5 21 قرص العسل

5 21 قرص العسل
يكتب	قرص العسل الموحد
عائلة	متعدد الأوجه k 21
رمز شلافلي	{3,3,3,3,3,3 2,1 }
رمز كوكسيتر	5 21
مخطط كوكسيتر-دينكين
ثمانية وجوه	5 11 {3 7 }
سبعة وجوه	{3 6 } لاحظ أن هناك مدارين متميزين لهذا الشكل السباعي البسيط تحت الشكل الكامل لقرص العسل${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$مجموعة التشاكل الذاتي .
ستة أوجه	{3 5 }
خمسة وجوه	{3 4 }
أربعة أوجه	{3 3 }
الخلايا	{3 2 }
وجوه	{3}
شكل الخلية	1 21
شكل الوجه	2 21
شكل الحافة	3 21
شكل الرأس	4 21
مجموعة التناظر	${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$, [3 5,2,1 ]

في الهندسة ، يمثل شكل قرص العسل 5 ₂₁ تبليطًا منتظمًا للفضاء الإقليدي ذي الأبعاد الثمانية. الرمز 5 ₂₁ مأخوذ من كوكسيتر ، وسُمي بهذا الاسم نسبةً إلى طول الفروع الثلاثة لمخطط كوكسيتر-دينكين الخاص به. ^{[ 1 ]}

بوضع الكرات عند رؤوسها، نحصل على أكثر التراص كثافةً للكرات في ثمانية أبعاد. وقد أثبتت مارينا فيازوفسكا ذلك عام ٢٠١٦ باستخدام نظرية الأشكال النمطية . وحصلت فيازوفسكا على ميدالية فيلدز عن هذا العمل عام ٢٠٢٢.

تمت دراسة هذا الشكل الشبيه بقرص العسل لأول مرة بواسطة جوسيت الذي أطلق عليه اسم الشكل شبه المنتظم 9-ic ^{[ 2 ]} (اعتبر جوسيت أقراص العسل في n أبعاد على أنها متعددات الوجوه المنحلة n +1).

كل رأس من رؤوس قرص العسل 5 ₂₁ محاط بـ 2160 من 8-orthoplexes و 17280 من 8-simplices .

الشكل الرأسي لقرص العسل الخاص بجوسيت هو متعدد السطوح شبه المنتظم 4 _21. وهو الشكل الأخير في عائلة k ₂₁ .

يتميز هذا الهيكل الشبيه بخلية النحل بانتظام عالٍ بمعنى أن مجموعة التناظر الخاصة به (التناظر الأفيني)${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$تؤثر مجموعة ويل بشكل متعدٍ على الوجوه k لـ k ≤ 6. جميع الوجوه k لـ k ≤ 7 هي أشكال بسيطة.

يتم إنشاؤها بواسطة بناء Wythoff على مجموعة من 9 مرايا فائقة المستوى في فضاء ثماني الأبعاد.

يمكن استخراج معلومات الجوانب من مخطط كوكسيتر-دينكين الخاص بها .

إزالة العقدة الموجودة في نهاية الفرع ذي الطول 2 يترك 8-orthoplex ، 6 ₁₁ .

يؤدي حذف العقدة الموجودة في نهاية الفرع ذي الطول 1 إلى ترك 8-simplex .

يتم تحديد شكل الرؤوس بإزالة العقدة المحاطة بحلقة وإعادة تشكيل حلقة حول العقدة المجاورة. وهذا يُشكّل متعدد السطوح 4 ₂₁ .

يُحدد شكل الحافة من شكل الرأس بإزالة العقدة المحاطة بحلقة وإعادة تشكيل حلقة حول العقدة المجاورة. وهذا يُشكل متعدد السطوح 3 _{× 21} .

يُحدد شكل الوجه من شكل الحافة عن طريق إزالة العقدة المُحاطة بحلقة وإعادة تشكيل حلقة حول العقدة المجاورة. وهذا يُشكل متعدد السطوح 2 × ₂₁ .

يُحدد شكل الخلية من شكل الوجه بإزالة العقدة المحاطة بحلقة وتكوين حلقة حول العقدة المجاورة. وهذا يُشكل متعدد السطوح 1 ₂₁ .

كل رأس من رؤوس هذا التبليط هو مركز كرة 7 في التعبئة الأكثر كثافة في 8 أبعاد؛ عدد التقبيل الخاص به هو 240، ممثلًا برؤوس شكل الرأس 4 ₂₁ .

${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$يتضمن${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$كمجموعة فرعية من المؤشر 5760. ^{[ 3 ]} كلاهما${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$و${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$يمكن اعتبارها امتدادات خطية لـ${\displaystyle A_{8}}$من عقد مختلفة:

${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$يتضمن${\displaystyle {\tilde {D}}_{8}}$كمجموعة فرعية من المؤشر 270. ^{[ 4 ]} كلاهما${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$و${\displaystyle {\tilde {D}}_{8}}$يمكن اعتبارها امتدادات خطية لـ${\displaystyle D_{8}}$من عقد مختلفة:

يُطلق على ترتيب الرؤوس 5 21 _اسم شبكة E8 . ^{[ 5 ]}

يمكن أيضًا إنشاء شبكة E8 كاتحاد لرؤوس اثنين من خلايا النحل 8-demicube (تسمى شبكة D ₈ ² أو D ₈ ⁺ )، وكذلك اتحاد رؤوس ثلاثة خلايا نحل 8-simplex (تسمى شبكة A ₈ ³ ): ^{[ 6 ]}

= ∪ = ∪ ∪

باستخدام نظام إحداثيات الأعداد المركبة ، يمكن أيضًا بناؤه على النحو التالي:${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$_متعدد السطوح المنتظم المعقد ، المعطى بالرمز 3{3}3{3}3{3}3{3}3، ومخطط كوكسيتر ^. عناصره متناسبة كالتالي: رأس واحد، 80 حافة ثلاثية، ₂₇₀ وجهًا _{ثلاثيًا} ^، 80 خلية _{ثلاثية ،} ^و 1 _خلية متعددة _السطوح من نوع _ويتينغ . [ ₇ ]

الشكل 5 ₂₁ هو السابع في سلسلة متعددة الأبعاد من متعددات الوجوه شبه المنتظمة ، والتي حددها ثورولد جوسيت عام 1900. كل عنصر من عناصر هذه السلسلة له العنصر السابق كشكل رأسي . جميع أوجه هذه متعددات الوجوه هي متعددات وجوه منتظمة ، أي بسيطة ومتعامدة .

k 21 شكلاً في n أبعاد
فضاء	محدود						إقليدي	القطع الزائد
إي إن	3	4	5	6	7	8	9	10
مجموعة كوكسيتر	E 3 =A 2 A 1	E 4 =A 4	E 5 =D 5	E 6	E 7	E 8	E 9 =${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$= E 8 +	E 10 =${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$= E 8 ++
مخطط كوكسيتر
التناظر	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
طلب	12	120	1920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
الرسم البياني							-	-
اسم	-1 21​	0 21	1 21	2 21	3 21	4 21	5 21	6 21

• شبكة E8
• 1 ₅₂ قرص العسل
• 2 ₅₁ قرص العسل

• كوكسيتر، جمال الهندسة: اثنتا عشرة مقالة ، منشورات دوفر، 1999، رقم ISBN 978-0-486-40919-1(الفصل 3: بناء ويثوف للمضلعات المنتظمة)
• كوكسيتر، إتش إس إم (1973). متعددات الوجوه المنتظمة (  الطبعة الثالثة). نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 0-486-61480-8.
• كتابات مختارة من تأليف إتش إس إم كوكسيتر بعنوان "المناظير: كتابات مختارة" ، حرره إف. آرثر شيرك، وبيتر ماكمولين، وأنتوني سي. طومسون، وآسيا إيفيك فايس، منشورات وايلي-إنترساينس، 1995، wiley.com ، ISBN 978-0-471-01003-6
  • (الورقة 24) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة III ، [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• إن دبليو جونسون : الأشكال الهندسية والتحولات ، (2015)

v ت هـ خلايا نحل أساسية محدبة منتظمة ومتجانسة بأبعاد 2-9
فضاء	عائلة	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$/${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	تبليط موحد	0 [3]	δ 3	h δ 3	q δ 3	سداسي
E 3	قرص العسل المحدب المنتظم	0 [4]	δ 4	h δ 4	q δ 4
E 4	قرص عسل رباعي منتظم	0 [5]	δ 5	h δ 5	q δ 5	قرص العسل ذو 24 خلية
E 5	قرص عسل موحد من 5	0 [6]	δ 6	h δ 6	q δ 6
E 6	قرص عسل موحد بستة أشكال	0 [7]	δ 7	h δ 7	q δ 7	2 22
E 7	قرص عسل موحد مكون من 7 خلايا	0 [8]	δ 8	h δ 8	q δ 8	1 33 • 3 31
E 8	قرص عسل موحد مكون من 8 أجزاء	0 [9]	δ 9	h δ 9	q δ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	قرص عسل موحد مكون من 9 طبقات	0 [10]	δ 10	h δ 10	q δ 10
E 10	قرص عسل موحد مكون من 10 أجزاء	0 [11]	δ 11	h δ 11	q δ 11
E n −1	قرص عسل منتظم ( ن - 1)	0 [ ن ]	δ n	h δ n	q δ n	1 كيلو 2 • 2 كيلو 1 • كيلو 21