ويتينغ بوليتوب

ويتينغ بوليتوب
رمز شلافلي	3 {3} 3 {3} 3 {3} 3 3(24)3(24)3(24)3
مخطط كوكسيتر
الخلايا	240 3 {3} 3 {3} 3
وجوه	2160 3 {3} 3
الحواف	2160 3 {}
الرؤوس	240
مضلع بيتري	30 ضلعًا
مضلع فان أوس	90 3 {4} 3
مجموعة شيبارد	L 4 = 3 [3] 3 [3] 3 [3] 3 ، رقم الطلب 155520
متعدد السطوح المزدوج	ذاتي الازدواجية
ملكيات	عادي

في الهندسة المعقدة رباعية الأبعاد ، يُعدّ متعدد السطوح ويتينغ متعدد سطوح منتظمًا ، ويُسمى: ₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃ ، وله مخطط كوكسيتر . يحتوي على 240 رأسًا، و2160 _ضلعًا ، و2160 _{وجهًا ،} و 240 _{خلية . وهو متعدد السطوح} ثنائي التناظر. ينتمي كل رأس إلى 27 ضلعًا، و 72 وجهًا، و27 خلية _، وهو ما يتوافق مع شكل رأس متعدد السطوح هيسيان .

تناظرها من الرتبة ₃ [3] ₃ [3] ₃ [3] ₃ أو ، رتبة 155520. ^{[ 1 ]} تحتوي على 240 نسخة من ، رتبة 648 في كل خلية. ^{[ 2 ]}

مصفوفة التكوين هي: ^{[ 3 ]}${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}240&27&72&27\\3&2160&8&8\\8&8&2160&3\\27&72&27&240\end{smallmatrix}}\right]}$

يُعرض عدد الرؤوس والحواف والوجوه والخلايا في قطر المصفوفة. ويتم حساب هذه الأعداد بقسمة رتبة المجموعة على رتبة المجموعة الفرعية، وذلك بإزالة بعض الانعكاسات المعقدة، الموضحة بالرمز X أدناه. ويُعرض عدد عناصر الوجوه ذات k عنصرًا في الصفوف أسفل القطر. أما عدد عناصر شكل الرأس، وما إلى ذلك، فيُعرض في الصفوف أعلى القطر.

L 4		الوجه k	ف ك	f 0	f 1	f 2	f 3	شكل k	ملحوظات
L 3		( )	f 0	240	27	72	27	3 {3} 3 {3} 3	L 4 /L 3 = 216*6!/27/4! = 240
L 2 L 1		3 { }	f 1	3	2160	8	8	3 {3} 3	ل 4 /ل 2 ل 1 = 216*6!/4!/3 = 2160
		3 {3} 3	f 2	8	8	2160	3	3 { }
L 3		3 {3} 3 {3} 3	f 3	27	72	27	240	( )	L 4 /L 3 = 216*6!/27/4! = 240

يتم إعطاء إحداثيات رؤوسها الـ 240 في${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$:

أين${\displaystyle \omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\lambda ,\nu ,\mu =0,1,2}$.

تشكل النقاط الست الأخيرة ثقوبًا سداسية على أحد أقطارها الأربعين. يوجد أربعون مستوىً _فائقًا تحتوي على _أشكال مركزية ، مع 72 رأسًا _.

أطلق كوكسيتر عليه اسم ألكسندر ويتينغ لكونه تكوين ويتينغ في الفضاء الإسقاطي المعقد ثلاثي الأبعاد: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}40&12&12\\2&240&2\\12&12&40\end{smallmatrix}}\right]}$أو${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}40&9&12\\4&90&4\\12&9&40\end{smallmatrix}}\right]}$

يرتبط تكوين ويتينغ بالفضاء المحدود PG(3,2 ² )، ويتكون من 85 نقطة و357 خطًا و85 مستوى. ^{[ 5 ]}

تتشارك رؤوسها الـ 240 مع متعدد السطوح الحقيقي ذي الأبعاد الثمانية 4 _21. وتُرسم حوافها الثلاثية البالغ عددها 2160 أحيانًا على شكل 6480 حافة بسيطة، وهو عدد أقل بقليل من حواف 4 21 البالغ عددها 6720 حافة . ^{​​ويُعزى} _هذا الفرق البالغ 240 إلى وجود 40 سداسيًا مركزيًا في 4 ₂₁ لا تُحتسب حوافها ضمن ₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} _3. ^{[ 2} ]

يحتوي متعدد السطوح ويتينغ المنتظم على مرحلة إضافية على شكل خلية نحل رباعية الأبعاد . ويحتوي على متعدد السطوح ويتينغ كأوجه ورأس. وهو ثنائي ذاتي، ويتطابق ثنائيه مع نفسه. ^{[ 6 ]}

تتضمن مقاطع المستوى الفائق لهذا الهيكل الخلوي هياكل خلوية ثلاثية الأبعاد .

يمثل شكل قرص العسل لمتعددات الوجوه ويتينغ تمثيلاً حقيقياً على أنه متعدد الوجوه ذو 8 أبعاد 5 ₂₁ , .

عدد عناصر المتجه f الخاص به متناسب كالتالي: 1، 80، 270، 80، 1. ^{[ 1 ]} مصفوفة التكوين لخلية النحل هي:

L 5		الوجه k	ف ك	f 0	f 1	f 2	f 3	f 4	شكل k	ملحوظات
L 4		( )	f 0	شمال	240	2160	2160	240	3 {3} 3 {3} 3 {3} 3	L 5 /L 4 = N
L 3 L 1		3 { }	f 1	3	80 نيوتن	27	72	27	3 {3} 3 {3} 3	L 5 /L 3 L 1 = 80 نيوتن
L 2 L 2		3 {3} 3	f 2	8	8	270 شمالاً	8	8	3 {3} 3	L 5 /L 2 L 2 = 270 نيوتن
L 3 L 1		3 {3} 3 {3} 3	f 3	27	72	27	80 نيوتن	3	3 {}	L 5 /L 3 L 1 = 80 نيوتن
L 4		3 {3} 3 {3} 3 {3} 3	f 4	240	2160	2160	240	شمال	( )	L 5 /L 4 = N

• Coxeter, HSM and Moser, WOJ; Generators and Relations for Discrete Groups (1965), esp. pp. 67–80.
• كوكسيتر، إتش إس إم (1974). متعددات الوجوه المعقدة المنتظمة . مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 132-135 ، 143، 146، 152. ISBN  978-0-521-20125-4.
• كوكسيتر، إتش إس إم وشيبارد، جي سي؛ صور لعائلة من متعددات الوجوه المعقدة، ليوناردو ، المجلد 25، العدد 3/4، (1992)، الصفحات 239-244