دالة الإشارة

على الرغم من أن دالة الإشارة تأخذ القيمة -1 عندما${\displaystyle x}$إذا كانت سالبة، فإن النقطة المحاطة بحلقة (0، -1 ) في الرسم البياني لـ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$يشير ذلك إلى أن هذا ليس هو الحال عندما${\displaystyle x=0}$بدلاً من ذلك، تقفز القيمة فجأة إلى النقطة الصلبة عند (0، 0) حيث${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0}$ثم تحدث قفزة مماثلة إلى${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=+1}$متى${\displaystyle x}$موجبة. أي من القفزتين توضح بصريًا أن دالة الإشارة${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$تكون الدالة غير متصلة عند الصفر، على الرغم من أنها متصلة عند أي نقطة حيث${\displaystyle x}$إما أن يكون إيجابياً أو سلبياً.

تؤكد هذه الملاحظات أي من التعريفات الرسمية المتكافئة المختلفة للاستمرارية في التحليل الرياضي . دالة${\displaystyle f(x)}$، مثل${\displaystyle \operatorname {sgn}(x),}$متصلة عند نقطة${\displaystyle x=a}$إذا كانت القيمة${\displaystyle f(a)}$يمكن تقريبها بدقة تعسفية بواسطة سلسلة القيم${\displaystyle f(a_{1}),f(a_{2}),f(a_{3}),\dots ,}$حيث${\displaystyle a_{n}}$كوّن أي متتالية لانهائية تقترب بشكل تعسفي من${\displaystyle a}$مثل${\displaystyle n}$تصبح كبيرة بما يكفي. في تدوين النهايات الرياضية ، استمرارية${\displaystyle f}$في${\displaystyle a}$يتطلب ذلك${\displaystyle f(a_{n})\to f(a)}$مثل${\displaystyle n\to \infty }$لأي تسلسل${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$والتي${\displaystyle a_{n}\to a.}$يمكن قراءة رمز السهم بمعنى يقترب ، أو يميل إلى ، وينطبق ذلك على التسلسل ككل.

لا ينطبق هذا المعيار على دالة الإشارة عند${\displaystyle a=0}$على سبيل المثال، يمكننا أن نختار${\displaystyle a_{n}}$أن تكون التسلسل${\displaystyle 1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\dots ,}$والذي يميل إلى الصفر عندما${\displaystyle n}$يزداد باتجاه اللانهاية. في هذه الحالة،${\displaystyle a_{n}\to a}$حسب الاقتضاء، ولكن${\displaystyle \operatorname {sgn}(a)=0}$و${\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{n})=+1}$لكل${\displaystyle n,}$لهذا السبب.${\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{n})\to 1\neq \operatorname {sgn}(a)}$يؤكد هذا المثال المضاد بشكل أكثر رسمية عدم استمرارية${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$عند الصفر الذي يظهر في الرسم البياني.

على الرغم من بساطة شكل دالة الإشارة، إلا أن التغير المفاجئ عند الصفر يُسبب صعوبات لتقنيات التفاضل والتكامل التقليدية ، التي تتسم بمتطلبات صارمة. ويُعدّ شرط الاستمرارية قيدًا شائعًا. أحد الحلول الممكنة هو تقريب دالة الإشارة بدالة سلسة مستمرة؛ بينما قد تتضمن حلول أخرى مناهج أقل صرامة تعتمد على الأساليب الكلاسيكية لاستيعاب فئات أوسع من الدوال.

يمكن التعبير عن دالة الإشارة بعدد من النهايات المختلفة (النقطية): $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn} x&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-2^{-nx}}{1+2^{-nx}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}\operatorname {arctan} (nx)\\&=\lim _{n\to \infty }\tanh(nx)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}.\end{aligned}}}$$ هنا،${\displaystyle \tanh }$هو الظل الزائدي ، و${\displaystyle \operatorname {arctan} }$هو الظل العكسي . أما الأخير فهو مشتقة${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}$هذا مستوحى من حقيقة أن ما سبق ينطبق تمامًا على جميع القيم غير الصفرية${\displaystyle x}$لو${\displaystyle \varepsilon =0}$وتتميز بسهولة تعميمها على نظائر ذات أبعاد أعلى لدالة الإشارة (على سبيل المثال، المشتقات الجزئية لـ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$).

انظر دالة هيفسايد المتدرجة §  التقريبات التحليلية .

دالة الإشارة${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$تكون قابلة للتفاضل في كل مكان باستثناء عندما${\displaystyle x=0.}$مشتقتها تساوي صفرًا عندما${\displaystyle x}$غير صفري: $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\,(\operatorname {sgn} x)}{{\text{d}}x}}=0\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.}$$

وينتج هذا عن قابلية اشتقاق أي دالة ثابتة ، والتي تكون مشتقتها دائمًا صفرًا على مجال تعريفها.${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$تتصرف كدالة ثابتة عندما تقتصر على المنطقة المفتوحة السالبة${\displaystyle x<0,}$حيث تساوي -1 . ويمكن اعتبارها بالمثل دالة ثابتة ضمن المنطقة المفتوحة الموجبة.${\displaystyle x>0,}$حيث يكون الثابت المقابل هو +1 . على الرغم من أن هاتين دالتان ثابتتان مختلفتان، إلا أن مشتقتهما تساوي صفرًا في كل حالة.

لا يمكن تعريف مشتق كلاسيكي عند${\displaystyle x=0}$، لأن هناك انقطاعاً هناك.

بما أن مشتقتها تساوي صفرًا، فإن المشتقة النونية لدالة مضروبة في دالة الإشارة تُبسط إلى:

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{n}\,(\operatorname {sgn}(x)f(x))}{{\text{d}}x^{n}}}=\operatorname {sgn}(x)f^{(n)}(x)\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.}$$

على الرغم من أنها غير قابلة للتفاضل عند${\displaystyle x=0}$بالمعنى المعتاد، وفي إطار المفهوم المعمم للتفاضل في نظرية التوزيع ، فإن مشتقة دالة الإشارة تساوي ضعف دالة ديراك دلتا . ويمكن إثبات ذلك باستخدام المتطابقة ^{[ 2 ].}$${\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H(x)-1\,,}$$ أين${\displaystyle H(x)}$دالة هيفسايد المتدرجة باستخدام المعيار${\displaystyle H(0)={\frac {1}{2}}}$الشكلية. باستخدام هذه الهوية، من السهل اشتقاق المشتق التوزيعي: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\operatorname {sgn} x}{{\text{d}}x}}=2{\frac {{\text{d}}H(x)}{{\text{d}}x}}=2\delta (x)\,.}$$

دالة الإشارة لها تكامل محدد بين أي زوج من القيم المحدودة a و b ، حتى عندما تشمل فترة التكامل الصفر. ويكون التكامل الناتج لـ a و b مساوياً للفرق بين قيمتيهما المطلقتين. $${\displaystyle \int _{a}^{b}(\operatorname {sgn} x)\,{\text{d}}x=|b|-|a|\,.}$$

في الواقع، دالة الإشارة هي مشتقة دالة القيمة المطلقة، باستثناء الحالات التي يحدث فيها تغيير مفاجئ في الميل عند الصفر: $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}|x|}{{\text{d}}x}}=\operatorname {sgn} x\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.}$$

يمكننا فهم ذلك كما في السابق من خلال النظر في تعريف القيمة المطلقة${\displaystyle |x|}$في المناطق المنفصلة${\displaystyle x>0}$و${\displaystyle x<0.}$على سبيل المثال، دالة القيمة المطلقة مطابقة لـ${\displaystyle x}$في المنطقة${\displaystyle x>0,}$مشتقته هي القيمة الثابتة +1 ، والتي تساوي قيمة${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$هناك.

لأن القيمة المطلقة دالة محدبة ، يوجد على الأقل مشتق جزئي واحد عند كل نقطة، بما في ذلك نقطة الأصل. في كل مكان عدا الصفر، يتكون التفاضل الجزئي الناتج من قيمة واحدة، تساوي قيمة دالة الإشارة. في المقابل، توجد مشتقات جزئية متعددة عند الصفر، واحدة منها فقط تأخذ القيمة${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0}$تظهر قيمة المشتقة الجزئية 0 هنا لأن دالة القيمة المطلقة تكون عند أدنى قيمة لها. وتشكل المجموعة الكاملة للمشتقات الجزئية الصالحة عند الصفر فترة التفاضل الجزئي.${\displaystyle [-1,1]}$، والتي يمكن اعتبارها بشكل غير رسمي بمثابة "ملء" الرسم البياني لدالة الإشارة بخط عمودي يمر عبر نقطة الأصل، مما يجعلها متصلة كمنحنى ثنائي الأبعاد.

في نظرية التكامل، دالة الإشارة هي مشتقة ضعيفة لدالة القيمة المطلقة. وتكون المشتقات الضعيفة متكافئة إذا كانت متساوية تقريبًا في كل مكان ، مما يجعلها بمنأى عن الشذوذات المعزولة عند نقطة واحدة. ويشمل ذلك تغير ميل دالة القيمة المطلقة عند الصفر، وهو ما يمنع وجود مشتقة كلاسيكية.

الدالة الأصلية لدالة مضروبة في دالة الإشارة هي:$${\displaystyle \int {\operatorname {sgn}(x)f(x){\text{d}}x}=\operatorname {sgn}(x)F(x)+B\operatorname {sgn}(x)+C\,,}$$أين${\textstyle B}$و${\textstyle C}$هي ثوابت التكامل . خارج نطاق نظرية التوزيع،${\textstyle B}$يمكن أن تأخذ أي قيمة، وغالبًا ما تكون صفرًا. عند النظر في دالة ديراك دلتا ،${\textstyle B}$يجب أن يساوي${\textstyle F(0)}$. This can be proven using integration by parts:$${\displaystyle \int {\operatorname {sgn}(x)f(x){\text{d}}x}=\operatorname {sgn}(x)F(x)-\int {2\delta (x)F(x){\text{d}}x}\,,}$$where ${\textstyle \delta (x)}$ is the Dirac delta function. Integrating, the following expression can be obtained:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)F(x)-\int {2\delta (x)F(x){\text{d}}x}=\operatorname {sgn}(x)F(x)-2F(0)H(x)+C=\operatorname {sgn}(x)F(x)-\operatorname {sgn}(x)F(0)+C\,,}$

where ${\textstyle H(x)}$ is the Heaviside step function. Since ${\textstyle F(x)}$ already has its own integration constant, unrelated to ${\textstyle C}$, ${\textstyle F(0)}$ can take on any value as long as it is defined. If Dirac delta function is considered, the integration constant of ${\textstyle F(x)}$ has to mach in both terms; otherwise, the derivative of the signum function is 0, so it can be multiplied by any constant in the second term.

The Fourier transform of the signum function is^[4]$${\displaystyle PV\int _{-\infty }^{\infty }(\operatorname {sgn} x)e^{-ikx}{\text{d}}x={\frac {2}{ik}}\qquad {\text{for }}k\neq 0,}$$ where ${\displaystyle PV}$ means taking the Cauchy principal value.

The signum function can be generalized to complex numbers as: $${\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}}$$ for any complex number ${\displaystyle z}$ except ${\displaystyle z=0}$. The signum of a given complex number ${\displaystyle z}$ is the point on the unit circle of the complex plane that is nearest to ${\displaystyle z}$. Then, for ${\displaystyle z\neq 0}$, $${\displaystyle \operatorname {sgn} z=e^{i\arg z}\,,}$$ where ${\displaystyle \arg }$ is the complex argument function.

For reasons of symmetry, and to keep this a proper generalization of the signum function on the reals, also in the complex domain one usually defines, for ${\displaystyle z=0}$: $${\displaystyle \operatorname {sgn}(0+0i)=0}$$

Another generalization of the sign function for real and complex expressions is ${\displaystyle {\text{csgn}}}$,^[5] which is defined as: $${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}}$$ where ${\displaystyle {\text{Re}}(z)}$ is the real part of ${\displaystyle z}$ and ${\displaystyle {\text{Im}}(z)}$ is the imaginary part of ${\displaystyle z}$.

We then have (for ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)\neq 0}$): $${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.}$$

Thanks to the Polar decomposition theorem, a matrix ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ and ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$) can be decomposed as a product ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {P}}}$ where ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ is a unitary matrix and ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ is a self-adjoint, or Hermitian, positive definite matrix, both in ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n\times n}}$. If ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ is invertible then such a decomposition is unique and ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ plays the role of ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$'s signum. A dual construction is given by the decomposition ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {R}}}$ where ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$ is unitary, but generally different than ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$. This leads to each invertible matrix having a unique left-signum ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ and right-signum ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$.

In the special case where ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\ n=2,}$ and the (invertible) matrix ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]}$, which identifies with the (nonzero) complex number ${\displaystyle a+\mathrm {i} b=c}$, then the signum matrices satisfy ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {P}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]/|c|}$ and identify with the complex signum of ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle \operatorname {sgn} c=c/|c|}$. In this sense, polar decomposition generalizes to matrices the signum-modulus decomposition of complex numbers.

At real values of ${\displaystyle x}$, it is possible to define a generalized function–version of the signum function, ${\displaystyle \varepsilon (x)}$ such that ${\displaystyle \varepsilon (x)^{2}=1}$ everywhere, including at the point ${\displaystyle x=0}$, unlike ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$, for which ${\displaystyle (\operatorname {sgn} 0)^{2}=0}$تسمح هذه الإشارة المعممة ببناء جبر الدوال المعممة ، لكن ثمن هذا التعميم هو فقدان خاصية التبادلية . على وجه الخصوص، فإن الإشارة المعممة مضادة للتبادل مع دالة ديراك دلتا ^{[ 6 ].}$${\displaystyle \varepsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\varepsilon (x)=0\,;}$$ فضلاً عن ذلك،${\displaystyle \varepsilon (x)}$لا يمكن تقييمها في${\displaystyle x=0}$والاسم الخاص،${\displaystyle \varepsilon }$من الضروري تمييزه عن الوظيفة${\displaystyle \operatorname {sgn} }$. (${\displaystyle \varepsilon (0)}$غير مُعرَّف، ولكن${\displaystyle \operatorname {sgn} 0=0}$.)