اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة

اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة هو اختبار رتب لا معلمي لاختبار الفرضيات الإحصائية، يُستخدم إما لاختبار موقع مجتمع إحصائي بناءً على عينة من البيانات، أو لمقارنة مواقع مجتمعين إحصائيين باستخدام عينتين متطابقتين. ^{[ 1 ]} يؤدي اختبار العينة الواحدة غرضًا مشابهًا لاختبار t للطالب لعينة واحدة . ^{[ 2 ]} أما بالنسبة لعينتين متطابقتين، فهو اختبار فرق مزدوج مثل اختبار t للطالب المزدوج (المعروف أيضًا باسم " اختبار t للأزواج المتطابقة" أو " اختبار t للعينات المترابطة"). يُعد اختبار ويلكوكسون بديلاً جيدًا لاختبار t عندما لا يمكن افتراض التوزيع الطبيعي للفروق بين الأفراد المزدوجين. بدلاً من ذلك، يفترض فرضية أضعف مفادها أن توزيع هذا الفرق متماثل حول قيمة مركزية، ويهدف إلى اختبار ما إذا كانت هذه القيمة المركزية تختلف اختلافًا معنويًا عن الصفر. يُعد اختبار ويلكوكسون بديلاً أكثر قوة لاختبار الإشارة لأنه يأخذ في الاعتبار حجم الاختلافات، ولكنه يتطلب هذا الافتراض القوي إلى حد ما للتناظر.

سُمّي الاختبار نسبةً إلى فرانك ويلكوكسون (1892-1965) الذي اقترحه، في بحثٍ واحد، إلى جانب اختبار مجموع الرتب لعينتين مستقلتين. ^{[ 3 ]} وقد شاع استخدام هذا الاختبار بفضل سيدني سيجل (1956) في كتابه المرجعي المؤثر حول الإحصاءات اللامعلمية. ^{[ 4 ]} استخدم سيجل الرمز T لإحصائية الاختبار، ولذلك يُشار إلى الاختبار أحيانًا باسم اختبار ويلكوكسون T.

يوجد نوعان من اختبار الرتب الموقعة. من الناحية النظرية، يُعد اختبار العينة الواحدة أكثر جوهرية، لأن اختبار العينات المزدوجة يُجرى بتحويل البيانات إلى حالة اختبار العينة الواحدة. مع ذلك، فإن معظم التطبيقات العملية لاختبار الرتب الموقعة تنشأ من بيانات مزدوجة.

في اختبار العينات المزدوجة، تتكون البيانات من عينة${\displaystyle (X_{1},Y_{1}),\dots ,(X_{n},Y_{n})}$كل نقطة بيانات في العينة عبارة عن زوج من القياسات. في أبسط الحالات، تكون القياسات على مقياس فترات . عندئذٍ، يمكن تحويلها إلى أعداد حقيقية ، ويتم تحويل اختبار العينة المزدوجة إلى اختبار عينة واحدة عن طريق استبدال كل زوج من الأرقام.${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$باختلافها${\displaystyle X_{i}-Y_{i}}$^{[ 5 ]} بشكل عام ، يجب أن يكون من الممكن ترتيب الاختلافات بين الأزواج. وهذا يتطلب أن تكون البيانات على مقياس متري مرتب ، وهو نوع من المقاييس يحمل معلومات أكثر من المقياس الترتيبي، ولكنه قد يحمل معلومات أقل من مقياس الفترات. ^{[ 6 ]}

بيانات اختبار العينة الواحدة هي عينة يكون فيها كل مشاهدة عبارة عن رقم حقيقي:${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$لتبسيط الأمر، افترض أن للمشاهدات في العينة قيمًا مطلقة مميزة، وأنه لا توجد مشاهدة تساوي صفرًا. (تُسبب الأصفار والقيم المتساوية عدة تعقيدات؛ انظر أدناه). يُجرى الاختبار كما يلي: ^{[ 7 ] [ 8 ]}

1. الحوسبة${\displaystyle |X_{1}|,\dots ,|X_{n}|.}$
2. نوع${\displaystyle |X_{1}|,\dots ,|X_{n}|}$واستخدم هذه القائمة المصنفة لتحديد الرتب${\displaystyle R_{1},\dots ,R_{n}}$: رتبة أصغر قيمة هي واحد، ورتبة القيمة الأصغر التالية هي اثنان، وهكذا.
3. يترك${\displaystyle \operatorname {sgn} }$لنرمز إلى دالة الإشارة :${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=1}$لو${\displaystyle x>0}$و${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=-1}$لو${\displaystyle x<0}$إحصائية الاختبار هي مجموع الرتب الموقعة${\displaystyle T}$:$${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {sgn}(X_{i})R_{i}.}$$
4. قم بإنتاج${\displaystyle p}$القيمة السالبة عن طريق المقارنة${\displaystyle T}$إلى توزيعها في ظل الفرضية الصفرية.

تم تحديد الرتب بحيث${\displaystyle R_{i}}$هو عدد${\displaystyle j}$والتي${\displaystyle |X_{j}|\leq |X_{i}|}$بالإضافة إلى ذلك، إذا${\displaystyle \sigma$ {1, ..., n} → {1, ..., n} بحيث${\displaystyle |X_{\sigma (1)}|<\dots <|X_{\sigma (n)}|}$، ثم${\displaystyle R_{\sigma (i)}=i}$للجميع${\displaystyle i}$.

مجموع الرتب الموقعة${\displaystyle T}$يرتبط ارتباطًا وثيقًا بإحصائيتين اختباريتين أخريين. مجموع الرتب الموجبة${\displaystyle T^{+}}$ومجموع الرتب السالبة${\displaystyle T^{-}}$يتم تعريفها بواسطة ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}T^{+}&=\sum _{1\leq i\leq n,\ X_{i}>0}R_{i},\\T^{-}&=\sum _{1\leq i\leq n,\ X_{i}<0}R_{i}.\end{aligned}}}$$ لأن${\displaystyle T^{+}+T^{-}}$يساوي مجموع جميع الرتب، وهو${\displaystyle 1+2+\dots +n=n(n+1)/2}$ترتبط هذه الإحصائيات الثلاث بما يلي: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}T^{+}&={\frac {n(n+1)}{2}}-T^{-}={\frac {n(n+1)}{4}}+{\frac {T}{2}},\\T^{-}&={\frac {n(n+1)}{2}}-T^{+}={\frac {n(n+1)}{4}}-{\frac {T}{2}},\\T&=T^{+}-T^{-}=2T^{+}-{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}-2T^{-}.\end{aligned}}}$$ لأن${\displaystyle T}$،${\displaystyle T^{+}}$، و${\displaystyle T^{-}}$إذا كانت تحمل نفس المعلومات، فيمكن استخدام أي منها كإحصائية اختبار.

يُفسَّر مجموع الرتب الموجبة ومجموع الرتب السالبة تفسيرات بديلة مفيدة للنظرية الكامنة وراء الاختبار. عرّف متوسط ​​والش${\displaystyle W_{ij}}$يكون${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(X_{i}+X_{j})}$ثم: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}T^{+}=\#\{W_{ij}>0\colon 1\leq i\leq j\leq n\},\\T^{-}=\#\{W_{ij}<0\colon 1\leq i\leq j\leq n\}.\end{aligned}}}$$

في البيانات الحقيقية، يحدث أحيانًا أن تكون هناك ملاحظة${\displaystyle X_{i}}$في العينة التي تساوي صفرًا أو زوجًا${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$مع${\displaystyle X_{i}=Y_{i}}$قد يحدث أيضًا وجود مشاهدات متعادلة. وهذا يعني أنه بالنسبة لبعض${\displaystyle i\neq j}$لدينا${\displaystyle X_{i}=X_{j}}$(في حالة العينة الواحدة) أو${\displaystyle X_{i}-Y_{i}=X_{j}-Y_{j}}$(في حالة العينة المزدوجة). وهذا شائعٌ بشكل خاص للبيانات المنفصلة. عندما يحدث هذا، يكون إجراء الاختبار المحدد أعلاه غير مُعرَّف عادةً لأنه لا توجد طريقة لترتيب البيانات بشكل فريد. (الاستثناء الوحيد هو في حالة وجود مُشاهدة واحدة).${\displaystyle X_{i}}$(وهو صفر ولا توجد أصفار أخرى أو تعادلات.) لهذا السبب، يجب تعديل إحصائية الاختبار.

يتطلب حساب قيم p معرفة توزيع${\displaystyle T}$في ظل الفرضية الصفرية. لا توجد صيغة مغلقة لهذا التوزيع. ^{[ 38 ]} ومع ذلك، بالنسبة للقيم الصغيرة لـ${\displaystyle n}$يمكن حساب التوزيع بدقة. في ظل الفرضية الصفرية التي تنص على أن البيانات متناظرة حول الصفر، كل${\displaystyle X_{i}}$احتمالية أن تكون النتيجة موجبة هي نفسها احتمالية أن تكون سالبة. لذلك، فإن احتمالية أن${\displaystyle T=t}$في ظل الفرضية الصفرية، يساوي عدد تركيبات الإشارات التي تعطي${\displaystyle T=t}$مقسومًا على عدد تركيبات الإشارات الممكنة${\displaystyle 2^{n}}$ويمكن استخدام ذلك لحساب التوزيع الدقيق لـ${\displaystyle T}$في ظل الفرضية الصفرية. ^{[ 39 ]}

حساب توزيع${\displaystyle T}$يتطلب النظر في جميع الاحتمالات حسابًا${\displaystyle 2^{n}}$المجاميع، وهو أمر يصعب حله بالنسبة لجميع القيم باستثناء أصغرها${\displaystyle n}$ومع ذلك، توجد علاقة تكرارية فعالة لتوزيع${\displaystyle T^{+}}$[ ^{40 ] [ 41 ]} تعريف^​${\displaystyle u_{n}(t^{+})}$أن يكون عدد تركيبات الإشارات التي${\displaystyle T^{+}=t^{+}}$وهذا يساوي عدد المجموعات الجزئية من${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$والتي مجموعها يساوي${\displaystyle t^{+}}$الحالات الأساسية للتكرار هي${\displaystyle u_{0}(0)=1}$،${\displaystyle u_{0}(t^{+})=0}$للجميع${\displaystyle t^{+}\neq 0}$، و${\displaystyle u_{n}(t^{+})=0}$للجميع${\displaystyle t<0}$أو${\displaystyle t>n(n+1)/2}$الصيغة التكرارية هي $${\displaystyle u_{n}(t^{+})=u_{n-1}(t^{+})+u_{n-1}(t^{+}-n).}$$ الصيغة صحيحة لأن كل مجموعة جزئية من${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$وهو ما يعادل${\displaystyle t^{+}}$إما لا يحتوي${\displaystyle n}$وفي هذه الحالة، تُعتبر أيضًا مجموعة فرعية من${\displaystyle \{1,\dots ,n-1\}}$أو أنها تحتوي على${\displaystyle n}$، وفي هذه الحالة إزالة${\displaystyle n}$ينتج عن المجموعة الفرعية مجموعة فرعية من${\displaystyle \{1,\dots ,n-1\}}$وهو ما يعادل${\displaystyle t^{+}-n}$في ظل الفرضية الصفرية، تكون دالة الكتلة الاحتمالية لـ${\displaystyle T^{+}}$يرضي${\displaystyle \Pr(T^{+}=t^{+})=u_{n}(t^{+})/2^{n}}$الوظيفة${\displaystyle u_{n}}$يرتبط ارتباطًا وثيقًا بدالة تقسيم الأعداد الصحيحة . ^{[ 42 ]}

لو${\displaystyle p_{n}(t^{+})}$هل الاحتمال هو${\displaystyle T^{+}=t^{+}}$في ظل الفرضية الصفرية عندما يكون هناك${\displaystyle n}$الملاحظات في العينة، ثم${\displaystyle p_{n}(t^{+})}$يفي بتكرار مماثل: ^{[ 42 ]}$${\displaystyle 2p_{n}(t^{+})=p_{n-1}(t^{+})+p_{n-1}(t^{+}-n)}$$ مع شروط حدودية مماثلة. كما توجد صيغة تكرارية لدالة التوزيع التراكمي${\displaystyle \Pr(T^{+}\leq t^{+})}$[ ^{42 ]​}

للأحجام الكبيرة جدًا${\displaystyle n}$حتى التكرار المذكور أعلاه بطيء للغاية. في هذه الحالة، يمكن تقريب التوزيع الصفري. التوزيعات الصفرية لـ${\displaystyle T}$،${\displaystyle T^{+}}$، و${\displaystyle T^{-}}$هي توزيعات طبيعية تقاربياً بمتوسطات وتباينات: ^{[ 43 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} [T^{+}]&=\mathbf {E} [T^{-}]={\frac {n(n+1)}{4}},\\\mathbf {E} [T]&=0,\\\operatorname {Var} (T^{+})&=\operatorname {Var} (T^{-})={\frac {n(n+1)(2n+1)}{24}},\\\operatorname {Var} (T)&={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.\end{aligned}}}$$

يمكن الحصول على تقريبات أفضل باستخدام متسلسلات إيدجوورث. يُظهر استخدام متسلسل إيدجوورث من الرتبة الرابعة ما يلي: ^{[ 44 ] [ 45 ]}$${\displaystyle \Pr(T^{+}\leq k)\approx \Phi (t)+\phi (t){\Big (}{\frac {3n^{2}+3n-1}{10n(n+1)(2n+1)}}{\Big )}(t^{3}-3t),}$$ أين $${\displaystyle t={\frac {k+{\tfrac {1}{2}}-{\frac {n(n+1)}{4}}}{\sqrt {\frac {n(n+1)(2n+1)}{24}}}}.}$$ إن الأسس التقنية لهذه التوسعات معقدة نوعًا ما، لأن توسعات إيدجوورث التقليدية تنطبق على مجاميع المتغيرات العشوائية المستمرة المستقلة والمتطابقة التوزيع، بينما${\displaystyle T^{+}}$هو مجموع متغيرات عشوائية منفصلة غير متطابقة التوزيع. ومع ذلك، فإن النتيجة النهائية هي أن التوسع المذكور أعلاه يحتوي على خطأ قدره${\displaystyle O(n^{-3/2})}$تمامًا مثل توسيع إيدجوورث التقليدي من الدرجة الرابعة. ^{[ 44 ]}

دالة توليد العزوم لـ${\displaystyle T}$الصيغة الدقيقة هي: ^{[ 46 ]}$${\displaystyle M(t)={\frac {1}{2^{n}}}\prod _{j=1}^{n}(1+e^{jt}).}$$

عند وجود أصفار واستخدام إجراء الصفر ذي الرتبة الموقعة، أو عند وجود قيم متساوية واستخدام إجراء الرتبة المتوسطة، فإن التوزيع الصفري لـ${\displaystyle T}$التغييرات. اشتق كيورتون تقريبًا طبيعيًا لهذه الحالة. ^{[ 47 ] [ 48 ]} لنفترض أن العدد الأصلي للملاحظات كان${\displaystyle n}$وعدد الأصفار كان${\displaystyle z}$تصحيح التعادل هو $${\displaystyle c=\sum t^{3}-t,}$$ حيث يكون المجموع على جميع الأحجام${\displaystyle t}$لكل مجموعة من الملاحظات المترابطة. توقع${\displaystyle T}$لا يزال الصفر، بينما التوقع هو${\displaystyle T^{+}}$يكون $${\displaystyle \mathbf {E} [T^{+}]={\frac {n(n+1)}{4}}-{\frac {z(z+1)}{4}}.}$$ لو $${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)-z(z+1)(2z+1)-c/2}{6}},}$$ ثم $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (T)&=\sigma ^{2},\\\operatorname {Var} (T^{+})&=\sigma ^{2}/4.\end{aligned}}}$$

عرّف ويلكوكسون ^{[ 49 ]} في الأصل إحصائية مجموع رتب ويلكوكسون على النحو التالي:${\displaystyle \min(T^{+},T^{-})}$اتبع مؤلفون مبكرون مثل سيجل ^{[ 6 ]} منهج ويلكوكسون. وهذا مناسب لاختبارات الفرضيات ثنائية الجانب، ولكنه لا يمكن استخدامه للاختبارات أحادية الجانب.

بدلاً من تعيين رتب بين 1 و n ، من الممكن أيضاً تعيين رتب بين 0 و${\displaystyle n-1}$تُسمى هذه الرتب بالرتب المعدلة . ^{[ 50 ]} مجموع الرتب الموقعة المعدل${\displaystyle T_{0}}$، مجموع الرتب الموجبة المعدل${\displaystyle T_{0}^{+}}$ومجموع الرتب السالبة المعدل${\displaystyle T_{0}^{-}}$يتم تعريفها بشكل مماثل لـ${\displaystyle T}$،${\displaystyle T^{+}}$، و${\displaystyle T^{-}}$ولكن مع استبدال الرتب العادية بالرتب المعدلة. احتمال أن يكون مجموع عددين مستقلين${\displaystyle F}$يمكن تقدير المتغيرات العشوائية الموزعة توزيعًا موجبًا على النحو التالي:${\displaystyle 2T_{0}^{+}/(n(n-1))}$[ ^{51 ]} عندما يقتصر النظر على التوزيعات المستمرة، فإن هذا يُعد مقدرًا غير متحيز ذو تباين أدنى ^لـ${\displaystyle p_{2}}$[ ^{52 ]​}

${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{2,i}}$ ${\displaystyle x_{1,i}}$ ${\displaystyle x_{2,i}-x_{1,i}}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ ${\displaystyle \operatorname {abs} }$ 1 125 110 1 15 2 115 122  -1 7 3 130 125 1 5 4 140 120 1 20 5 140 140   0 6 115 124  -1 9 7 140 123 1 17 8 125 137  -1 12 9 140 135 1 5 10 135 145  -1 10

رتب حسب الفرق المطلق

${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{2,i}}$ ${\displaystyle x_{1,i}}$ ${\displaystyle x_{2,i}-x_{1,i}}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ ${\displaystyle {\text{abs}}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} \cdot R_{i}}$ 5 140 140   0     3 130 125 1 5 1.5 1.5 9 140 135 1 5 1.5 1.5 2 115 122  -1 7 3  -3 6 115 124  -1 9 4  –4 10 135 145  -1 10 5  -5 8 125 137  -1 12 6  –6 1 125 110 1 15 7 7 7 140 123 1 17 8 8 4 140 120 1 20 9 9

${\displaystyle \operatorname {sgn} }$هي دالة الإشارة ،${\displaystyle \operatorname {abs} }$هي القيمة المطلقة ، و${\displaystyle R_{i}}$هذا هو الترتيب . لاحظ أن الزوجين 3 و9 متساويان في القيمة المطلقة. كان من المفترض أن يكون ترتيبهما 1 و2، لذا يحصل كل منهما على متوسط ​​هذين الترتيبين، وهو 1.5.

${\displaystyle W=1.5+1.5-3-4-5-6+7+8+9=9}$

${\displaystyle |W|<W_{\operatorname {crit} (\alpha =0.05,\ 9{\text{, two-sided}})}=15}$

${\displaystyle \therefore {\text{failed to reject }}H_{0}}$أن الوسيط للفروق الزوجية يختلف عن الصفر.

ال${\displaystyle p}$القيمة السالبة لهذه النتيجة هي${\displaystyle 0.6113}$

لحساب حجم التأثير لاختبار الرتب الموقعة، يمكن للمرء استخدام معامل الارتباط الثنائي للرتب .

إذا تم الإبلاغ عن إحصائية الاختبار T ، ^فإن معامل ارتباط الرتب r يساوي إحصائية الاختبار T مقسومة على مجموع الرتب الكلي S ، أو r = T / S. ^{[ 53} ] باستخدام المثال أعلاه، إحصائية الاختبار هي T = 9. حجم العينة 9، ومجموع الرتب الكلي S = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 45. وبالتالي، فإن معامل ارتباط الرتب هو 9/45، أي r = 0.20.   

إذا تم الإبلاغ عن إحصائية الاختبار T ، فإن طريقة مكافئة لحساب معامل ارتباط الرتب هي باستخدام الفرق في النسبة بين مجموعي الرتب، وهي صيغة كيربي (2014) البسيطة للفرق. ^{[ 53 ]} لنتابع المثال الحالي، حجم العينة هو 9، لذا فإن مجموع الرتب الكلي هو 45. T هو أصغر مجموعي الرتب، لذا فإن T = 3 + 4 + 5 + 6 = 18. من هذه المعلومة وحدها، يمكن حساب مجموع الرتب المتبقي، لأنه المجموع الكلي S ناقص T ، أو في هذه الحالة 45 - 18 = 27. بعد ذلك، نسبتا مجموعي الرتب هما 27/45 = 60% و18/45 = 40%. أخيرًا، معامل ارتباط الرتب هو الفرق بين النسبتين (0.60 ناقص 0.40)، وبالتالي r = 0.20.

• تتضمن لغة R تطبيقًا للاختبار على النحو التالي ، حيث x و y متجهان متساويان في الطول. ^{[ 54 ]}wilcox.test(x,y,paired=TRUE)
• تتضمن مكتبة ALGLIB تطبيق اختبار Wilcoxon للرتب الموقعة في لغات C++ و C# و Delphi و Visual Basic وغيرها.
• ينفذ برنامج GNU Octave إصدارات مختلفة من الاختبار أحادي الطرف وثنائي الطرف في الدالة wilcoxon_test.
• يتضمن SciPy تطبيقًا لاختبار Wilcoxon signed-rank في لغة Python.
• يتضمن Accord.NET تطبيقًا لاختبار Wilcoxon signed-rank في لغة C# لتطبيقات .NET.
• يُطبّق برنامج MATLAB هذا الاختبار باستخدام "اختبار ويلكوكسون لجمع الرتب"، كما [p,h] = signrank(x,y)يُعيد قيمة منطقية تُشير إلى نتيجة الاختبار. تُشير النتيجة h = 1 إلى رفض الفرضية الصفرية، بينما تُشير النتيجة h = 0 إلى عدم رفض الفرضية الصفرية عند مستوى دلالة 5%.
• تتضمن حزمة Julia HypothesisTests اختبار Wilcoxon للإشارة المرتبة كـ value(SignedRankTest(x, y)).
• يتضمن إجراء SAS PROC UNIVARIATE اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة ضمن إطار بعنوان "اختبارات الموقع" تحت مسمى "الرتب الموقعة". على الرغم من أن هذا الإجراء يحسب إحصائية S بدلاً من إحصائية W، إلا أنه لا يزال بالإمكان استخدام قيمة p الناتجة لهذا الاختبار. ^{[ 55 ]} كما يحتوي SAS مع إجراء PROC NPAR1WAY على العديد من الاختبارات غير المعلمية، بالإضافة إلى اختبارات دقيقة باستخدام منهجية بايزي mcmc.
  • وثائق SAS

• اختبار مان-ويتني-ويلكوكسون
• اختبار الإشارة

• اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة في لغة البرمجة R
• مثال على استخدام اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة
• نسخة إلكترونية من الاختبار
• جدول القيم الحرجة لاختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة
• دليل موجز من تأليف عالم النفس التجريبي كارل ل. وينش، مؤرشف بتاريخ 17-11-2015 في Wayback Machine – مقدرات حجم التأثير غير البارامترية (حقوق الطبع والنشر 2015 لكارل ل. وينش)
• كيربي، د.س. (2014). صيغة الفرق البسيط: مدخل لتدريس الارتباط غير البارامتري. علم النفس الشامل ، المجلد 3، المقالة 1. doi:10.2466/11.IT.3.1. رابط المقالة