تخمين ياو بشأن القيمة الذاتية الأولى

في الرياضيات ، تُعتبر فرضية ياو حول القيمة الذاتية الأولى ، اعتبارًا من عام 2018، فرضية غير محلولة اقترحها شينغ تونغ ياو في عام 1982. وهي تسأل:

هل صحيح أن القيمة الذاتية الأولى لمؤثر لابلاس-بيلترامي على سطح فائق مصغر مغلق مضمن من${\displaystyle S^{n+1}}$يكون${\displaystyle n}$؟

إذا صح ذلك، فسيعني أن مساحة الأسطح الفائقة الدنيا المضمنة في${\displaystyle S^{3}}$سيكون لها حد أعلى يعتمد فقط على الجنس . تم التحقق من صحة فرضية ياو في العديد من الحالات الخاصة، ولكنها لا تزال مفتوحة بشكل عام.

افترض شينغ-شين تشيرن أن السطح الفائق المغلق والمغمور بشكل طفيف في${\displaystyle S^{n+1}}$(1)، الذي يتميز شكله الأساسي الثاني بطول ثابت، متساوي المعاملات. لو كان هذا صحيحًا، لكان قد أثبت حدسية ياو للسطح الفائق الأدنى الذي يتميز شكله الأساسي الثاني بطول ثابت.

تعميم محتمل لتخمين ياو:

يترك${\displaystyle M^{d}}$ليكن فضاءً فرعياً مغلقاً أدنى في كرة الوحدة${\displaystyle S^{N+1}}$(1) بأبعاد${\displaystyle d}$ل${\displaystyle M^{d}}$مُرضٍ${\displaystyle d\geq 2n/3+1}$هل صحيح أن القيمة الذاتية الأولى لـ${\displaystyle M^{d}}$يكون${\displaystyle d}$؟

• ياو، إس تي (1982). ندوة في الهندسة التفاضلية . دراسات حوليات الرياضيات. المجلد  102. مطبعة جامعة برينستون . الصفحات 669-706 . ISBN  0-691-08268-5.(المسألة رقم 100)
• جي، ج.؛ تانغ، ز. (2012). "تخمين تشيرن والأسطح الفائقة متساوية المعاملات". الهندسة التفاضلية: تحت تأثير إس إس تشيرن . بكين: دار النشر للتعليم العالي . ISBN 978-1-57146-249-7.
• تانغ، ز.؛ يان، و. (2013). "التوريق متساوي المعاملات وتخمين ياو حول القيمة الذاتية الأولى". مجلة الهندسة التفاضلية . 94 (3): 521-540 . arXiv : 1201.0666 . doi : 10.4310/jdg/1370979337 .