مخطط كوكسيتر-دينكين

في الهندسة ، مخطط كوكسيتر-دينكين (أو مخطط كوكسيتر ، رسم كوكسيتر البياني ) هو رسم بياني ذو حواف مرقمة رقميًا (تسمى الفروع ) تمثل مجموعة كوكسيتر أو في بعض الأحيان متعدد الوجوه المنتظم أو التبليط المنتظم المبني من المجموعة.

تُعدّ مخططات دينكين فئة من الكائنات وثيقة الصلة ، وهي تختلف عن مخططات كوكسيتر في جانبين: أولاً، الفروع التي تحمل الرقم " 4 " أو أكبر تكون موجهة ، بينما مخططات كوكسيتر غير موجهة ؛ ثانياً، يجب أن تستوفي مخططات دينكين قيداً إضافياً ( بلورياً )، وهو أن أرقام الفروع المسموح بها هي 2 و3 و4 و 6 فقط. تتوافق مخططات دينكين مع أنظمة الجذور وتُستخدم لتصنيفها، وبالتالي لتصنيف جبر لي شبه البسيط . ^{[ 1 ]}

مجموعة كوكسيتر هي مجموعة تقبل تقديم عرض تقديمي: $${\displaystyle \langle r_{0},r_{1},\dots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{i,j}}=1\rangle }$$ حيث أن m _{و i و j} أعداد صحيحة تمثل عناصر مصفوفة متناظرة M تحتوي على 1 على قطرها الرئيسي . (وبالتالي كل مولد${\displaystyle r_{i}}$لها رتبة 2.) ^{[ أ ]} هذه المصفوفة M ، مصفوفة كوكسيتر ، تحدد مجموعة كوكسيتر بشكل كامل.

بما أن مصفوفة كوكسيتر متناظرة، فيمكن اعتبارها مصفوفة تجاور لرسم بياني مُعَلَّم الحواف _، حيث تمثل الرؤوس المولدات rᵢ _، والحواف بين الرؤوس المولدة rᵢ و rⱼ مُعَلَّمة بـ mᵢ _{,j .} ولتبسيط هذه المخططات، يمكن إجراء تغييرين:

• يمكن حذف الحواف التي تحمل الرقم 2 ، مع الإشارة إلى أن الحواف المفقودة هي 2. يشير الرقم 2 إلى أن المولدين المتناظرين يتبادلان؛ 2 هو أصغر رقم يمكن استخدامه لتسمية حافة.
• يمكن ترك الحواف التي تحمل الرقم 3 بدون تسمية، مما يعني أن الحافة غير المسماة تعمل كرقم 3 .

الرسم البياني الناتج هو مخطط كوكسيتر-دينكين الذي يصف مجموعة كوكسيتر المعتبرة.

لكل مخطط كوكسيتر مصفوفة شلافلي مقابلة (سميت نسبةً إلى لودفيج شلافلي )، A ، عناصرها a _{_i,j} = a_{_j,i} = −2 cos( π / pi _,j ) ، حيث p_{_i,j} هو ترتيب التفرع بين المرآتين i و j ؛ أي أن π / pi _,j هي الزاوية ثنائية السطوح بين المرآتين i و j. وباعتبارها مصفوفة جيب تمام ، تُسمى A أيضًا مصفوفة غرامية . جميع مصفوفات شلافلي لمجموعة كوكسيتر متناظرة لأن متجهات جذورها مُعَيَّرة. ترتبط A ارتباطًا وثيقًا بمصفوفة كارتان ، المستخدمة في الرسم البياني الموجه المشابه: مخطط دينكين ، في الحالات المحدودة p = 2، 3، 4، و 6، والتي لا تكون متناظرة عمومًا.

يُطلق على مُحدِّد مصفوفة شلافلي اسم شلافليان ؛ ويُحدِّد شلافليان وإشارته ما إذا كانت المجموعة منتهية (موجبة)، أو أفينية (صفر)، أو غير منتهية (سالبة). ^{[ 2 ]} تُسمى هذه القاعدة معيار شلافلي . ^{[ 3 ]}

تُحدد القيم الذاتية لمصفوفة شلافلي ما إذا كانت زمرة كوكسيتر من النوع المحدود (جميعها موجبة)، أو من النوع الأفيني (جميعها غير سالبة، وواحدة منها على الأقل تساوي صفرًا)، أو من النوع غير المحدد (فيما عدا ذلك). يُقسم النوع غير المحدد أحيانًا إلى فئات فرعية، مثل الزمر الزائدية وزمر كوكسيتر الأخرى. مع ذلك، توجد تعريفات متعددة غير متكافئة لزمر كوكسيتر الزائدية. نستخدم التعريفات التالية:

• تكون مجموعة كوكسيتر ذات المخطط المتصل زائدية إذا لم تكن من النوع المنتهي أو الأفيني، ولكن كل مخطط فرعي متصل مناسب يكون من النوع المنتهي أو الأفيني.
• تكون مجموعة كوكسيتر الزائدية مضغوطة إذا كانت جميع مجموعاتها الفرعية منتهية (أي لها محددات موجبة)، وتكون شبه مضغوطة إذا كانت جميع مجموعاتها الفرعية منتهية أو أفينية (أي لها محددات غير سالبة).

تُسمى المجموعات المنتهية والمجموعات الأفينية أيضًا بالمجموعات الإهليلجية والقطع المكافئ على التوالي. وتُسمى المجموعات الزائدية أيضًا بمجموعات لانير، نسبةً إلى ف. لانير الذي أحصى المجموعات الزائدية المدمجة في عام 1950، ^{[ 4 ]} وكوزول (أو شبه لانير) للمجموعات شبه المدمجة.

مجموعات كوكسيتر المصنفة الثانية

يُحدد نوع زمرة كوكسيتر من الرتبة 2 ، أي تلك المولدة بواسطة مرآتين مختلفتين، بشكل كامل بواسطة محدد مصفوفة شلافلي، حيث أن هذا المحدد هو ببساطة حاصل ضرب القيم الذاتية: نوع محدود (محدد موجب)، أو نوع أفيني (محدد صفري)، أو نوع زائدي (محدد سالب). يستخدم كوكسيتر ترميزًا مكافئًا للأقواس يسرد متواليات رتب الفروع كبديل للمخططات البيانية للعقد والفروع. توجد أيضًا حلول نسبية [ p / q ]، حيث القاسم المشترك الأكبر ( p , q ) = 1؛ تُحدد هذه الحلول مجالات أساسية متداخلة. على سبيل المثال، 3/2، 4/3، 5/2، 5/3، 5/4، و 6/5.

يكتب	محدود					أفين	القطع الزائد
الهندسة					...
مخطط كوكسيتر ( تدوين الأقواس)	[ ]	[2]	[3]	[4]	[ ص ]	[ ∞ ]	[ ∞ ]	[i π / λ ]
طلب	2	4	6	8	2 بنس	∞
تُلوّن الخطوط المتناظرة لتتوافق مع عُقد مخطط كوكسيتر. وتُلوّن المجالات الأساسية بالتناوب.

مخططات مجموعة كوكسيتر من الرتبة الثانية
اطلب ص	مجموعة	مخطط كوكسيتر		مصفوفة شلافلي
				${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]}$	المحدد${\displaystyle (4-a_{21}a_{12})}$
محدود (المحدد > 0)
2	I 2 (2) = A 1 × A 1		[2]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$	4
3	I 2 (3) = A 2		[3]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]}$	3
3/2			[3/2]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}}\right]}$
4	I 2 (4) = B 2		[4]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	2
4/3			[4/3]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$
5	I 2 (5) = H 2		[5]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-\phi \\-\phi &2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle (5-{\sqrt {5}})/2}$≈ 1.38196601125
5/4			[5/4]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&\phi \\\phi &2\end{smallmatrix}}\right]}$
5/2			[5/2]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&1-\phi \\1-\phi &2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle (5+{\sqrt {5}})/2}$≈ 3.61803398875
5/3			[5/3]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&\phi -1\\\phi -1&2\end{smallmatrix}}\right]}$
6	I 2 (6) = G 2		[6]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	1
6/5			[6/5]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$
8	أنا 2 (8)		[8]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\\-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {2}}}$≈ 0.58578643763
10	أنا 2 (10)		[10]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}\\-{\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle (3-{\sqrt {5}})/2}$≈ 0.38196601125
12	أنا 2 (12)		[12]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\\-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$≈ 0.26794919243
ص	أنا 2 ( ص )		[ ص ]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi /p)\\-2\cos(\pi /p)&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle 4\sin ^{2}(\pi /p)}$
دالة خطية (المحدد = 0)
∞	I 2 (∞) =${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$=${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}}$		[ ∞ ]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]}$	0
زائدية (المحدد ≤ 0)
∞			[ ∞ ]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]}$	0
∞			[i π / λ ]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\cosh(2\lambda )\\-2\cosh(2\lambda )&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle -4\sinh ^{2}(2\lambda )\leq 0}$

التصورات الهندسية

يمكن اعتبار مخطط كوكسيتر-دينكين وصفًا بيانيًا للمجال الأساسي للمرايا. تمثل المرآة مستوىً فائقًا ضمن فضاء كروي أو إقليدي أو زائدي ذي بُعد مُحدد. (في الفضاءات ثنائية الأبعاد، تكون المرآة خطًا؛ وفي الفضاءات ثلاثية الأبعاد، تكون المرآة مستوىً).

تُظهر هذه الرسوم البيانية المجالات الأساسية للمجموعات الإقليدية ثنائية وثلاثية الأبعاد، وللمجموعات الكروية ثنائية الأبعاد. ويمكن استنتاج مخطط كوكسيتر لكل منها بتحديد مرايا المستويات الفائقة وتسمية اتصالها، مع تجاهل الزوايا ثنائية السطوح القائمة (الرتبة 2؛ انظر الحاشية [أ] أدناه).

مجموعات كوكسيتر في المستوى الإقليدي مع مخططات مكافئة. Here, domain vertices are labeled as graph branches 1, 2, etc., and are colored by their reflection order (connectivity). Reflections are labeled as graph nodes R1, R2, etc. Reflections at 90 degrees are inactive in the sense that, together, they generate no new reflections;[b] they are therefore not connected to each other by a branch on the diagram. Parallel mirrors are connected to each other by an ∞ labeled branch. The square of the prismatic group ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$×${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ is shown as a doubling of the ${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$ triangle around its R2 side*, but can also be created as a rectangular domain from doubling the ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ triangle around its R2 side*. The ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$ triangle is a doubling of the ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ triangle around its R3 side*.*(this side disappears by doubling around itself)
Many Coxeter groups in the hyperbolic plane can be extended from the Euclidean cases as a series of hyperbolic solutions.
Coxeter groups in 3-space with diagrams. Mirrors (triangle faces) are labeled by opposite vertex: 0, ..., 3. Branches are colored by their reflection order.${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$ fills 1/48 of the cube. ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$ fills 1/24 of the cube. ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$ fills 1/12 of the cube.	Coxeter groups in the sphere with equivalent diagrams. One fundamental domain is outlined in yellow. Domain vertices (and graph branches) are colored by their reflection order.

In constructing uniform polytopes, nodes are marked as active by a ring if a generator point is off the mirror, creating a new edge between a generator point and its mirror image. An unringed node represents an inactive mirror that generates no new points. A ring with no node is called a hole.

Two orthogonal mirrors can be used to generate a square, , seen here with a red generator point and 3 virtual copies across the mirrors. The generator has to be off both mirrors in this orthogonal case to generate an interior. The ring markup presumes active rings have generators equal distance from all mirrors, while a rectangle can also represent a nonuniform solution.

Coxeter–Dynkin diagrams can explicitly enumerate nearly all classes of uniform polytope and uniform tessellations. Every uniform polytope with pure reflective symmetry (all but a few special cases have pure reflectional symmetry) can be represented by a Coxeter–Dynkin diagram with permutations of markups. Each uniform polytope can be generated using such mirrors and a single generator point: mirror images create new points as reflections, then polytope edges can be defined between points and a mirror image point. Faces are generated by the repeated reflection of an edge eventually wrapping around to the original generator; the final shape, as well as any higher-dimensional facets, are likewise created by the face being reflected to enclose an area.

To specify the generating vertex, one or more nodes are marked with rings, meaning that the vertex is not on the mirror(s) represented by the ringed node(s). (If two or more mirrors are marked, the vertex is equidistant from them.) A mirror is active (creates reflections) only with respect to points not on it. A diagram needs at least one active node to represent a polytope. An unconnected diagram (subgroups separated by order-2 branches, or orthogonal mirrors) requires at least one active node in each subgraph.

All regular polytopes, represented by Schläfli symbol{p, q, r, ...}, can have their fundamental domains represented by a set of n mirrors with a related Coxeter–Dynkin diagram of a line of nodes and branches labeled by p, q, r, ..., with the first node ringed.

Uniform polytopes with one ring correspond to generator points at the corners of the fundamental domain simplex. Two rings correspond to the edges of simplex and have a degree of freedom, with only the midpoint as the uniform solution for equal edge lengths. In general k-ring generator points are on (k-1)-faces of the simplex, and if all the nodes are ringed, the generator point is in the interior of the simplex.

The special case of uniform polytopes with non-reflectional symmetry is represented by a secondary markup where the central dot of a ringed node is removed (called a hole). These shapes are alternations of polytopes with reflective symmetry, implying that every other vertex is deleted. The resulting polytope will have a subsymmetry of the original Coxeter group. A truncated alternation is called a snub.

• تمثل كل عقدة مرآة واحدة. وتسمى هذه المجموعة A1 _. إذا تم وضع حلقة حولها، فإنها تُنشئ قطعة مستقيمة عمودية على المرآة، ويتم تمثيلها بالرمز {}.
• تمثل عقدتان غير متصلتين مرآتين متعامدتين . إذا كانت كلتا العقدتين محاطتين بحلقة، فيمكن إنشاء مستطيل ، أو مربع إذا كانت النقطة على مسافة متساوية من كلتا المرآتين.
• يمكن لعقدتين متصلتين بفرع من الرتبة n أن تُشكلا مضلعًا ذا n ضلعًا إذا كانت النقطة على مرآة واحدة، ومضلعًا ذا 2n ضلعًا إذا كانت النقطة خارج المرآتين. وهذا يُشكل المجموعة I ₁ (n) .
• يمكن لمرآتين متوازيتين أن تمثلا مجموعة مضلعات لانهائية I ₁ (∞) ، وتسمى أيضًا Ĩ ₁ .
• تُشكّل ثلاث مرايا مُرتبة على شكل مثلث صورًا تُرى في المنظار الكاليديوسكوبي التقليدي ، ويمكن تمثيلها بثلاث نقاط متصلة على شكل مثلث. ستحتوي الأمثلة المتكررة على فروع مُسماة (3 3 3)، (2 4 4)، (2 3 6)، مع العلم أنه يُمكن رسم الفرعين الأخيرين كخط واحد (مع تجاهل الفرعين 2 ). سينتج عن ذلك تبليطات منتظمة .
• يمكن لثلاث مرايا أن تولد متعددات وجوه منتظمة ؛ وإضافة الأعداد النسبية تعطي مجموعة مثلثات شوارتز .
• يمكن لثلاث مرايا، إحداها عمودية على المرآتين الأخريين، أن تشكل موشورات منتظمة .

توجد سبعة هياكل عاكسة منتظمة ضمن مثلث عام، بناءً على سبعة مواضع مولدات طوبولوجية ضمن المجال الأساسي. كل مرآة فعالة تولد حافة، حيث يكون لمرآتين فعالتين مولدات على جوانب المجال، بينما يكون لمولدات ثلاث مرايا فعالة في الداخل. يمكن حل درجة حرية واحدة أو درجتين لإيجاد موضع فريد لأطوال حواف متساوية للمجسم متعدد السطوح أو التبليط الناتج.

مثال على 7 مولدات على تناظر ثماني الأوجه ، مثلث المجال الأساسي (4 3 2)، مع توليد الحذف الثامن كبديل

تُعلَّم المضلعات الثنائية للمضلعات المنتظمة أحيانًا بخط عمودي مائل بدلًا من العقد الحلقية، وخط مائل مثقوب بدلًا من العقد المثقوبة في المضلعات المتقطعة. على سبيل المثال، يُمثل مستطيلًا (كمرآتين متعامدتين فعالتين)، ويُمثل مضلعه الثنائي ، وهو المعين .

أمثلة على المجسمات متعددة الأوجه والتبليطات

على سبيل المثال، تحتوي مجموعة كوكسيتر _B3 على مخطط: . وهذا ما يسمى أيضًا بالتناظر الثماني السطوح .

يمكن إنشاء سبعة مجسمات متعددة السطوح محدبة منتظمة من مجموعة التناظر هذه، وثلاثة من تناظراتها الفرعية المتناوبة ، ولكل منها مخطط كوكسيتر-دينكين مميز. يمثل رمز ويثوف حالة خاصة من مخطط كوكسيتر للرسوم البيانية من الرتبة 3، حيث تُسمى جميع رتب الفروع الثلاث، بدلاً من حذف فروع الرتبة 2. يستطيع رمز ويثوف التعامل مع الشكل المقطوع ، ولكنه لا يستطيع التعامل مع التناوبات العامة التي لا تحتوي على حلقات حول جميع العقد.

متعددات السطوح ثمانية الأوجه المنتظمة v ت هـ
التناظر : [4،3]، (*432)							[4,3] + (432)	[1 + ,4,3] = [3,3] (*332)		[3 + ,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3 1,1 }	t{3,4} t{3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr{4,3} s 2 {3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h 2 {4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3 1,1 }
		=	=	=				أو​	أو​	=
ثنائيات متعددة السطوح منتظمة
V4 3	الإصدار 3.8 2	V(3.4) 2	الإصدار 4.6 2	الإصدار 3 4	الإصدار 3.4	الإصدار 4.6.8	الإصدار 3 4 .4	الإصدار 3	الإصدار 3.6 2	الإصدار 3 5

يمكن إنشاء نفس التركيبات على مجموعات كوكسيتر المنفصلة (المتعامدة) مثل الموشورات المنتظمة ، ويمكن رؤيتها بشكل أوضح على أنها تبليطات من ثنائيات السطوح ومجسمات السطوح على الكرة، مثل هذه العائلة [6]×[] أو [6,2]:

متعددات السطوح الكروية ثنائية السطوح سداسية منتظمة
التناظر : [6,2] ، (*622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2*3)
{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{6,2}	tr{6,2}	sr{6,2}	s{2,6}
الزي المزدوج إلى الزي الرسمي
V6 2	V12 2	V6 2	الإصدار 4.4.6	الإصدار 2 6	الإصدار 4.4.6	الإصدار 4.4.12	الإصدار 3.3.3.6	الإصدار 3.3.3.3

بالمقارنة، تُنتج عائلة [6,3] مجموعة متوازية من 7 تبليطات منتظمة للمستوى الإقليدي، وتبليطاتها الثنائية. وهناك أيضًا 3 تناوبات وبعض النسخ ذات التناظر النصفي.

تبليط سداسي/مثلث منتظم v ت هـ
التناظر : [6،3]، (*632)							[6,3] + (632)	[6,3 + ] (3*3)
{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}	s{3,6}
6 3	3.12 2	(3.6) 2	6.6.6	3 6	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6	3.3.3.3.3.3
ثنائيات موحدة
V6 3	الإصدار 3.12 2	V(3.6) 2	V6 3	الإصدار 3 6	الإصدار 3.4.6.4	الإصدار 4.6.12	الإصدار 3 4 .6	الإصدار 3 6

في المستوى الزائدي [7,3]، تُنتج هذه العائلة مجموعة متوازية من التبليطات المنتظمة، وتبليطاتها الثنائية. يوجد تناوب واحد فقط ( تفرع غير منتظم ) لأن جميع رتب التفرعات فردية. يمكن رؤية العديد من العائلات الزائدية الأخرى للتبليطات المنتظمة في المستوى الزائدي .

تبليطات منتظمة سباعية/مثلثة v ت هـ
التناظر: [7,3]، (*732)							[7,3] + , (732)
{7,3}	t{7,3}	r{7,3}	t{3,7}	{3,7}	rr{7,3}	tr{7,3}	sr{7,3}
ثنائيات موحدة
V7 3	الإصدار 3.14.14	الإصدار 3.7.3.7	الإصدار 6.6.7	الإصدار 3 7	الإصدار 3.4.7.4	الإصدار 4.6.14	الإصدار 3.3.3.3.7

يتضمن أحد الاستخدامات تعريفًا موسعًا جدًا من استخدام مخطط دينكين المباشر، حيث تُعتبر المجموعات الأفينية مجموعات ممتدة ، والمجموعات الزائدية مجموعات ممتدة بشكل مفرط ، وعقدة ثالثة مجموعات بسيطة ممتدة جدًا . عادةً ما تُشار إلى هذه الامتدادات بأس 1 أو 2 أو 3، بالإضافة إلى رموز لعدد العقد الممتدة. يمكن تمديد هذه السلسلة الممتدة عكسيًا، عن طريق إزالة العقد بالتتابع من نفس الموضع في الرسم البياني، على الرغم من أن العملية تتوقف بعد إزالة العقدة المتفرعة. تُعد عائلة E8 _{الممتدة} المثال الأكثر شيوعًا، حيث تمتد عكسيًا من E3 _{وأماميًا} إلى _E11 .

يمكن لعملية التمديد أن تُعرّف سلسلة محدودة من رسوم كوكسيتر البيانية التي تتدرج من المحدودة إلى الأفينية إلى الزائدية إلى اللورنتزية. يحدد مُحدِّد مصفوفات كارتان مواضع تغير السلسلة من المحدودة (موجبة) إلى الأفينية (صفر) إلى الزائدية (سالبة)، وتنتهي كمجموعة لورنتزية تحتوي على مجموعة فرعية زائدية واحدة على الأقل. ^{[ 5 ]} _{تُشكّل مجموعات Hₙ} غير البلورية سلسلة ممتدة حيث يتم تمديد H₄ _كزمرة زائدية مضغوطة، ثم يتم تمديدها بشكل مفرط إلى مجموعة لورنتزية.

محددات مصفوفة شلافلي حسب الرتبة هي: ^{[ 6 ]}

• det( A ₁ ⁿ = [2 ^{n −1} ]) = 2 ⁿ (محدود لجميع قيم n .)
• det( A _n = [3 ^{n −1} ]) = n + 1 (محدود لجميع قيم n .)
• det( B _n = [4,3 ^{n −2} ]) = 2 (محدود لجميع n .)
• det( D _n = [3 ^{n −3,1,1} ]) = 4 (محدود لجميع n .)

محددات مصفوفة شلافلي في السلاسل الاستثنائية هي:

• det( E _n = [3 ^{n −3,2,1} ]) = 9 − n (محدود لـ E ₃ = A ₂ A ₁ ، E ₄ = A ₄ ​​، E ₅ = D ₅ ، E ₆ ، E ₇ و E ₈ ، خطي عند E ₉ (${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$), زائدية عند E ₁₀ .)
• det([3 ^{n −4,3,1} ]) = 2(8 − n ) (محدود لـ n = 4 إلى 7 ، خطي (${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$)، وهائلة عند n = 8. )
• det([3 ^{n −4,2,2} ]) = 3(7 − n ) (محدود لـ n = 4 إلى 6 ، خطي (${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$)، وهائلة عند n = 7. )
• det( F _n = [3,4,3 ^{n −3} ]) = 5 − n (محدود لـ F ₃ = B ₃ إلى F ₄ ، خطي عند F ₅ (${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$), زائدية عند F ₆ .)
• det( G _n = [6,3 ^{n −2} ]) = 3 − n (محدود لـ G ₂ ، خطي عند G ₃ (${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$), زائدية عند G ₄ .)

مسلسلات موسعة أصغر

محدود	${\displaystyle A_{2}}$	${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle G_{2}}$	${\displaystyle A_{3}}$	${\displaystyle B_{3}}$	${\displaystyle C_{3}}$	${\displaystyle H_{4}}$
الرتبة ن	[3 [3] ,3 n − 3 ]	[4,4,3 n − 3 ]	G n =[6,3 n − 2 ]	[3 [4] ,3 n − 4 ]	[4,3 1, n − 3 ]	[4,3,4,3 n − 4 ]	H n =[5,3 n − 2 ]
2	[3] أ 2	[4] ج 2	[6] G 2		[2] أ 1 2	[4] ج 2	[5] H 2
3	[3 [3] ]${\displaystyle A_{2}^{+}={\tilde {A}}_{2}}$	[4,4]${\displaystyle C_{2}^{+}={\tilde {C}}_{2}}$	[6,3]${\displaystyle G_{2}^{+}={\tilde {G}}_{2}}$	[3,3]=A 3	[4,3] ب 3	[4,3] ج 3	[5,3] H 3
4	[3 [3] ,3]${\displaystyle A_{2}^{++}={\overline {P}}_{3}}$	[4,4,3]${\displaystyle C_{2}^{++}={\overline {R}}_{3}}$	[6,3,3]${\displaystyle G_{2}^{++}={\overline {V}}_{3}}$	[3 [4] ]${\displaystyle A_{3}^{+}={\tilde {A}}_{3}}$	[4,3 1,1 ]${\displaystyle B_{3}^{+}={\tilde {B}}_{3}}$	[4,3,4]${\displaystyle C_{3}^{+}={\tilde {C}}_{3}}$	[5,3,3] H 4
5	[3 [3] ,3,3] A 2 +++	[4,4,3,3] C 2 +++	[6,3,3,3] G 2 +++	[3 [4] ,3]${\displaystyle A_{3}^{++}={\overline {P}}_{4}}$	[4,3 2,1 ]${\displaystyle B_{3}^{++}={\overline {S}}_{4}}$	[4,3,4,3]${\displaystyle C_{3}^{++}={\overline {R}}_{4}}$	[5,3 3 ] H 5 =${\displaystyle {\overline {H}}_{4}}$
6				[3 [4] ,3,3] A 3 +++	[4,3 3,1 ] B 3 +++	[4,3,4,3,3] C 3 +++	[5,3 4 ] H 6
Det( M n )	3(3 − n )	2(3 − n )	3 − ن	4(4 − n )	2(4 − n )

مسلسل متوسط ​​ممتد

محدود	${\displaystyle A_{4}}$	${\displaystyle B_{4}}$	${\displaystyle C_{4}}$	${\displaystyle D_{4}}$	${\displaystyle F_{4}}$	${\displaystyle A_{5}}$	${\displaystyle B_{5}}$	${\displaystyle D_{5}}$
الرتبة ن	[3 [5] ,3 n − 5 ]	[4,3,3 n − 4,1 ]	[4,3,3,4,3 n − 5 ]	[3 n − 4,1,1,1 ]	[3,4,3 n − 3 ]	[3 [6] ,3 n − 6 ]	[4,3,3,3 n − 5,1 ]	[3 1,1 ,3,3 n − 5,1 ]
3		[4,3 −1,1 ] B 2 A 1	[4,3] ب 3	[3 −1,1,1,1 ] A 1 3	[3,4] ب 3		[4,3,3] C 3
4	[3 3 ] أ 4	[4,3,3] ب 4	[4,3,3] ج 4	[3 0,1,1,1 ] D 4	[3,4,3] F 4		[4,3,3,3 −1,1 ] B 3 A 1	[3 1,1 ,3,3 −1,1 ] A 3 A 1
5	[3 [5] ]${\displaystyle A_{4}^{+}={\tilde {A}}_{4}}$	[4,3,3 1,1 ]${\displaystyle B_{4}^{+}={\tilde {B}}_{4}}$	[4,3,3,4]${\displaystyle C_{4}^{+}={\tilde {C}}_{4}}$	[3 1,1,1,1 ]${\displaystyle D_{4}^{+}={\tilde {D}}_{4}}$	[3,4,3,3]${\displaystyle F_{4}^{+}={\tilde {F}}_{4}}$	[3 4 ] أ 5	[4,3,3,3,3] ب 5	[3 1,1 ,3,3] D 5
6	[3 [5] ,3]${\displaystyle A_{4}^{++}={\overline {P}}_{5}}$	[4,3,3 2,1 ]${\displaystyle B_{4}^{++}={\overline {S}}_{5}}$	[4,3,3,4,3]${\displaystyle C_{4}^{++}={\overline {R}}_{5}}$	[3 2,1,1,1 ]${\displaystyle D_{4}^{++}={\overline {Q}}_{5}}$	[3,4,3 3 ]${\displaystyle F_{4}^{++}={\overline {U}}_{5}}$	[3 [6] ]${\displaystyle A_{5}^{+}={\tilde {A}}_{5}}$	[4,3,3,3 1,1 ]${\displaystyle B_{5}^{+}={\tilde {B}}_{5}}$	[3 1,1 ,3,3 1,1 ]${\displaystyle D_{5}^{+}={\tilde {D}}_{5}}$
7	[3 [5] ,3,3] A 4 +++	[4,3,3 3,1 ] B 4 +++	[4,3,3,4,3,3] C 4 +++	[3 3,1,1,1 ] D 4 +++	[3,4,3 4 ] F 4 +++	[3 [6] ,3]${\displaystyle A_{5}^{++}={\overline {P}}_{6}}$	[4,3,3,3 2,1 ]${\displaystyle B_{5}^{++}={\overline {S}}_{6}}$	[3 1,1 ,3,3 2,1 ]${\displaystyle D_{5}^{++}={\overline {Q}}_{6}}$
8						[3 [6] ,3,3] A 5 +++	[4,3,3,3 3,1 ] B 5 +++	[3 1,1 ,3,3 3,1 ] D 5 +++
Det( M n )	5(5 − n )	2(5 − n )		4(5 − n )	5 − ن	6(6 − n )	4(6 − n )

بعض السلاسل الممتدة الأعلى

محدود	${\displaystyle A_{6}}$	${\displaystyle B_{6}}$	${\displaystyle D_{6}}$	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle A_{7}}$	${\displaystyle B_{7}}$	${\displaystyle D_{7}}$	${\displaystyle E_{7}}$	${\displaystyle E_{8}}$
الرتبة ن	[3 [7] ,3 n − 7 ]	[4,3 3 ,3 n − 6,1 ]	[3 1,1 ,3,3,3 n − 6,1 ]	[3 n − 5,2,2 ]	[3 [8] ,3 n − 8 ]	[4,3 4 ,3 n − 7,1 ]	[3 1,1 ,3,3,3,3 n − 7,1 ]	[3 n − 5,3,1 ]	E n =[3 n − 4,2,1 ]
3									[3 −1,2,1 ] E 3 =A 2 A 1
4				[3 −1,2,2 ] A 2 2				[3 −1,3,1 ] A 3 A 1	[3 0,2,1 ] E 4 =A 4
5		[4,3,3,3,3 −1,1 ] B 4 A 1	[3 1,1 ,3,3,3 −1,1 ] D 4 A 1	[3 0,2,2 ] A 5				[3 0,3,1 ] A 5	[3 1,2,1 ] E 5 =D 5
6	[3 5 ] أ 6	[4,34]B6	[31,1,3,3,3]D6	[31,2,2]E6		[4,3,3,3,3,3−1,1]B5A1	[31,1,3,3,3,3−1,1]D5A1	[31,3,1]D6	[32,2,1]E6*
7	[3[7]]${\displaystyle A_{6}^{+}={\tilde {A}}_{6}}$	[4,33,31,1]${\displaystyle B_{6}^{+}={\tilde {B}}_{6}}$	[31,1,3,3,31,1]${\displaystyle D_{6}^{+}={\tilde {D}}_{6}}$	[32,2,2]${\displaystyle E_{6}^{+}={\tilde {E}}_{6}}$	[36]A7	[4,35]B7	[31,1,3,3,3,30,1]D7	[32,3,1]E7*	[33,2,1]E7*
8	[3[7],3]${\displaystyle A_{6}^{++}={\overline {P}}_{7}}$	[4,33,32,1]${\displaystyle B_{6}^{++}={\overline {S}}_{7}}$	[31,1,3,3,32,1]${\displaystyle D_{6}^{++}={\overline {Q}}_{7}}$	[33,2,2]${\displaystyle E_{6}^{++}={\overline {T}}_{7}}$	[3[8]]${\displaystyle A_{7}^{+}={\tilde {A}}_{7}}$*	[4,34,31,1]${\displaystyle B_{7}^{+}={\tilde {B}}_{7}}$*	[31,1,3,3,3,31,1]${\displaystyle D_{7}^{+}={\tilde {D}}_{7}}$*	[33,3,1]${\displaystyle E_{7}^{+}={\tilde {E}}_{7}}$*	[34,2,1]E8*
9	[3[7],3,3]A6+++	[4,33,33,1]B6+++	[31,1,3,3,33,1]D6+++	[34,2,2]E6+++	[3[8],3]${\displaystyle A_{7}^{++}={\overline {P}}_{8}}$*	[4,34,32,1]${\displaystyle B_{7}^{++}={\overline {S}}_{8}}$*	[31,1,3,3,3,32,1]${\displaystyle D_{7}^{++}={\overline {Q}}_{8}}$*	[34,3,1]${\displaystyle E_{7}^{++}={\overline {T}}_{8}}$*	[35,2,1]E9= ${\displaystyle E_{8}^{+}={\tilde {E}}_{8}}$*
10					[3[8],3,3]A7+++*	[4,34,33,1]B7+++*	[31,1,3,3,3,33,1]D7+++*	[35,3,1]E7+++*	[36,2,1]E10=${\displaystyle E_{8}^{++}={\overline {T}}_{9}}$*
11									[37,2,1]E11=E8+++*
Det( M n )	7(7 − n )	2(7 − n )	4(7 − n )	3(7 − n )	8(8 − n )	2(8 − n )	4(8 − n )	2(8 − n )	9 − ن