المستوى الفائق

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 13 صور
الموسوعة الحرة

مستويان متقاطعان: المستويات ثنائية الأبعاد هي المستويات الفائقة في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

في الهندسة ، يُعدّ المستوى الفائق تعميمًا للمستوى ثنائي الأبعاد في الفضاء ثلاثي الأبعاد، ليشمل الفضاءات الرياضية ذات الأبعاد المختلفة . وكما هو الحال مع المستوى في الفضاء ، فإن المستوى الفائق هو سطح فائق مستوٍ ، أي فضاء جزئي يقل بُعده بمقدار واحد عن بُعد الفضاء المحيط . ومن الأمثلة على المستويات الفائقة ذات الأبعاد المنخفضة: الخطوط أحادية البعد في مستوى، والنقاط الصفرية الأبعاد على خط.

في أغلب الأحيان، يكون الفضاء المحيط فضاءً إقليديًا ذا بُعد n ، وفي هذه الحالة تكون المستويات الفائقة عبارة عن "مستويات" ذات بُعد ( n - 1) ، يفصل كل منها الفضاء إلى نصفين . [ 1 ] يُعد الانعكاس عبر مستوى فائق نوعًا من الحركة ( تحويل هندسي يحافظ على المسافة بين النقاط)، وتُولد مجموعة جميع الحركات من خلال الانعكاسات. متعدد السطوح المحدب هو تقاطع نصفي الفضاء.

في الهندسة غير الإقليدية ، قد يكون الفضاء المحيط هو الكرة ذات الأبعاد n أو الفضاء الزائدي ، أو بشكل عام شكل فضاء ريماني زائف ، والمستويات الفائقة هي الأسطح الفائقة التي تتكون من جميع الخطوط الجيوديسية التي تمر بنقطة ما والتي تكون عمودية على خط جيوديسي طبيعي محدد .

في أنواع أخرى من الفضاءات المحيطة، تفقد بعض خصائص الفضاء الإقليدي أهميتها. على سبيل المثال، في الفضاء الأفيني ، لا يوجد مفهوم للمسافة، وبالتالي لا توجد انعكاسات أو حركات. وفي الفضاءات غير الموجهة ، كالفضاء الإهليلجي أو الإسقاطي ، لا يوجد مفهوم لأنصاف المستويات. وبشكل عام، يُعد مفهوم المستوى الفائق ذا معنى في أي فضاء رياضي يُعرَّف فيه مفهوم بُعد الفضاء الجزئي (انظر أيضًا: الماترويد §  المستويات الفائقة (الذرات)) .

يُعرف الفرق في الأبعاد بين الفضاء الجزئي والفضاء المحيط به باسم بُعده المشترك . يبلغ البُعد المشترك للمستوى الفائق 1 .

الوصف الفني

في الهندسة ، يُعرف المستوى الفائق في فضاء V ذي البعد n بأنه فضاء جزئي ذو بعد n − 1، أو ما يكافئه، ذو بعد مشترك 1 في V. قد يكون الفضاء V فضاءً إقليديًا أو، بشكل أعم، فضاءً أفينيًا ، أو فضاءً متجهيًا أو فضاءً إسقاطيًا ، ويتغير مفهوم المستوى الفائق تبعًا لذلك نظرًا لاختلاف تعريف الفضاء الجزئي في هذه السياقات؛ ومع ذلك، في جميع الحالات، يمكن تمثيل أي مستوى فائق بإحداثيات كحل لمعادلة جبرية واحدة من الدرجة 1 (بسبب قيد " البعد المشترك 1") .      

إذا كان V فضاءً متجهيًا، يُمكن التمييز بين "المستويات الفائقة المتجهة" (وهي فضاءات جزئية خطية ، وبالتالي يجب أن تمر بنقطة الأصل) و"المستويات الفائقة الأفينية" (التي لا يشترط أن تمر بنقطة الأصل؛ إذ يُمكن الحصول عليها عن طريق إزاحة مستوى فائق متجهي). يفصل المستوى الفائق في الفضاء الإقليدي ذلك الفضاء إلى نصفين ، ويُعرّف انعكاسًا يُثبّت المستوى الفائق ويُبدّل هذين النصفين.

أنواع خاصة من المستويات الفائقة

تُعرَّف عدة أنواع محددة من المستويات الفائقة بخصائص ملائمة لأغراض معينة. بعض هذه التخصصات موصوفة هنا.

المستويات الفائقة الأفينية

المستوى الفائق الأفيني هو فضاء جزئي أفيني ذو بُعد مشترك 1 في فضاء أفيني . في الإحداثيات الديكارتية ، يمكن وصف هذا المستوى الفائق بمعادلة خطية واحدة بالشكل التالي (حيث يكون واحد على الأقل منأأنا{\displaystyle a_{i}}قيمة s غير صفرية وب{\displaystyle b}(ثابت اختياري):

أ1x1+أ2x2+⋯+أنxن=ب. {\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b.\ }

في حالة الفضاء الأفيني الحقيقي، أي عندما تكون الإحداثيات أعدادًا حقيقية، يقسم هذا الفضاء الأفيني الفضاء إلى نصفين، وهما المكونان المتصلان لمتمم المستوى الفائق، ويتم تحديدهما بواسطة المتباينات التالية :

أ1x1+أ2x2+⋯+أنxن<ب {\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b\ }

و

أ1x1+أ2x2+⋯+أنxن>ب. {\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b.\ }

على سبيل المثال، النقطة هي مستوى فائق في الفضاء أحادي البعد، والخط هو مستوى فائق في الفضاء ثنائي البعد، والمستوى هو مستوى فائق في الفضاء ثلاثي الأبعاد. أما الخط في الفضاء ثلاثي الأبعاد فليس مستوى فائقًا، ولا يفصل الفضاء إلى جزأين (مكمل هذا الخط متصل).

أي مستوى فائق في الفضاء الإقليدي له متجهان عموديان وحدويان بالضبط:±ن^{\displaystyle \pm {\hat {n}}}. على وجه الخصوص، إذا نظرناRن+1{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}إذا تم تزويدها بالضرب الداخلي التقليدي ( الضرب النقطي )، فيمكن تعريف الفضاء الفرعي الأفيني بمتجه عمودي.ن^{\displaystyle {\hat {n}}}وترجمة الأصلب~∈Rن+1{\displaystyle {\tilde {b}}\in \mathbb {R} ^{n+1}}باعتبارها مجموعة الكلx∈Rن+1{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n+1}}بحيثن^⋅(x-ب~)=0{\displaystyle {\hat {n}}\cdot (x-{\tilde {b}})=0}.

تُستخدم المستويات الفائقة الأفينية لتحديد حدود القرار في العديد من خوارزميات التعلم الآلي مثل أشجار القرار الخطية المركبة (المائلة) والبيرسيبترونات .

المستويات الفائقة المتجهة

في الفضاء المتجهي، يُعد المستوى الفائق المتجهي فضاءً خطيًا جزئيًا ذو بُعد مشترك يساوي  1، ولا يمكن إزاحته عن نقطة الأصل إلا بواسطة متجه، وفي هذه الحالة يُشار إليه باسم المستوى المسطح . ويمثل هذا المستوى الفائق حلاً لمعادلة خطية واحدة .

المستويات الفائقة الإسقاطية

تُستخدم المستويات الفائقة الإسقاطية في الهندسة الإسقاطية . الفضاء الفرعي الإسقاطي هو مجموعة من النقاط تتميز بخاصية أنه لأي نقطتين في هذه المجموعة، فإن جميع النقاط الواقعة على الخط الفاصل بينهما تقع ضمن هذه المجموعة. [ 2 ] يمكن النظر إلى الهندسة الإسقاطية على أنها هندسة أفينية مع إضافة نقاط التلاشي (النقاط عند اللانهاية). يشكل المستوى الفائق الأفيني مع النقاط المرتبطة به عند اللانهاية مستوىً فائقًا إسقاطيًا. ومن الحالات الخاصة للمستوى الفائق الإسقاطي المستوى الفائق اللانهائي أو المثالي ، والذي يُعرَّف بمجموعة جميع النقاط عند اللانهاية.

في الفضاء الإسقاطي، لا يقسم المستوى الفائق الفضاء إلى جزأين؛ بل يتطلب الأمر مستويين فائقين لفصل النقاط وتقسيم الفضاء. والسبب في ذلك هو أن الفضاء يلتف حول نفسه بحيث يكون جانبا المستوى الفائق متصلين ببعضهما.

التطبيقات

في الهندسة المحدبة ، يتم فصل مجموعتين محدبتين منفصلتين في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n بواسطة مستوى فائق، وهي نتيجة تسمى نظرية فصل المستوى الفائق .

في مجال التعلم الآلي ، تعتبر المستويات الفائقة أداة رئيسية لإنشاء آلات المتجهات الداعمة لمهام مثل رؤية الكمبيوتر ومعالجة اللغة الطبيعية .

في الانحدار الخطي المتعدد مع أكثر من متغيرين مستقلين، تكون نقطة البيانات وقيمتها المتوقعة عبر نموذج خطي عبارة عن مستوى فائق.

في علم الفلك ، يمكن استخدام المستويات الفائقة لحساب أقصر مسافة بين الأنظمة النجمية والمجرات والأجرام السماوية مع مراعاة النسبية العامة وانحناء الزمكان كمسارات جيوديسية محسنة أو مسارات متأثرة بالمجالات الجاذبية.

الزوايا ثنائية السطوح

الزاوية ثنائية السطوح بين مستويين فائقين غير متوازيين في فضاء إقليدي هي الزاوية بين متجهيهما العموديين . ويُعدّ حاصل ضرب التحويلات في هذين المستويين الفائقين دورانًا محوره الفضاء الجزئي ذو البعد المشترك  2 الناتج عن تقاطع المستويين الفائقين، وزاويته ضعف الزاوية بين المستويين الفائقين.

مستويات الدعم الفائقة

يُطلق على المستوى الفائق H اسم "مستوى دعم" للمجسم متعدد السطوح P إذا كان P موجودًا في أحد نصفي الفضاء المغلقين المحصورين بين H وح∩P≠∅{\displaystyle H\cap P\neq \varnothing }[ 3 ] يُعرَّف تقاطع P و H بأنه "وجه" من أوجه المجسم متعدد السطوح. ويتم تحليل نظرية المجسمات متعددة السطوح وأبعاد الأوجه من خلال دراسة هذه التقاطعات التي تتضمن مستويات فائقة .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ "مقتطف من كتاب التحليل المحدب، بقلم آر تي روكافيلر" (ملف PDF) . u.arizona.edu .
  2. ↑ بيوتلسباشر، ألبريشت؛ روزنباوم، أوتي (1998)، الهندسة الإسقاطية: من الأسس إلى التطبيقات ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 10، ISBN  9780521483643
  3. ↑ متعددات الوجوه، والحلقات، ونظرية K من تأليف برونز-غوبيلادزه