تحويل ويل

في الفيزياء النظرية ، يُعد تحويل فايل ، الذي سمي على اسم عالم الرياضيات الألماني هيرمان فايل ، إعادة تحجيم محلية لموتر القياس :

$${\displaystyle g_{ab}\rightarrow e^{-2\omega (x)}g_{ab}}$$

ينتج عن ذلك مقياس آخر في نفس الفئة المطابقة . تُسمى النظرية أو التعبير الثابت تحت هذا التحويل ثابتًا مطابقًا ، أو يُقال إنه يمتلك ثبات فايل أو تناظر فايل . يُعد تناظر فايل تناظرًا مهمًا في نظرية الحقل المطابق . وهو، على سبيل المثال، تناظر فعل بولياكوف . عندما تُخلّ التأثيرات الميكانيكية الكمومية بالثبات المطابق لنظرية ما، يُقال إنها تُظهر شذوذًا مطابقًا أو شذوذ فايل .

لا تُعدّ وصلة ليفي-سيفيتا العادية والوصلات المغزلية المرتبطة بها ثابتةً تحت تحويلات فايل. تُصنّف وصلات فايل ضمن فئة الوصلات الأفينية الثابتة، مع العلم أنه لا توجد وصلة فايل ثابتة بشكل فردي تحت تحويلات فايل.

كمية${\displaystyle \varphi }$له وزن مطابق${\displaystyle k}$إذا كان، في ظل تحويل فايل، يتحول عبر

${\displaystyle \varphi \to \varphi e^{k\omega }.}$

وبالتالي، تنتمي الكميات الموزونة توافقياً إلى حزم كثافة معينة ؛ انظر أيضاً البعد التوافقي . ليكن${\displaystyle A_{\mu }}$ليكن الاتصال من النوع الأول المرتبط باتصال ليفي-تشيفيتا${\displaystyle g}$أدخل اتصالاً يعتمد أيضاً على شكل أولي أحادي${\displaystyle \partial _{\mu }\omega }$عبر

${\displaystyle B_{\mu }=A_{\mu }+\partial _{\mu }\omega .}$

ثم${\displaystyle D_{\mu }\varphi \equiv \partial _{\mu }\varphi +kB_{\mu }\varphi }$متغيرة ولها وزن توافقي${\displaystyle k-1}$.

من أجل التحول

${\displaystyle g_{ab}=f(\phi (x)){\bar {g}}_{ab}}$

يمكننا استنتاج الصيغ التالية

$\begin{aligned}g^{ab}&=\frac{1}{f(\phi(x))}}{\bar{g}}^{ab}\\{\sqrt{-g}}&=\sqrt{-{\bar{g}}}}f^{D/2}\\\Gamma_{ab}^{c}&=\bar{\Gamma}}_{ab}^{c}+\frac{f'}{2f}}\left(\delta_{b}^{c}\partial_{a}\phi +\delta_{a}^{c}\partial_{b}\phi -\bar{g}}_{ab}\partial^{c}\phi \right)\equiv\bar{\Gamma}}_{ab}^{c}+\gamma _{ab}^{c}\\R_{ab}&={\bar {R}}_{ab}+{\frac {f''ff^{\prime 2}}{2f^{2}}}\left((2-D)\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial ^{c}\phi \partial _{c}\phi \right)+{\frac {f'}{2f}}\left((2-D){\bar {\nabla }}_{a}\partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}{\bar {\Box }}\phi \right)+{\frac {1}{4}}{\frac {f^{\prime 2}}{f^{2}}}(D-2)\left(\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \right)\\R&={\frac {1}{f}}{\bar {R}}+{\frac {1-D}{f}}\left({\frac {f''ff^{\prime 2}}{f^{2}}}\partial ^{c}\phi \partial _{c}\phi +{\frac {f'}{f}}{\bar {\Box }}\phi \right)+{\frac {1}{4f}}{\frac {f^{\prime 2}}{f^{2}}}(D-2)(1-D)\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \end{aligned}}}$

لاحظ أن موتر ويل ثابت تحت إعادة تحجيم ويل.

• ويل، هيرمان (1993) [1921]. راوم، زيت، ماتيري [ المكان، الزمان، المادة ] . محاضرات عن النسبية العامة (باللغة الألمانية). برلين: سبرينغر. رقم ISBN 3-540-56978-2.