $a$ هو تقابل ، و $aH = H.$

وبالتالي، ينتمي كل عنصر من $G$ إلى مجموعة مشاركة يسارية واحدة فقط من المجموعة الجزئية $H$ ، ^{[ 1 ]} و $H$ نفسها مجموعة مشاركة يسارية (وهي المجموعة التي تحتوي على العنصر المحايد). ^{[ 2 ]}

وجود عنصرين في نفس المجموعة المشاركة اليسرى يُشكل علاقة تكافؤ طبيعية . يُعرّف عنصران من المجموعة $G$ ، $x$ و $y$ ، بأنهما متكافئان بالنسبة للمجموعة الجزئية $H$ إذا كان $xH = yH$ (أو بصورة مكافئة إذا $كان x - 1 y$ ينتمي إلى $H$ ). فئات التكافؤ لهذه العلاقة هي المجموعات المشاركة اليسرى للمجموعة $H.$ ^{[ 4 ]} وكما هو الحال مع أي مجموعة من فئات التكافؤ، فإنها تُشكل تجزئة للمجموعة الأساسية. يُمثل العنصر المُمثل للمجموعة المشاركة عنصرًا بالمعنى المقصود في فئة التكافؤ. تُسمى مجموعة العناصر المُمثلة لجميع المجموعات المشاركة بالعناصر المستعرضة . توجد أنواع أخرى من علاقات التكافؤ في المجموعة، مثل الترافق، والتي تُشكل فئات مختلفة لا تمتلك الخصائص المذكورة هنا.

تنطبق عبارات مماثلة على المجموعات المشاركة اليمنى.

إذا كانت $G$ زمرة تبديلية ، فإن $g + H = H + g$ لكل زمرة جزئية $H$ من $G$ ولكل عنصر $g$ من $G.$ بالنسبة للزمر العامة، إذا كان لدينا عنصر $g$ وزمرة جزئية $H$ من زمرة $G$ ، فإن المجموعة المشاركة اليمنى لـ $H$ بالنسبة إلى $g هي$ $أيضًا المجموعة$ $المشاركة$ اليسرى للزمرة $الجزئية$ المرافقة $g⁻¹Hg$ بالنسبة إلى $g$ ، أي أن $Hg$ $=$ $g ($ $g⁻¹Hg$ $)$ $.$

المجموعات الفرعية الطبيعية

تكون الزمرة الجزئية $N$ من الزمرة $G$ زمرة جزئية طبيعية من $G$ إذا وفقط إذا كانت المشاركات اليسرى واليمنى المقابلة لكل عنصر $g$ من $G متساوية، أي$ $gN = Ng$ . وهذا هو الحال بالنسبة للزمرة الجزئية $H$ في المثال الأول أعلاه. علاوة على ذلك، تُشكل المشاركات $N$ في $G$ زمرة تُسمى زمرة القسمة أو زمرة العامل $G / N$ .

إذا لم تكن $H$ مجموعة جزئية طبيعية في $G$ ، فإن مجموعاتها المشاركة اليسرى تختلف عن مجموعاتها المشاركة اليمنى. أي، يوجد عنصر $a$ في $G$ بحيث لا يوجد عنصر $b$ يحقق $aH = Hb$ . هذا يعني أن تقسيم $G$ إلى المجموعات المشاركة اليسرى لـ $H$ يختلف عن تقسيم $G$ إلى المجموعات المشاركة اليمنى لـ $H.$ ويتضح هذا من خلال المجموعة الجزئية $T$ في المثال الأول أعلاه. ( قد تتطابق بعض المجموعات المشاركة. على سبيل المثال، إذا كان $a$ في مركز G $،$ فإن $aH = Ha$ ).

من جهة أخرى، إذا كانت المجموعة الجزئية $N$ طبيعية، فإن مجموعة جميع المشاركات تشكل مجموعة تسمى مجموعة القسمة $G / N$ ، حيث تُعرَّف العملية $* كما يلي:$ $(aN) * (bN) = abN$ . وبما أن كل مشاركة يمنى هي مشاركة يسرى، فلا حاجة للتمييز بين "المشاركات اليسرى" و"المشاركات اليمنى".

مؤشر مجموعة فرعية

تحتوي كل مجموعة مشاركة يسارية أو يمينية للمجموعة $H$ على نفس عدد العناصر (أو العدد الأصلي في حالة $H$ اللانهائية ) مثل $H$ نفسها. علاوة على ذلك، فإن عدد المجموعات المشاركة اليسارية يساوي عدد المجموعات المشاركة اليمينية، ويُعرف هذا العدد بدليل H $في$ G ، ويُكتب على النحو التالي: $[$ $G$ $:$ $H$ $]$ . تسمح لنا نظرية لاغرانج بحساب هذا الدليل في حالة كون $G$ و $H$ مجموعتين محدودتين. $|G|=[G:H]|H|.$ يمكن تعميم هذه المعادلة لتشمل الحالة التي تكون فيها المجموعات لانهائية.

أمثلة أخرى

الأعداد الصحيحة

ليكن $G$ الزمرة الجمعية للأعداد الصحيحة ، و $Z = ({..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, +)،$ و $H$ الزمرة الجزئية $(3Z, +) = ({..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}, +) . عندئذٍ$ $،$ تكون المجموعات المشاركة لـ $H$ في $G$ هي المجموعات الثلاث $3Z ،$ و $3Z + 1$ ، و $3Z + 2$ ، حيث $3Z + a = {..., -6 + a, -3 + a,$ $a$ $, 3 +$ $a$ $, 6 +$ $a$ $, ...}$ . تقسم هذه المجموعات الثلاث المجموعة $Z$ ، لذا لا توجد مجموعات مشاركة يمنى أخرى لـ $H.$ وبسبب خاصية التبديل في الجمع، $فإن$ $H$ $+ 1 = 1 + H$ و $H + 2 = 2$ + $H.$ أي أن كل مجموعة مشاركة يسارية في $H$ هي أيضاً مجموعة مشاركة يمينية، لذا فإن $H$ زمرة جزئية طبيعية. ^{[ 5 ]} (وتُظهر الحجة نفسها أن كل زمرة جزئية من زمرة أبيلية هي زمرة جزئية طبيعية. ^{[ 6 ]} )

يمكن تعميم هذا المثال. لنفترض مجددًا أن $G$ هي المجموعة الجمعية للأعداد الصحيحة، $Z = ({..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, +)$ ، ولنفترض الآن أن $H$ هي المجموعة الجزئية $(mZ, +) = ({..., -2m, -m, 0, m, 2m, ...}, +)$ ، حيث $m عدد صحيح موجب. عندئذٍ$ $،$ تكون المجموعات المشاركة لـ $H$ في $G$ هي $m$ مجموعة $، mZ$ $،$ mZ $+ 1$ ، ...، $mZ$ $+ (m - 1)$ ، حيث $mZ + a = {..., -2m + a, -m + a, a, m + a, 2m + a,$ $...$ $}$ $.$ لا يوجد أكثر من $m$ مجموعة مشاركة، لأن $mZ + m = m (Z + 1) =$ $mZ$ . المجموعة المشاركة $(m Z + a, +)$ هي فئة التطابق لـ $a$ modulo $m$ . ^{[ 7 ]} المجموعة الجزئية $m Z$ هي مجموعة طبيعية في $Z$ ، وبالتالي، يمكن استخدامها لتكوين مجموعة القسمة $Z / m Z،$ وهي مجموعة الأعداد الصحيحة modulo $m$ .

المتجهات

مثال آخر على المجموعة المشاركة يأتي من نظرية الفضاءات المتجهة . تشكل عناصر (متجهات) الفضاء المتجه زمرة تبديلية تحت عملية جمع المتجهات . الفضاءات الجزئية للفضاء المتجه هي زمر جزئية من هذه الزمرة. بالنسبة لفضاء متجه $V$ ، وفضاء جزئي $W$ ، ومتجه ثابت $a$ في $V$ ، فإن المجموعات $\{\mathbf {x} \in V\mid \mathbf {x} =\mathbf {a} +\mathbf {w} ,\mathbf {w} \in W\}$ تُسمى هذه الفضاءات الفرعية الأفينية ، وهي مجموعات مشاركة (يسارية ويمينية، لأن المجموعة أبيلية). من حيث المتجهات الهندسية ثلاثية الأبعاد ، تُمثل هذه الفضاءات الفرعية الأفينية جميع "الخطوط" أو "المستويات" الموازية للفضاء الفرعي، أي الخط أو المستوى المار بنقطة الأصل. على سبيل المثال، لنفترض المستوى $R² .$ إذا كان $m$ خطًا يمر بنقطة الأصل $O$ ، فإن $m$ مجموعة فرعية من المجموعة الأبيلية $R² .$ إذا كان $P$ ينتمي إلى ^R² $، فإن$ المجموعة المشاركة $P + m$ هي خط $m'$ موازٍ لـ $m$ ويمر بـ $P.$ ^[⁸ ]

المصفوفات

ليكن $G$ المجموعة الضربية للمصفوفات، ^{[ 9 ]} $G=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\},$ والمجموعة الفرعية $H$ من $G$ ، $H=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}.$ بالنسبة لعنصر ثابت من $G،$ ضع في اعتبارك المجموعة المشاركة اليسرى ${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}H=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\d&1\end{bmatrix}}\colon d\in \mathbb {R} \right\}.\end{aligned}}$ أي أن المجموعات المشاركة اليسرى تتكون من جميع المصفوفات في $G$ التي لها نفس العنصر العلوي الأيسر. هذه المجموعة الفرعية $H$ طبيعية في $G$ ، لكن المجموعة الفرعية $T=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\0&1\end{bmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}$ ليس طبيعياً في $G.$

كمدارات لفعل جماعي

يمكن استخدام زمرة جزئية $H$ من زمرة $G$ لتعريف تأثير H على $G$ بطريقتين طبيعيتين. تأثير يميني $،$ G $\times$ $H$ $\to$ $G$ $،$ يُعطى بالعلاقة $($ $g$ $,$ $h$ $) \to$ $gh$ $،$ أو تأثير يساري ، $H$ $\times$ $G$ $\to$ $G،$ يُعطى بالعلاقة $($ $h$ $,$ $g$ $) \to$ $hg$ . مدار g تحت التأثير اليميني هو المجموعة المشاركة اليسرى $gH$ ، بينما مدار g تحت التأثير اليساري هو المجموعة المشاركة اليمنى $Hg$ . ^[¹⁰^]

تاريخ

يعود مفهوم المجموعة المشاركة إلى أعمال غالوا في الفترة 1830-1831. فقد قدّم غالوا رمزًا خاصًا به، لكنه لم يُسمِّ المفهوم. ويبدو أن مصطلح "المجموعة المشاركة" ظهر لأول مرة عام 1910 في ورقة بحثية لـ جي. إيه. ميلر في المجلة الفصلية للرياضيات البحتة والتطبيقية (المجلد 41، صفحة 382). وقد استُخدمت مصطلحات أخرى متنوعة، منها المصطلح الألماني Nebengruppen ( ويبر ) والمجموعة المترافقة ( بيرنسايد ). ^{[ 11 ]} (تجدر الإشارة إلى أن ميلر اختصر مرجعه الذاتي إلى المجلة الفصلية للرياضيات ؛ وهذا لا يشير إلى المجلة التي تحمل الاسم نفسه ، والتي لم تبدأ النشر إلا عام 1930).

انصبّ اهتمام غالوا على تحديد متى يمكن حلّ معادلة متعددة الحدود باستخدام الجذور . ومن الأدوات التي طوّرها ملاحظة أن الزمرة الجزئية $H$ من زمرة التباديل $G$ تُنتج تفكيكين لـ $G$ (ما نسميه الآن الزمر المشاركة اليسرى واليمنى). إذا تطابق هذان التفكيكان، أي إذا كانت الزمر المشاركة اليسرى هي نفسها الزمر المشاركة اليمنى، فإنه يُمكن اختزال المسألة إلى مسألة العمل على $H$ بدلاً من $G. وقد توسّع$ كاميل جوردان في تعليقاته على أعمال غالوا عامي 1865 و 1869 في هذه الأفكار، وعرّف الزمر الجزئية الطبيعية كما ذكرنا سابقاً، مع أنه لم يستخدم هذا المصطلح. ^{[ 6 ]}

على الرغم من شيوع تسمية المجموعة المشاركة $gH$ بالمجموعة المشاركة اليسرى لـ $g$ بالنسبة إلى $H$ اليوم، ^{[ 10 ]} إلا أن هذا المصطلح لم يكن صحيحًا دائمًا في الماضي. فعلى سبيل المثال، كان هول (1959) يُطلق على $gH$ اسم المجموعة المشاركة اليمنى ، مؤكدًا على أن المجموعة الفرعية تقع على اليمين.

تطبيق من نظرية الترميز

الشفرة الخطية الثنائية هي فضاء $جزئي$ $C$ ذو بُعد n من فضاء متجهي $V ذي بُعد$ $m$ ، مُقام على الحقل الثنائي $GF(2)$ . وبما أن $V$ زمرة أبيلية جمعية، فإن $C$ زمرة جزئية من هذه الزمرة. تُستخدم الشفرات لتصحيح الأخطاء التي قد تحدث أثناء الإرسال. عند إرسال كلمة مشفرة (عنصر من $C$ )، قد تتغير بعض بتاتها، ومهمة المُستقبِل هي تحديد الكلمة المشفرة الأكثر احتمالًا التي كانت الكلمة المُستلمة المُشوَّهة في الأصل. تُسمى هذه العملية فك التشفير ، وإذا لم تحدث سوى أخطاء قليلة أثناء الإرسال، يُمكن إنجازها بكفاءة عالية. إحدى طرق فك التشفير هي ترتيب عناصر $V$ (قد تكون الكلمة المُستلمة أي عنصر من $V$ ) في مصفوفة قياسية . المصفوفة القياسية هي تحليل مُشارك لـ $V$ مُرتب في شكل جدولي بطريقة مُحددة. أي أن الصف العلوي من المصفوفة يتكون من عناصر $C$ ، مكتوبة بأي ترتيب، باستثناء متجه الصفر الذي يجب كتابته أولًا. ثم، يُختار عنصر من المتجه $V$ يحتوي على أقل عدد من الآحاد ولا يظهر في الصف العلوي، وتُكتب المجموعة المشاركة للمتجه $C$ التي تحتوي على هذا العنصر في الصف الثاني (أي يُشكّل هذا الصف بجمع هذا العنصر مع كل عنصر من عناصر $C$ التي تعلوه مباشرةً). يُسمى هذا العنصر قائد المجموعة المشاركة ، وقد يكون هناك بعض الخيارات في اختياره. تُكرر العملية الآن، ويُختار متجه جديد يحتوي على أقل عدد من الآحاد ولا يظهر في الصف العلوي كقائد جديد للمجموعة المشاركة، وتُكتب المجموعة المشاركة للمتجه $C$ التي تحتوي عليه في الصف التالي. تنتهي العملية عندما تُرتّب جميع متجهات $V في المجموعات المشاركة.$

فيما يلي مثال على مصفوفة قياسية للرمز ثنائي الأبعاد $C = {00000, 01101, 10110, 11011}$ في الفضاء خماسي الأبعاد $V (مع 32 متجهًا):$

00000	01101	10110	11011
10000	11101	00110	01011
01000	00101	11110	10011
٠٠١٠٠	01001	10010	11111
٠٠٠١٠	01111	10100	11001
00001	01100	10111	11010
11000	10101	01110	٠٠٠١١
10001	11100	٠٠١١١	01010

تتمثل عملية فك التشفير في إيجاد الكلمة المستلمة في الجدول، ثم إضافة قائد المجموعة المشاركة للصف الذي تقع فيه. وبما أن الجمع في الحساب الثنائي هو نفسه الطرح، فإن هذا ينتج عنه دائمًا عنصر من المجموعة $C.$ في حال حدوث أخطاء الإرسال في المواضع غير الصفرية لقائد المجموعة المشاركة، ستكون النتيجة هي الكلمة المشفرة الصحيحة. في هذا المثال، إذا حدث خطأ واحد، فستقوم الطريقة بتصحيحه دائمًا، لأن جميع قادة المجموعات المشاركة الممكنة التي تحتوي على خطأ واحد تظهر في المصفوفة.

يمكن استخدام فك التشفير باستخدام المتلازمات لتحسين كفاءة هذه الطريقة. وهي طريقة لحساب المجموعة المشاركة الصحيحة (الصف) التي تنتمي إليها الكلمة المستلمة. بالنسبة لرمز $C ذي$ $n$ بُعد في فضاء متجهي ثنائي ذي $m بُعد، فإن$ مصفوفة فحص التكافؤ هي مصفوفة $H من الرتبة$ $($ $m$ $-$ $n$ $) \times$ $m$ ، وتتميز بالخاصية التالية: $x \in$ $H \in$ $T$ $=$ $0$ إذا وفقط إذا كانت $x$ تنتمي إلى $C.$ ^[¹²^] يُسمى المتجه $x \in$ $H \in$ $T متلازمة x$ $،$ وبحسب خاصية الخطية ، فإن كل متجه في المجموعة المشاركة نفسها يحمل المتلازمة نفسها. لفك التشفير، يقتصر البحث الآن على إيجاد قائد المجموعة المشاركة الذي يحمل المتلازمة نفسها للكلمة المستلمة. ^[¹³^]

مجموعات مزدوجة

بفرض وجود مجموعتين جزئيتين، $H$ و $K$ (ليس بالضرورة أن تكونا مختلفتين)، من مجموعة $G$ ، فإن المجموعات المشاركة المزدوجة لـ $H$ و $K$ في $G$ هي المجموعات التي تأخذ الشكل $HgK = {hgk : h عنصر من H ، k عنصر من K}$ . وهي المجموعات المشاركة اليسرى لـ $K$ والمجموعات المشاركة اليمنى لـ $H$ عندما $H = 1$ و $K = 1$ على التوالي. ^{[ 14 ]}

مجموعتان متماثلتان $HxK$ و $HyK$ إما منفصلتان أو متطابقتان. ^{[ 15 ]} تشكل مجموعة جميع المجموعات المتماثلة الثابتة $H$ و $K$ تجزئة لـ $G.$

تحتوي المجموعة المزدوجة $HxK$ على المجموعات المشاركة اليمنى الكاملة لـ $H$ (في $G$ ) من الشكل $Hxk$ ، حيث $k$ عنصر من $K،$ ^{والمجموعات} المشاركة اليسرى الكاملة لـ $K$ (في $G$ ) من الشكل $hxK$ ، حيث $h$ في $H.$ ^[¹⁵ ]

الترميز

ليكن $G$ مجموعة ذات مجموعات جزئية $H$ و $K.$ وقد طور العديد من المؤلفين الذين يعملون مع هذه المجموعات تدوينًا متخصصًا لأعمالهم، حيث ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}

$G / H$ تشير إلى مجموعة المشاركاتاليسرى ${gH : g in G}$ لـ $H$ في $G.$
$H \ G$ تشير إلى مجموعة المشاركاتاليمنى ${Hg : g in G}$ لـ $H$ في $G.$
$K \ G / H$ تشير إلى مجموعة المشاركات المزدوجة ${KgH : g in G}$ لـ $H$ و $K$ في $G$ ، والتي يشار إليها أحيانًا باسم فضاء المشاركات المزدوجة .
$G // H$ تشير إلىفضاء المشاركة المزدوجة H $\ G / H للمجموعة$ الفرعية $H$ في $G.$

انظر أيضاً

ملحوظات

1 2 روتمان 2006 ، ص 156
1 2 دين 1990 ، ص 100
↑ "مجموعات AATA" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 22-01-2022 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 09-12-2020 .
↑ روتمان 2006 ، ص 155
↑ فرالي 1994 ، ص 117
1 2 فرالي 1994 ، ص 169
↑ جوشي 1989 ، ص 323
↑ روتمان 2006 ، ص 155
↑ بيرتون 1988 ، الصفحات 128، 135
1 2 جاكوبسون 2009 ، ص 52
↑ ميلر 2012 ، ص 24 حاشية
↑ يتم استخدام المصفوفة المنقولة بحيث يمكن كتابة المتجهات كمتجهات صفية.
↑ روتمان 2006 ، ص 423
↑ سكوت 1987 ، ص 19
1 2 هول 1959 ، ص 14-15
↑ سيتز، غاري م. (1998)، "المجموعات المزدوجة في الزمر الجبرية"، في كارتر، ر. و.؛ ساكسل، ج. (محرران)، الزمر الجبرية وتمثيلها ، سبرينغر، ص 241-257 ، doi : 10.1007/978-94-011-5308-9_13 ، ISBN 978-0-7923-5292-1
↑ داكوورث، دبليو. إيثان (2004)، "لانهائية مجموعات المشاركة المزدوجة في الزمر الجبرية"، مجلة الجبر ، 273 (2)، إلسيفير: 718-733 ، arXiv : math/0305256 ، doi : 10.1016/j.jalgebra.2003.08.011 ، S2CID 17839580

مراجع

بورتون، ديفيد م. (1988)، الجبر المجرد ، دار نشر ويليام سي براون، رقم ISBN 0-697-06761-0
دين، ريتشارد أ. (1990)، الجبر المجرد الكلاسيكي ، هاربر آند رو، رقم ISBN 0-06-041601-7
Fraleigh، John B. (1994)، دورة أولى في الجبر التجريدي ( الطبعة الخامسة)، أديسون ويسلي، ISBN 978-0-201-53467-2
هول الابن، مارشال (1959)، نظرية المجموعات ، شركة ماكميلان
جاكوبسون، ناثان (2009) [1985]، الجبر الأساسي 1 (الطبعة الثانية )، دوفر، ISBN 978-0-486-47189-1
جوشي، ك.د. (1989)، "الفقرة 5.2: المشاركات في الزمر الجزئية"، أسس الرياضيات المتقطعة ، دار نيو إيج إنترناشونال، ص 322 وما بعدها، رقم ISBN 81-224-0120-1
ميلر، جي إيه (2012) [1916]، نظرية وتطبيقات المجموعات المنتهية ، كتب أبل وود، رقم ISBN 9781458500700
روتمان، جوزيف ج. (2006)، مدخل إلى الجبر المجرد مع تطبيقات ( الطبعة الثالثة)، برنتيس هول، رقم ISBN 978-0-13-186267-8
سكوت، دبليو آر (1987)، "§1.7 المشاركات والمؤشر"، نظرية الزمر ، منشورات كوريير دوفر، ص 19 وما بعدها، ISBN 0-486-65377-3

للمزيد من القراءة

زاسنهاوس، هانز ج. (1999)، "الفقرة 1.4 الزمر الجزئية"، نظرية الزمر ، منشورات كوريير دوفر، ص 10 وما بعدها، ISBN 0-486-40922-8

روابط خارجية

نيكولاس براي. "مجموعة مشتركة" . عالم الرياضيات .
وايسشتاين، إريك دبليو. "المجموعة المرافقة اليسرى" . عالم الرياضيات .
وايسشتاين، إريك دبليو. "المجموعة المرافقة اليمنى" . عالم الرياضيات .
إيفانوفا، أ.أ. (2001) [1994]، "مجموعة مشاركة في زمرة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
Coset at PlanetMath .
أمثلة توضيحية
"Coset" . groupprops . موسوعة خصائص المجموعة.

[Rotman2006-1] 1 2 روتمان 2006 ، ص 156

[Dean-2] 1 2 دين 1990 ، ص 100

[3] "مجموعات AATA" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 22-01-2022 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 09-12-2020 .

[4] روتمان 2006 ، ص 155

[5] فرالي 1994 ، ص 117

[Fraleigh-6] 1 2 فرالي 1994 ، ص 169

[7] جوشي 1989 ، ص 323

[8] روتمان 2006 ، ص 155

[9] بيرتون 1988 ، الصفحات 128، 135

[Jacobson-10] 1 2 جاكوبسون 2009 ، ص 52

[11] ميلر 2012 ، ص 24 حاشية

[12] يتم استخدام المصفوفة المنقولة بحيث يمكن كتابة المتجهات كمتجهات صفية.

[13] روتمان 2006 ، ص 423

[14] سكوت 1987 ، ص 19

[Hall-15] 1 2 هول 1959 ، ص 14-15

[16] سيتز، غاري م. (1998)، "المجموعات المزدوجة في الزمر الجبرية"، في كارتر، ر. و.؛ ساكسل، ج. (محرران)، الزمر الجبرية وتمثيلها ، سبرينغر، ص 241-257 ، doi : 10.1007/978-94-011-5308-9_13 ، ISBN 978-0-7923-5292-1

[17] داكوورث، دبليو. إيثان (2004)، "لانهائية مجموعات المشاركة المزدوجة في الزمر الجبرية"، مجلة الجبر ، 273 (2)، إلسيفير: 718-733 ، arXiv : math/0305256 ، doi : 10.1016/j.jalgebra.2003.08.011 ، S2CID 17839580

[ 1 ]

[ 2 ]

g1

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

R²

[ 9 ]

[

[ 11 ]

[

[

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗