ثابت (رياضيات)

يُعد لغز MU ^{[ 7 ]} مثالًا جيدًا على مشكلة منطقية يكون فيها تحديد ثابت مفيدًا لإثبات الاستحالة . يطلب اللغز البدء بالكلمة MI وتحويلها إلى الكلمة MU، باستخدام إحدى قواعد التحويل التالية في كل خطوة:

1. إذا انتهت السلسلة بالحرف I، فقد يتم إضافة الحرف U ( x I → x IU)
2. يمكن تكرار السلسلة التي تلي الحرف M بالكامل (M x → M xx )
3. يمكن استبدال أي ثلاثة أحرف I متتالية (III) بحرف U واحد ( x III y → x U y )
4. يمكن حذف أي حرفين متتاليين من حرف U ( x UU y → xy )

مثال على الاشتقاق (مع استخدام رموز مرتفعة للإشارة إلى القواعد المطبقة) هو

MI → ² MII → ² MIIII → ³ MUI → ² MUIUI → ¹ MUIUIU → ² MUIUIUUIUIU → ⁴ MUIUIIUIU → ...

في ضوء ذلك، قد يتساءل المرء عما إذا كان من الممكن تحويل MI إلى MU باستخدام قواعد التحويل الأربع هذه فقط. يمكن قضاء ساعات طويلة في تطبيق هذه القواعد على السلاسل النصية. مع ذلك، قد يكون من الأسرع إيجاد خاصية ثابتة لا تتأثر بأي من القواعد، وتُثبت استحالة الوصول إلى MU. بالنظر إلى المسألة من منظور منطقي، قد يُدرك المرء أن الطريقة الوحيدة للتخلص من أي حرف I هي وجود ثلاثة أحرف I متتالية في السلسلة النصية. وهذا ما يجعل الخاصية الثابتة التالية جديرة بالدراسة:

عدد حروف "I" في السلسلة ليس من مضاعفات العدد 3 .

هذا شرط ثابت للمسألة، فإذا تحقق الشرط التالي لكل قاعدة من قواعد التحويل: إذا كان الشرط ثابتًا قبل تطبيق القاعدة، فسيظل ثابتًا بعد تطبيقها. وبالنظر إلى التأثير الكلي لتطبيق القواعد على عدد الرموز I و U، يتضح أن هذا ينطبق بالفعل على جميع القواعد.

قاعدة	#يكون	#نحن	التأثير على الثابت
1	+0	+1	عدد القيم I لم يتغير. إذا كان الثابت صحيحًا، فإنه لا يزال كذلك.
2	×2	×2	إذا لم يكن n من مضاعفات العدد 3، فإن 2 × n ليس كذلك أيضاً. ويبقى الشرط ثابتاً.
3	-3	+1	إذا لم يكن n من مضاعفات العدد 3، فإن n − 3 ليس كذلك أيضاً. ويبقى الشرط ثابتاً.
4	+0	-2	عدد القيم I لم يتغير. إذا كان الثابت صحيحًا، فإنه لا يزال كذلك.

يوضح الجدول أعلاه بوضوح أن الثابت ينطبق على كل قاعدة من قواعد التحويل الممكنة، مما يعني أنه أيًا كانت القاعدة التي يختارها المرء، وفي أي حالة، إذا لم يكن عدد I من مضاعفات العدد ثلاثة قبل تطبيق القاعدة، فلن يكون كذلك بعد ذلك أيضًا.

بالنظر إلى وجود حرف I واحد في السلسلة الأولية MI، وأن واحد ليس من مضاعفات العدد ثلاثة، يمكن للمرء أن يستنتج أنه من المستحيل الانتقال من MI إلى MU (لأن عدد حروف I لن يكون أبدًا من مضاعفات العدد ثلاثة).

أولاً، إذا كان لدى المرء مجموعة G تؤثر على كائن رياضي (أو مجموعة من الكائنات) X، فيمكن للمرء أن يسأل عن النقاط x التي لم تتغير، أو "ثابتة" تحت تأثير المجموعة، أو تحت عنصر g من المجموعة.

في كثير من الأحيان، يكون لدينا مجموعة تؤثر على مجموعة X ، مما يترك لنا تحديد أي العناصر في المجموعة المرتبطة F ( X ) ثابتة. على سبيل المثال، الدوران في المستوى حول نقطة ما يُبقي تلك النقطة ثابتة، بينما الإزاحة في المستوى لا تُبقي أي نقاط ثابتة، ولكنها تُبقي جميع الخطوط الموازية لاتجاه الإزاحة ثابتة كخطوط. رسميًا، نُعرّف مجموعة الخطوط في المستوى P على أنها L ( P )؛ عندئذٍ، تُحوّل الحركة الصلبة للمستوى الخطوط إلى خطوط - أي أن مجموعة الحركات الصلبة تؤثر على مجموعة الخطوط - ويمكننا أن نتساءل أي الخطوط لا تتغير بفعل هذه الحركة.

والأهم من ذلك، يمكن للمرء أن يحدد دالة على مجموعة، مثل "نصف قطر دائرة في المستوى"، ثم يسأل عما إذا كانت هذه الدالة ثابتة تحت تأثير مجموعة، مثل الحركات الصلبة.

يُقابل مفهوم الثوابت مفهوم الثوابت المشتركة ، والمعروفة أيضًا باسم المدارات، والتي تُضفي طابعًا رسميًا على مفهوم التطابق : أي الكائنات التي يمكن تحويلها إلى بعضها البعض بفعل مجموعة. على سبيل المثال، في مجموعة الحركات الصلبة للمستوى، يُعد محيط المثلث ثابتًا، بينما تُعد مجموعة المثلثات المطابقة لمثلث معين ثابتًا مشتركًا.

ترتبط هذه المفاهيم كما يلي: الثوابت ثابتة على الثوابت المشتركة (على سبيل المثال، المثلثات المتطابقة لها نفس المحيط)، بينما قد يكون جسمان يتفقان في قيمة أحد الثوابت متطابقين أو غير متطابقين (على سبيل المثال، ليس بالضرورة أن يكون المثلثان اللذان لهما نفس المحيط متطابقين). في مسائل التصنيف ، قد يسعى المرء إلى إيجاد مجموعة كاملة من الثوابت ، بحيث إذا كان لجسمين نفس القيم لهذه المجموعة من الثوابت، فإنهما متطابقان.

على سبيل المثال، المثلثات التي تتساوى أضلاعها الثلاثة تكون متطابقة تحت تأثير الحركات الصلبة، وذلك وفقًا لمعيار تطابق SSS ، وبالتالي فإن أطوال الأضلاع الثلاثة تُشكل مجموعة كاملة من الثوابت للمثلثات. كما أن قياسات زوايا المثلث الثلاث ثابتة أيضًا تحت تأثير الحركات الصلبة، لكنها لا تُشكل مجموعة كاملة، إذ يمكن للمثلثات غير المتطابقة أن تشترك في قياسات الزوايا نفسها. مع ذلك، إذا سمحنا بتغيير المقياس بالإضافة إلى الحركات الصلبة، فإن معيار التشابه AAA يُبين أن هذه مجموعة كاملة من الثوابت.

ثانيًا، يمكن تعريف دالة بدلالة تمثيل أو تفكيك لكائن رياضي؛ على سبيل المثال، تُعرَّف خاصية أويلر لمركب خلوي بأنها المجموع المتناوب لعدد الخلايا في كل بُعد. يمكن إغفال بنية المركب الخلوي والنظر فقط إلى الفضاء الطوبولوجي الأساسي ( المتشعب ) - بما أن المركبات الخلوية المختلفة تُعطي نفس المتشعب الأساسي، يمكن التساؤل عما إذا كانت الدالة مستقلة عن اختيار التمثيل، وفي هذه الحالة تكون ثابتة مُعرَّفة جوهريًا . هذا هو الحال بالنسبة لخاصية أويلر، وتتمثل الطريقة العامة لتعريف الثوابت وحسابها في تعريفها لتمثيل مُعطى، ثم إثبات استقلالها عن اختيار التمثيل. تجدر الإشارة إلى أنه لا يوجد مفهوم لفعل المجموعة بهذا المعنى.

أكثر الأمثلة شيوعاً هي:

• عرض متعدد الشعب من حيث مخططات الإحداثيات - يجب أن تظل الثوابت دون تغيير عند تغيير الإحداثيات .
• تحليلات متعددة متعددة ، كما نوقش بالنسبة لخاصية أويلر.
• ثوابت عرض مجموعة ما .

ثالثًا، إذا كان المرء يدرس كائنًا يتغير في عائلة، كما هو شائع في الهندسة الجبرية والهندسة التفاضلية ، فقد يسأل المرء عما إذا كانت الخاصية لم تتغير تحت الاضطراب (على سبيل المثال، إذا كان الكائن ثابتًا على العائلات أو غير متغير تحت تغيير المقياس).

تستطيع أدوات التفسير المجرد حساب الثوابت البسيطة لبرامج الحاسوب الإجرائية المعطاة. وتعتمد أنواع الخصائص التي يمكن إيجادها على المجالات المجردة المستخدمة. ومن الأمثلة النموذجية على هذه الخصائص نطاقات متغيرات عددية مفردة 0<=x<1024، والعلاقات بين عدة متغيرات 0<=i-j<2*n-1، ومعلومات المعامل y%4==0. كما تُراعي النماذج الأولية للبحوث الأكاديمية الخصائص البسيطة لهياكل المؤشرات. ^{[ 16 ]}

عادةً ما يتطلب الأمر توفير الثوابت الأكثر تعقيدًا يدويًا. على وجه الخصوص، عند التحقق من برنامج إجرائي باستخدام منطق هوار ، ^{[ 17 ]} يجب توفير ثابت الحلقة يدويًا لكل حلقة في البرنامج، وهو أحد الأسباب التي تجعل هذا النهج غير عملي في معظم البرامج.

في سياق مثال لغز MU المذكور أعلاه ، لا توجد حاليًا أداة آلية عامة قادرة على اكتشاف استحالة الاشتقاق من MI إلى MU باستخدام القواعد من 1 إلى 4 فقط. مع ذلك، بمجرد إجراء عملية التجريد من السلسلة إلى عدد حروف "I" يدويًا، مما يؤدي، على سبيل المثال، إلى برنامج C التالي، ستتمكن أداة تفسير مجردة من اكتشاف أن هذا العدد ICount%3لا يمكن أن يكون صفرًا، وبالتالي لن تنتهي حلقة "while" أبدًا.

void MUPuzzle ( void ) { volatile int RandomRule ; int ICount = 1 , UCount = 0 ; while ( ICount % 3 != 0 ) // حلقة غير منتهية switch ( RandomRule ) { case 1 : UCount += 1 ; break ; case 2 : ICount *= 2 ; UCount *= 2 ; break ; case 3 : ICount -= 3 ; UCount += 1 ; break ; case 4 : UCount -= 2 ; break ; } // الثابت المحسوب: ICount % 3 == 1 || ICount % 3 == 2 }