تحويل الأشعة السينية

في الرياضيات ، يُعدّ تحويل الأشعة السينية (ويُسمى أيضًا تحويل الشعاع ^{[ 1 ]} أو تحويل جون ) تحويلًا تكامليًا قدّمه فريتز جون عام 1938 ^{[ 2 ]} ، وهو أحد الركائز الأساسية للهندسة التكاملية الحديثة . يرتبط هذا التحويل ارتباطًا وثيقًا بتحويل رادون ، ويتطابق معه في بُعدين. في الأبعاد الأعلى، يُعرَّف تحويل الأشعة السينية لدالة ما بالتكامل على الخطوط بدلًا من التكامل على المستويات الفائقة كما في تحويل رادون. يستمد تحويل الأشعة السينية اسمه من التصوير المقطعي بالأشعة السينية (المستخدم في فحوصات التصوير المقطعي المحوسب )، لأن تحويل الأشعة السينية لدالة ƒ يُمثّل بيانات التوهين لمسح مقطعي عبر وسط غير متجانس تُمثّل كثافته بالدالة ƒ . ولذلك، يُعدّ عكس تحويل الأشعة السينية ذا أهمية عملية لأنه يسمح بإعادة بناء كثافة مجهولة ƒ من بيانات التوهين المعروفة لها.

بتفصيل أكثر، إذا كانت ƒ دالة متصلة ذات دعم مضغوط على الفضاء الإقليدي Rⁿ ^، فإن تحويل الأشعة السينية لـ ƒ هو الدالة X( ƒ) المعرفة على مجموعة جميع الخطوط في Rⁿ كما يلي ^:

${\displaystyle Xf(L)=\int _{L}f=\int _{\mathbf {R} }f(x_{0}+t\theta )dt}$

حيث x ₀ هي نقطة بداية على الخط و θ هو متجه وحدة في R ⁿ يحدد اتجاه الخط L. لا يُنظر إلى التكامل الأخير بالمعنى الموجه: إنه التكامل بالنسبة إلى مقياس ليبيغ أحادي البعد على الخط الإقليدي L.

إن تحويل الأشعة السينية يحقق معادلة موجية فائقة القطع تسمى معادلة جون .

يمكن كتابة دالة غاوس أو دالة فرط هندسية عادية على شكل تحويل للأشعة السينية. ( Gelfand, Gindikin & Graev 2003 , 2.1.2) .

• بيرنشتاين، كارلوس أ. (2001) [1994]، "تحويل الأشعة السينية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS.
• جيلفاند، آي إم؛ جينديكين، إس جي؛ غرايف، إم آي (2003) [2000]، مواضيع مختارة في الهندسة التكاملية ، ترجمات من دراسات رياضية، المجلد  220، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-0-8218-2932-5MR 2000133​ 
• هيلجاسون، سيجوردور (2008)، التحليل الهندسي على الفضاءات المتناظرة ، سلسلة الدراسات والبحوث الرياضية، المجلد  39 (  الطبعة الثانية)، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-4530-1MR 2463854​ 
• هيلجاسون، سيجوردور (1999)، تحويل رادون (ملف PDF) ، سلسلة التقدم في الرياضيات (  الطبعة الثانية)، بوسطن، ماساتشوستس: بيركهاوزر